Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Тема №3. Математический анализ и дифференциальные уравнения





Николаев В.С.

«МАТЕМАТИКА»

 

 

 

 

Москва 2010

 

Содержание

Введение………………………………………………………………………..2

Тема 3. Математический анализ и дифференциальные уравнения………3

Тема 4. Неопределенный интеграл…………………………………………36

Тема 5. Определенный интеграл…………………………………………. . .42

Заключение…………………………………………………………………....49

Литература…………………………………………………………………….49

ВВЕДЕНИЕ

 

В учебном пособии представлен краткий курс высший математики, который будет полезен студентам, не математического профиля (ЕН Ф.01). В пособии изложены основные понятия, формулы и методы высшей математики, представлены решения типичных задач, предложены задачи и тестовые задания для самостоятельной работы и проверки своих знаний, которые будет полезны и при сдаче зачетов и экзаменов, а также представлены варианты для контрольных работ.

Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных стандартов высшего образования по высшей математике для экономических специальностей. В программу высшей математики входят линейная алгебра с элементами аналитической геометрии, дифференциальное и интегральное исчисления, ряды, дифференциальные уравнения, теория вероятностей и математическая статистика и экономико-математические модели.

Во все темы учебного пособия вошли основные понятия, определения, методы расчетов и решения типовых задач. В связи с тем, что экономистам в основном нужно знать приложения высшей математики в экономике, акцент ставится на таких примерах, задачах, моделей, которые имеют интерес с точки зрения экономической науки. Такие задачи есть во всех темах.



Студентам предлагается прочесть теоретическую часть каждой темы, обращая внимание на определения, свойства, описание методов расчета, решения задач и попытаться самостоятельно решить представленные в соответствующем параграфе задачи.


 

Тема №3. Математический анализ и дифференциальные уравнения

Функции

Функция

Величина y называется функцией переменной величины x, если каждому из возможных значений x, соответствует одно или несколько определенных значений y.

þ Обозначение: y = f(x)игрек равно эф от x»)

При этом переменная x называется аргументом (независимым переменным), а у - функцией (зависимым переменным).

! Примеры: Функциями являются зависимости температуры, скорости движения и высоты брошенного вверх тела от времени.

Если каждому значению аргумента отвечает одно значение функции, то функция называется однозначной; если два или больше значений, то - многозначной.

! Примеры: В каждый момент времени сутки температура в данной местности принимает одно единственное значение (однозначная функция); каждой высоте, на которой брошенное вверх тело может находится, соответствуют два определенных значений времени (одно при поднятии, другое при спуске) (двузначная функция).

Область определения функции

Множество всех значений X (xÎX), которые может принимать аргумент функции x, называется областью определения этой функции.

Множество всех значений Y (yÎY), которые может принимать функция f(x), называется областью значений этой функции.

! Примеры: Областью определения функции y = x² является интервал ( ¥; ¥), а областью значений функции – интервал [0; ¥).

@ Задача 1. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 2x – 4 ³ 0 Þ x ³ 2, т.е. x Î [2; ¥).

@ Задача 2. Найти область определения функции .

Решение: Область определения функции находится как решение неравенства 4 – x² > 0 Þ – 2 < x < 2, т.е. x Î (2; 2).

Элементарные функции

Степенная функция: y = xn (n - степень, nÎR)

Линейная y = x, квадратичная y = x², кубическая y = x3, гиперболическая и постоянная y = 1функции являются частными случаями степенной функции со степенями n = 1; 2; 3; –1; 0.

Показательная функция: y = ax (a - основание степени, a > 0, a ¹ 1).

Показательная функция с основанием a = e = 2,718… называется экспоненциальной функцией y = ex.

Областью определения показательной функции является интервал ( ¥; ¥), а областью значений функции – интервал (0; ¥).

Логарифмическая функция: y = logax (a - основание логарифма, a > 0, a ¹ 1).

Логарифмическая функция с основанием a = e = 2,718… называется натуральным логарифмом: y = lnx, а логарифмическая функция с основанием a = 10 - десятичным логарифмом: y = lgx.

