|
|
Тема №3. Математический анализ и дифференциальные уравненияСтр 1 из 9Следующая ⇒ Николаев В.С. «МАТЕМАТИКА»
Москва 2010
Содержание Введение………………………………………………………………………..2 Тема 3. Математический анализ и дифференциальные уравнения………3 Тема 4. Неопределенный интеграл…………………………………………36 Тема 5. Определенный интеграл…………………………………………...42 Заключение…………………………………………………………………....49 Литература…………………………………………………………………….49 ВВЕДЕНИЕ
В учебном пособии представлен краткий курс высший математики, который будет полезен студентам, не математического профиля (ЕН Ф.01). В пособии изложены основные понятия, формулы и методы высшей математики, представлены решения типичных задач, предложены задачи и тестовые задания для самостоятельной работы и проверки своих знаний, которые будет полезны и при сдаче зачетов и экзаменов, а также представлены варианты для контрольных работ. Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов высшего образования по высшей математике для экономических специальностей. В программу высшей математики входят линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика и экономико-математические модели. Во все темы учебного пособия вошли основные понятия, определения, методы расчетов и решения типовых задач. В связи с тем, что экономистам в основном нужно знать приложения высшей математики в экономике, акцент ставится на таких примерах, задачах, моделей, которые имеют интерес с точки зрения экономической науки. Такие задачи есть во всех темах. Студентам предлагается прочесть теоретическую часть каждой темы, обращая внимание на определения, свойства, описание методов расчета, решения задач и попытаться самостоятельно решить представленные в соответствующем параграфе задачи.
Тема №3. Математический анализ и дифференциальные уравнения Функции Функция Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из возможных значений x, соответствует одно или несколько определенных значений y. þ Обозначение: y = f(x) («игрек равно эф от x») При этом переменная x называется аргументом (независимым переменным), а у - функцией (зависимым переменным). ! Примеры: Функциями являются зависимости температуры, скорости движения и высоты брошенного вверх тела от времени. Если каждому значению аргумента отвечает одно значение функции, то функция называется однозначной; если два или больше значений, то - многозначной. ! Примеры: В каждый момент времени сутки температура в данной местности принимает одно единственное значение (однозначная функция); каждой высоте, на которой брошенное вверх тело может находится, соответствуют два определенных значений времени (одно при поднятии, другое при спуске) (двузначная функция). Область определения функции Множество всех значений X ( x Î X ), которые может принимать аргумент функции x, называется областью определения этой функции. Множество всех значений Y ( y Î Y ), которые может принимать функция f(x), называется областью значений этой функции. ! Примеры: Областью определения функции y = x ² является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции – интервал [0; ¥). @ Задача 1. Найти область определения функции Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 2x – 4 ³ 0 Þ x ³ 2, т.е. x Î [2; ¥). @ Задача 2. Найти область определения функции Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 4 – x ² > 0 Þ – 2 < x < 2, т.е. x Î (– 2; 2). Элементарные функции Степенная функция: y = x n (n - степень, n ÎR) Линейная y = x, квадратичная y = x ², кубическая y = x 3, гиперболическая Показательная функция: y = ax (a - основание степени, a > 0, a ¹ 1). Показательная функция с основанием a = e = 2,718… называется экспоненциальной функцией y = ex. Областью определения показательной функции является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции – интервал (0; ¥). Логарифмическая функция: y = logax (a - основание логарифма, a > 0, a ¹ 1). Логарифмическая функция с основанием a = e = 2,718… называется натуральным логарифмом: y = lnx, а логарифмическая функция с основанием a = 10 - десятичным логарифмом: y = lgx. Областью определения логарифмической функции является интервал (0; ¥), а областью значений функции интервал (– ¥; ¥). Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx. Областью определения функций y = sinx, y = cosx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функций – интервал [– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (– p/2 + p n; p/2 + p n), а областью значений функции - (– ¥; ¥). Областью определения функции y = ctgx является интервал (p n; p + p n), а областью значений функции - (– ¥; ¥). Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx. Областью определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью значений функций – интервал (– ¥; ¥). Областью определения функции y = arctgx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции - (– p/2 + p n; p/2 + p n). Областью определения функции y = arcctgx является интервал (– ¥; ¥), а областью значений функции - (p n; p + p n). ! Пример функции прибыли: В наиболее общем виде прибыль П (profit) определяется как разность между полным доходом (выручкой) от реализации продукции или услуг R (revenue) и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С учетом кривой спроса R = pQ = (p0 – aQ)Q, где Q (quantity) - объем реализации, p (price) - цена. С другой стороны издержки делятся на постоянные и переменные, т.е. C = Cf + CvQ. Таким образом, П = – aQ 2 + (p0 – CvQ) – Cf, т.е. зависимость П от Q квадратичная. Обратная функция Если из зависимости y = f(x) вытекает соотношение x = g(y), то функция g(y) называется обратной функцией (относительно функции f(x)). ! Пример: Обратной функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция Неявная функция Кусочно-линейная функция При закупке товара, в случае больших партий товара, часто предоставляется оптовая скидка:
Такая функция называется кусочно-линейной функцией. Функции задаются тремя способами: аналитическим, табличным и графическим способами. График линейной функции называется прямой линией, график квадратичной функции – параболой, график обратной зависимости от x – гиперболой.
Функция двух переменных Производная функции Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a, b), и пусть x – какая-то точка этого промежутка. Дадим аргументу приращение D x, тогда функция получит приращение, равное D y = f(x + D x) – f(x). Если функция непрерывная и приращение аргумента бесконечно малая величина, то приращение функции тоже бесконечно малая величина. Предел, к которому стремится отношение
þ Обозначение: f¢(x) («эф штрих икс»), y¢ («игрек штрих») ! Примеры производных линейной функции y = x и квадратичной функции y = x2.
Производная степенной функции равна произведению степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше:
Производные функций y = x, y = x 2 являются частными случаями формулы (1), при n = 1; 2. Производные 1 ¢ = 0, ! Пример: Производная тригонометрической функции y = sinx равна
Таким же образом находится производная функции cosx: (cosx)¢ = – sinx. (3) ! Пример: Производная экспоненциальной функции y = ex равна
Свойства производной 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))¢ = cf¢(x). 2. Производная суммы равна сумме производных: (f(x) ± g(x))¢ = f¢(x) ± g¢(x). 3. Производная произведения равна (f(x)g(x))¢ = f¢(x)g(x) + f(x)g¢(x). 4. Производная отношения равна
! Пример: Производная тригонометрической функции y = tgx равна
Таким же образом находится производная функции сtgx:
@ Задача 1. Найти производную постоянной функции y = c. Решение: Производную находим с помощью 1 свойства производной и формулы (1): c¢ = c· 1 ¢ = c·0 = 0. @ Задача 2. Найти производную функции f(x) = (2x 3 – 3x + 1)cosx и вычислить f¢(0). Решение: При нахождении производной заданной функции применяются свойства производных и производные степенных и тригонометрических функций: f¢(x) = (2x 3 – 3x + 1)¢cosx + (2x 3 – 3x + 1)(cosx)¢ = = (6x 2 – 3)cosx – (2x 3 – 3x + 1)sinx; f¢(0) = – 3. Процедура нахождения производной называется дифференцированием. Уравнение касательной Производная линейной функции y = kx + b равна угловому коэффициенту k. Производная функции y = f(x) в любой точке равна угловому коэффициенту касательной функции в этой точке, т.е. производная характеризует скорость изменения функции. Это есть геометрическое истолкование производной (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Геометрическое истолкование производной
Производная применяется для нахождения уравнения y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 : y = f¢(x0)x + b, f(x0) = f¢(x0)x0 + b, b = – f¢(x0)x0 + f(x0). В итоге получается уравнение y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 : y = f(x0) + f¢(x0)(x – x0). @ Задача 3. Найти уравнение касательной функции f(x) = x 2 в точке x0 = – 1. Решение: Находим f(x0) = (– 1) 2 = 1, потом f¢(x) = 2x и f¢ (– 1) = 2(– 1) = –2, после чего y = 1 – 2(x + 1) = – 2 x – 1. Предельный анализ Предельный анализ – это раздел экономики, где используется дифференциальное исчисление. Основные понятия предельного анализа, это предельный доход, предельные издержки, предельная производительность и т.д. Предельный доход R¢(Q) – это изменение суммарного дохода при изменении объема реализации на единицу. Предельные издержки C¢(Q) – это изменение полных издержек, при изменении объема продукции на единицу. Предельная склонность к потреблению C¢(Y) – это производная потребления по национальному доходу. Бесконечно большая величина Бесконечно большой величиной называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает. ! Примеры: Величины n, n², n3 являются бесконечно большими величинами, при n ® ¥; Функция f(x) есть бесконечно большая величина при x ® a, если абсолютное значение f(x) остается большим любого заранее данного положительного числа N, всякий раз как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от N). Бесконечно большая величина не имеет предела по определению, ибо никак нельзя сказать, что «разность между f(x) и ¥ остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение беcконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным. Функция yn называется бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, если предел их отношения ¥. Из этого свойства вытекает следующее правило. При вычислении пределов, содержащих сумму yn и zn, где функция yn является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, функцию zn можно пренебречь по сравнению с yn. @ Задача 2. Найти предел последовательности Решение: Если непосредственной подстановкой n попытаться найти предел последовательности, то мы получим неопределенность вида
Предел функции Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящийся к a (x ® a), если, по мере приближения x к a, значение функции неограниченно приближается (стремится) к b:
! Пример: Функция f(x) = 2x + 3 при x, стремящийся к a, f(x) стремится к 3, т.е. Более строгое определение предела следующее. Число b называется пределом функции f(x) при x ® a, если абсолютное значение разности f(x) – b остается меньшим любого заранее данного положительного числа e всякий раз, как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e). Предполагается, что функция f(x) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a (во всех точках справа и слева от a), в самой же точке x = a f(x) либо определена, либо нет. Если какая-либо функция не определена в точке x = a, но обладает пределом при x ® a, то разыскивание этого предела называется раскрытием неопределенности. Раскрытие неопределенности вида @ Задача 3. Найти предел функции Решение: Мы имеем дело с неопределенностью вида
@ Задача 4. Найти предел функции Решение: Мы имеем дело с неопределенностью типа ¥ – ¥.