Областью определения логарифмической функции является интервал (0; ¥), а областью значений функции интервал ( ¥; ¥).

Тригонометрические функции: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx.

Областью определения функций y = sinx, y = cosx является интервал ( ¥; ¥), а областью значений функций – интервал [– 1; 1]. Областью определения функции y = tgx является интервал (– p/2 + pn; p/2 + pn), а областью значений функции - ( ¥; ¥). Областью определения функции y = ctgx является интервал (pn; p + pn), а областью значений функции - ( ¥; ¥).

Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx.

Областью определения функций y = arcsinx, y = arccosx является интервал [– 1; 1], а областью значений функций – интервал ( ¥; ¥). Областью определения функции y = arctgx является интервал ( ¥; ¥), а областью значений функции - (– p/2 + pn; p/2 + pn). Областью определения функции y = arcctgx является интервал ( ¥; ¥), а областью значений функции - (pn; p + pn).

! Пример функции прибыли: В наиболее общем виде прибыль П (profit) определяется как разность между полным доходом (выручкой) от реализации продукции или услуг R (revenue) и полными издержками (затратами) C (cost): П = R – C. С учетом кривой спроса R = pQ = (p0 – aQ)Q, где Q (quantity) - объем реализации, p (price) - цена. С другой стороны издержки делятся на постоянные и переменные, т.е. C = Cf + CvQ. Таким образом, П = – aQ2 + (p0 – CvQ) – Cf, т.е. зависимость П от Q квадратичная.

Обратная функция

Если из зависимости y = f(x) вытекает соотношение x = g(y), то функция g(y) называется обратной функцией (относительно функции f(x)).

! Пример: Обратной функцией линейной функции y = 2x + 4 является функция .

Неявная функция

Кусочно-линейная функция

При закупке товара, в случае больших партий товара, часто предоставляется оптовая скидка:

.

Такая функция называется кусочно-линейной функцией.

Функции задаются тремя способами: аналитическим, табличным и графическим способами. График линейной функции называется прямой линией, график квадратичной функции – параболой, график обратной зависимости от xгиперболой.

 

Функция двух переменных

Производная функции

Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a, b), и пусть x – какая-то точка этого промежутка. Дадим аргументу приращение Dx, тогда функция получит приращение, равное Dy = f(x + Dx) – f(x). Если функция непрерывная и приращение аргумента бесконечно малая величина, то приращение функции тоже бесконечно малая величина.

Предел, к которому стремится отношение при Dx® 0, называется производной функции:

.

þ Обозначение: f¢(x) («эф штрих икс»), («игрек штрих»)

! Примеры производных линейной функции y = x и квадратичной функции y = x2.

.

.

Производная степенной функции равна произведению степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше:

. (1)

Производные функций y = x, y = x2 являются частными случаями формулы (1), при n = 1; 2. Производные 1¢ = 0, , , тоже являются частными случаями формулы (1), при n = 0; ½; 3; 1.

! Пример: Производная тригонометрической функции y = sinx равна

. (2)

Таким же образом находится производная функции cosx:

(cosx)¢ = – sinx. (3)

! Пример: Производная экспоненциальной функции y = ex равна

. (4)

Свойства производной

1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))¢ = cf¢(x).

2. Производная суммы равна сумме производных:

(f(x) ± g(x))¢ = f¢(x) ± g¢(x).

3. Производная произведения равна

(f(x)g(x))¢ = f¢(x)g(x) + f(x)g¢(x).

4. Производная отношения равна

.

! Пример: Производная тригонометрической функции y = tgx равна

. (5)

Таким же образом находится производная функции сtgx:

. (6)

@ Задача 1. Найти производную постоянной функции y = c.

Решение: Производную находим с помощью 1 свойства производной и формулы (1):

c¢ = c·1¢ = c·0 = 0.

@ Задача 2. Найти производную функции

f(x) = (2x33x + 1)cosx и вычислить f¢(0).

Решение: При нахождении производной заданной функции применяются свойства производных и производные степенных и тригонометрических функций:

f¢(x) = (2x33x + 1)¢cosx + (2x33x + 1)(cosx)¢ =

= (6x23)cosx – (2x33x + 1)sinx; f¢(0) = 3.

Процедура нахождения производной называется дифференцированием.

Уравнение касательной

Производная линейной функции y = kx + b равна угловому коэффициенту k. Производная функции y = f(x) в любой точке равна угловому коэффициенту касательной функции в этой точке, т.е. производная характеризует скорость изменения функции. Это есть геометрическое истолкование производной (рис. 3.1).

 

 

 

 

Рис. 3.1. Геометрическое истолкование производной

 

Производная применяется для нахождения уравнения y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 :

y = f¢(x0)x + b, f(x0) = f¢(x0)x0 + b, b = – f¢(x0)x0 + f(x0).

В итоге получается уравнение y(x) касательной функции f(x) в заданной точке x = x0 :

y = f(x0) + f¢(x0)(x – x0).

@ Задача 3. Найти уравнение касательной функции f(x) = x2 в точке x0 = – 1.

Решение: Находим f(x0) = (– 1) 2 = 1, потом f¢(x) = 2x и

(1) = 2(– 1) = –2, после чего y = 1 – 2(x + 1) = – 2x – 1.

Предельный анализ

Предельный анализ – это раздел экономики, где используется дифференциальное исчисление. Основные понятия предельного анализа, это предельный доход, предельные издержки, предельная производительность и т.д.

Предельный доход R¢(Q) – это изменение суммарного дохода при изменении объема реализации на единицу.

Предельные издержки C¢(Q) – это изменение полных издержек, при изменении объема продукции на единицу.

Предельная склонность к потреблению C¢(Y) – это производная потребления по национальному доходу.

Бесконечно большая величина

Бесконечно большой величиной называется величина, абсолютное значение которой неограниченно возрастает.

! Примеры: Величины n, n², n3 являются бесконечно большими величинами, при n ® ¥; - при x ® 0, tgx - при x ® p/2: ; ; .

Функция f(x) есть бесконечно большая величина при x ® a, если абсолютное значение f(x) остается большим любого заранее данного положительного числа N, всякий раз как абсолютное значение разности x – a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от N).

Бесконечно большая величина не имеет предела по определению, ибо никак нельзя сказать, что «разность между f(x) и ¥ остается меньшей заранее данного положительного числа». Таким образом, введение беcконечного предела расширяет понятие предела. В отличие от бесконечного предела предел, определенный ранее, называется конечным.

Функция yn называется бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, если предел их отношения ¥.

Из этого свойства вытекает следующее правило. При вычислении пределов, содержащих сумму yn и zn, где функция yn является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с zn, функцию zn можно пренебречь по сравнению с yn.

@ Задача 2. Найти предел последовательности .

Решение: Если непосредственной подстановкой n попытаться найти предел последовательности, то мы получим неопределенность вида . Здесь термин неопределенность применяется в том смысле, что сразу невозможно сказать к какому пределу стремится последовательность. Определение предела называется раскрытием неопределенности. В данном случае неопределенность можно раскрыть с учетом вышесказанного. Так как n² является бесконечно большой величиной высшего порядка по сравнению с n и 2, то последние члены в числителе можно пренебречь. То же самое относится и к знаменателю. Итак

.

Предел функции

Число b называется пределом функции f(x) при x, стремящийся к a (x ® a), если, по мере приближения x к a, значение функции неограниченно приближается (стремится) к b:

.

! Пример: Функция f(x) = 2x + 3 при x, стремящийся к a, f(x) стремится к 3, т.е. .

Более строгое определение предела следующее.

Число b называется пределом функции f(x) при x ® a, если абсолютное значение разности f(x) b остается меньшим любого заранее данного положительного числа e всякий раз, как абсолютное значение разности x a меньше некоторого положительного числа d (зависящего от e).

Предполагается, что функция f(x) определена внутри некоторого промежутка, содержащего точку x = a(во всех точках справа и слева от a), в самой же точке x = a f(x) либо определена, либо нет.

Если какая-либо функция не определена в точке x = a, но обладает пределом при x® a, то разыскивание этого предела называется раскрытием неопределенности. Раскрытие неопределенности вида называют разыскивание предела отношения функций f(x) и g(x), бесконечно малых величины при x® a.