Замечательные пределы Первым замечательным пределом называется предел
Вторым замечательным пределом называется предел
@ Задача 5. Найти предел функции Решение: Предел находится применением первого замечательного предела и свойств пределов:
@ Задача 6. Найти предел функции Решение: Предел находится применением второго замечательного предела:
где z = 2x. Множество применений имеют также следующие пределы
Бесконечно малая величина Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю. ! Примеры: Величины x, x², x3, sinx, 1 – cosx, tgx являются бесконечно малыми величинами, при x ® 0; величины Бесконечно малые величины обозначаются буквами a, b и т.д. Условный экстремум функции Экстремум функции f(x, y) называется условным, если переменные связаны между собой неким соотношением g(x, y) = 0. Условный экстремум функции находится методом неопределенного множителя Лагранжа. Строится новая функция F(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y), где l – неопределенный множитель, который рассматривается как новая переменная и ищется экстремум F. Экстремум функции находится из системы уравнений
@ Задача 3. Найти условный экстремум функции f(x, y) = 2x 2 – 3xy – 10x при выполнении условия g(x, y) = 6 –2x – 3y = 0. Решение: Строится функция Лагранжа F(x, y, l) = 2x 2 – 3xy – 10x + l(6 – 2x – 3y) и вычисляются частные производные
Таким образом, x =2; y = 2/3; f(2, 2/3) = – 16. @ Задача 4. Найти условный максимум производственной функции Q = 4LK + L 2при выполнении условия K + 2L = 105. Решение: Строится функция Лагранжа F(K, L, l) = 4LK + L 2 + l(105 – K – 2L) и вычисляются частные производные
Таким образом, L = 30; K = 45; Qmax = 6300.
Свойства рядов 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд 2. Если ряд (1) и ряд 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно. Признак сравнения рядов Сходимость такого ряда устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом. Если ряд Если ряд @ Задача 2. Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: По признаку сравнения рядов, так как ряд @ Задача 3. Исследовать на сходимость числовой ряд Решение: Согласно признаку сравнения т.к. Признак Даламбера Ряд сходится, если Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Даламбера целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или @ Задача 3. Исследовать на сходимость ряд Решение: По признаку Даламбера Признак Коши Ряд сходится, если Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Коши целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида @ Задача 4. Исследовать на сходимость ряд Решение: По признаку Коши Интегральный признак Коши Теорема: Если каждый член положительного ряда меньше предшествующего, то: а) если предел @ Задача 5. Исследовать на сходимость гармонический ряд Решение: Из интегрального признака Коши Ряд называется знакопеременным, если его члены поочередно положительны и отрицательны. Достаточным признаком сходимости знакопеременного числового ряда являются признак Лейбница. Признак Лейбница Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю, все время убывая по абсолютному значению. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· сходится согласно признаку Лейбница. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/4 + 1/9 – 1/16 + ··· является абсолютно сходящимся. Знакопеременный рядможет сходиться и тогда, когда ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится. ! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· является условно сходящимся.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ Теорема Абеля Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x0|. Следствие: Если ряд расходится при x = x1, тоон расходится и при всех | x| > |x1 |. Из теоремы Абеля следует, что если x0 ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x0 |; |x0 |) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится. Интервал (– |x0 |; |x0 |) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x0 | называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых | x| < R, ряд абсолютно сходится, а при | x| > R ряд расходится. В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞. Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = – R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно. Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как @ Задача 1. Найти радиус сходимости степенного ряда Решение: Радиус сходимости можно найти по формуле Даламбера
Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. @ Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда Решение: Радиус сходимости находим по формуле Коши R = 1 / Следовательно, степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0. Свойства степенных рядов 1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R). 2. Степенные ряды 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:
Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:
Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд. Ряд Тейлора Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:
Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:
! Примеры:
Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):
допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):
где x - некоторое число, лежащее между a и b. Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если @ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, Решение: e и
Функция
Тестовые задания по теме №3 «Математический анализ и дифференциальные уравнения» 1. Решением неравенства f(x) ˂ f(2) при монотонно убывающей функции f(x) во всей области определения D(f)
£
2. Область значений функции y = -cos2x + 1 есть отрезок:
£ [-2, 2]; £ [-2, 0]; R [0, 2]; £ [-1, 1].
3. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3:
£ F(x) = 3x; £ F(x) = 3x+ 1; £ F(x) = (x + 1)3-x3 - 3x2; R F(x) = 3(x + 1)3 + 2. 4. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3x
£ F(x) = x3+ 1; £ F(x) = (x + 1)3 – 3x 5. Для функции
£ разрыва; £ перегиба; £ минимума; R максимума. 6. Для функции
£ 7. Для функции £ непрерывности; £ разрыва II рода; £ точкой экстремума; R устранимого разрыва. 8. Предел функции
£ 9.Для функции £
10. Найти производную функцию
£
11. Функция
£ 12. Найти частную производную f¢x функции f(x, y) = x 2 y – 2xy в точке (2; – 1):
£ 3; R 0; £ – 2; £ 1.
13. Найти производную функции
£ 25х+18; R 14. Для функции
£ 15. Найти производную функции
£ 25х+18; R 16. Найти производную функции
R
17.Найти производную функции
£
18. Найти частное значение функции
£
19. Предел функции
£
20. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
£
21. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения
£
22. Общим решением дифференциального уравнения
£
23. Общим решением дифференциального уравнения
£ £
24. Функция
£ монотонно убывает; R выпукла вниз; £ выпукла вверх; £ монотонно возрастает.
25. Функция R
26. Частное решение дифференциального уравнения ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
.
и постоянная y = 1функции являются частными случаями степенной функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.
.
.
при D x ® 0, называется производной функции:
.
.
.
. (1)
, 
, 
тоже являются частными случаями формулы (1), при n = 0; ½; 3; – 1.
. (2)
. (4)
.
. (5)
. (6)
- при x ® 0, tgx - при x ® p/2: 
; 
; 
.
.
. Здесь термин неопределенность применяется в том смысле, что сразу невозможно сказать к какому пределу стремится последовательность. Определение предела называется раскрытием неопределенности. В данном случае неопределенность можно раскрыть с учетом вышесказанного. Так как n ² является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с n и 2, то последние члены в числителе можно пренебречь. То же самое относится и к знаменателю. Итак
.
.
.
называют разыскивание предела отношения функций f(x) и g(x), бесконечно малых величины при x ® a.
при 
.
.
при x ® ¥.
.
.
или 
.
при x ® 0.
.
при x ® 0.
,
; 
; 
.
, 
являются бесконечно малыми величинами, при n ® ¥: 
; 
; 
; 
.
.
.
.
также сходится и его сумма равна cS.
сходятся, то сходятся также их сумма и разность.
, сходится, то сходится также ряд (1).
, расходится, то расходится также ряд (1).
.
сходится, а также выполняется условие 
, следовательно, наш ряд тоже сходится.
.
, и гармонический ряд расходится, то приведенный ряд также расходится.
.
.
.
, т.е. ряд сходится.
.
.
, т.е. ряд сходится.
конечный, то ряд (1) сходится, б) если предел бесконечный, то ряд (1) расходится.
.
следует, что ряд расходится.
, а согласно признаку Коши - R = 1 / 
.
.
.
.
.
и 
, имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.
,
(1),
, (2)
.
и функции 
.
, 
,
, 
.
находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):
, 
.
R служит множеств:
; R 
; £ 
.
:
точка x=0 является точкой …
обратной является функция…
; R 
; £ 
; £ 
.
точка 
является точкой…
равен:
; £ 1; £ 
; R 2.
обратной является функция:
; R 
; £ 
; £ 
.
; R 
; £ 
.
отображает отрезок 
на отрезок:
; R 
; £ 
; £ 
.
:
; £ 3 
; £ 
.
обратной является функция:
; £ 
; £ 
.
:
; £ 
; £ 
.
:
; £ 
; £ 
; £ 
.
:
; £ 
; £ 
; R 
.
в точке В(2, -4):
; £ 
; R 
; £ 
.
равен:
; £ 1; £ 
; R 0.
имеет вид …
; £ 
; R 
; £ 
.
имеет вид:
; £ 
.
является:
; £ 
; R 
; £ 
.
является:
; £ 
; R 
;
.
на всей числовой оси…
бесконечно малая в точке…
; £ 
; £ 
; £ 
.