@ Задача 3. Найти предел функции при .

Решение: Мы имеем дело с неопределенностью вида . Разложив квадратичные трехчлены числителя и знаменателя в множители, и применив свойства пределов, находим предел функции f(x):

.

@ Задача 4. Найти предел функции при x ® ¥.

Решение: Мы имеем дело с неопределенностью типа ¥ ¥.

.

Замечательные пределы

Первым замечательным пределом называется предел

.

Вторым замечательным пределом называется предел

или .

@ Задача 5. Найти предел функции при x ® 0.

Решение: Предел находится применением первого замечательного предела и свойств пределов:

.

@ Задача 6. Найти предел функции при x ® 0.

Решение: Предел находится применением второго замечательного предела:

,

где z = 2x.

Множество применений имеют также следующие пределы

; ; .

Бесконечно малая величина

Бесконечно малой величиной называется величина, предел которой равен нулю.

! Примеры: Величины x, x², x3, sinx, 1 – cosx, tgx являются бесконечно малыми величинами, при x ® 0; величины , являются бесконечно малыми величинами, при n ® ¥: ; ; ; .

Бесконечно малые величины обозначаются буквами a, b и т.д.

Условный экстремум функции

Экстремум функции f(x, y) называется условным, если переменные связаны между собой неким соотношением g(x, y) = 0.

Условный экстремум функции находится методом неопределенного множителя Лагранжа. Строится новая функция F(x, y, l) = f(x, y) + lg(x, y), где l – неопределенный множитель, который рассматривается как новая переменная и ищется экстремум F.

Экстремум функции находится из системы уравнений

.

@ Задача 3. Найти условный экстремум функции f(x, y) = 2x2 – 3xy – 10x при выполнении условия

g(x, y) = 6 –2x – 3y = 0.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(x, y, l) = 2x2 – 3xy – 10x + l(6 – 2x – 3y) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, x =2; y = 2/3; f(2, 2/3) = – 16.

@ Задача 4. Найти условный максимум производственной функции Q = 4LK + L2при выполнении условия K + 2L = 105.

Решение: Строится функция Лагранжа

F(K, L, l) = 4LK + L2 + l(105 – K – 2L) и вычисляются частные производные

.

Таким образом, L = 30; K = 45; Qmax = 6300.

 

 

Свойства рядов

1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд также сходится и его сумма равна cS.

2. Если ряд (1) и ряд сходятся, то сходятся также их сумма и разность.

3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Признак сравнения рядов

Сходимость такого ряда устанавливается путем сравнения его с другим (эталонным) рядом.

Если ряд , общие члены которого , сходится, то сходится также ряд (1).

Если ряд , общие члены которого , расходится, то расходится также ряд (1).

@ Задача 2. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение: По признаку сравнения рядов, так как ряд сходится, а также выполняется условие , следовательно, наш ряд тоже сходится.

@ Задача 3. Исследовать на сходимость числовой ряд .

Решение: Согласно признаку сравнения т.к. , и гармонический ряд расходится, то приведенный ряд также расходится.

Признак Даламбера

Ряд сходится, если .

Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Даламбера целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида n! или .

@ Задача 3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: По признаку Даламбера , т.е. ряд сходится.

Признак Коши

Ряд сходится, если .

Если предел больше 1, то ряд расходится. Если предел равен 1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Признак Коши целесообразно применить, когда общий член ряда содержит выражение вида .

@ Задача 4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение: По признаку Коши , т.е. ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Теорема: Если каждый член положительного ряда меньше предшествующего, то: а) если предел конечный, то ряд (1) сходится, б) если предел бесконечный, то ряд (1) расходится.

@ Задача 5. Исследовать на сходимость гармонический ряд .

Решение: Из интегрального признака Коши следует, что ряд расходится.

Ряд называется знакопеременным, если его члены поочередно положительны и отрицательны. Достаточным признаком сходимости знакопеременного числового ряда являются признак Лейбница.

Признак Лейбница

Знакопеременный ряд сходится, если его члены стремятся к нулю, все время убывая по абсолютному значению.

! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· сходится согласно признаку Лейбница.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится положительный ряд, составленный из абсолютных значений членов данного ряда.

! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/4 + 1/9 – 1/16 + ··· является абсолютно сходящимся.

Знакопеременный рядможет сходиться и тогда, когда ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд, составленный из абсолютных значений его членов, расходится.

! Пример: Знакопеременный ряд 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + ··· является условно сходящимся.

 

 

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится при x = x0 ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x0|.

Следствие: Если ряд расходится при x = x1, тоон расходится и при всех |x| > |x1|.

Из теоремы Абеля следует, что если x0 ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x0|;|x0|)весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится.

Интервал (– |x0|;|x0|)называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x0|называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых |x| < R, ряд абсолютно сходится, а при |x| > R ряд расходится.

В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞.

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно.

Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как , а согласно признаку Коши - R = 1/.

@ Задача 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение: Радиус сходимости можно найти по формуле Даламбера

= .

Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

@ Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение: Радиус сходимости находим по формуле Коши

R = 1/= .

Следовательно, степенной ряд сходится лишь в одной точке x0 = 0.

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Ряд Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

! Примеры: ,

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

(1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

, (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, и функции .

Решение: e и находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

, ,

, .

Функция находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

, .


Тестовые задания по теме №3 «Математический анализ и дифференциальные уравнения»

1. Решением неравенства f(x) ˂ f(2) при монотонно убывающей функции f(x) во всей области определения D(f) R служит множеств:

 

£ ; R ; £ .

 

2. Область значений функции y = -cos2x + 1 есть отрезок:

 

£ [-2, 2]; £ [-2, 0]; R [0, 2]; £ [-1, 1].

 

3. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3 :

 

£ F(x) = 3x; £ F(x) = 3x+ 1; £ F(x) = (x + 1)3-x3 - 3x2; R F(x) = 3(x + 1)3 + 2.

4. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3x :

 

£ F(x) = x3+ 1; £ F(x) = (x + 1)3 – 3x -3x; R F(x) = (x + 1)3 + 2; £ F(x) = x3.

5. Для функции точка x=0 является точкой …

 

£ разрыва; £ перегиба; £ минимума; R максимума.

6. Для функции обратной является функция…

 

£ ; R ; £ ; £ .

7. Для функции точка является точкой…

£ непрерывности; £ разрыва II рода; £ точкой экстремума; R устранимого разрыва.

8. Предел функции равен:

 

£ ; £ 1; £ ; R 2.

9.Для функции обратной является функция:

£ ; R ; £ ; £ .

 

10. Найти производную функцию

 

£ ; R ; £ .

 

11. Функция отображает отрезок на отрезок:

 

£ ; R ; £ ; £ .

12. Найти частную производную x функции f(x, y) = x2y – 2xy в точке (2; 1) :

 

£ 3 ; R 0 ; £ 2 ; £ 1 .

 

13. Найти производную функции :

 

£ 25х+18; R ; £ 3 ; £ .

14. Для функции обратной является функция:

 

£ ; R ; £ ; £ .

15. Найти производную функции :

 

£ 25х+18; R ; £ ; £ .

16. Найти производную функции :

 

R ; £ ; £ ; £ .

 

17.Найти производную функции :

 

£ ; £ ; £ ; R .

 

18. Найти частное значение функции в точке В(2, -4) :

 

£ ; £ ; R ; £ .

 

19. Предел функции равен:

 

£ ; £ 1; £ ; R 0.

 

20. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид …

 

£ ; £ ; R ; £ .

 

21. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

 

£ ; £ ; R ; £ .

 

22. Общим решением дифференциального уравнения является:

 

£ ; £ ; R ; £ .

 

23. Общим решением дифференциального уравнения является:

 

£ ; £ ; R ;

£ .

 

24. Функция на всей числовой оси…

 

£ монотонно убывает; R выпукла вниз; £ выпукла вверх;

£ монотонно возрастает.

 

25. Функция бесконечно малая в точке…

R ; £ ; £ ; £ .

 

26. Частное решение дифференциального уравнения







Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.