|
|
Если зависимость между x и y выражена уравнением, не разрешенным относительно y, то говорят о неявной функции.þ Обозначение: F(x, y) = 0. ! Пример: x ² + ex + y + lny = 0. Это уравнение не разрешается относительно y, поэтому функция является неявной. Вышеприведенные элементарные функции – это явные функции. Кусочно-линейная функция При закупке товара, в случае больших партий товара, часто предоставляется оптовая скидка:
Такая функция называется кусочно-линейной функцией. Функции задаются тремя способами: аналитическим, табличным и графическим способами. График линейной функции называется прямой линией, график квадратичной функции – параболой, график обратной зависимости от x – гиперболой.
Функции нескольких переменных
Функция двух переменных Величина z называется функцией двух переменных x, y, если каждой паре (x, y) чисел соответствует одно или несколько значений z. þ Обозначение: z = f(x, y) («зет равно эф от икс, игрек»), (x, y) называются аргументами. ! Примеры: Спрос Q есть функция дохода R и цены p: Q = f(R, p); в термодинамике давление p есть функция температуры T и объема V (уравнение Менделеева-Клапейрона). Множество M значений (x, y), для которого функция z определена, называется областью определения функции. @ Задача 1. Найти область определения функции Решение: Функция f(x, y) имеет смысла при x2 + y2 < 9, т.е. областью определения функции является круг с радиусом 3 без точек окружности. В трехмерном пространстве функции двух переменных соответствует поверхность. ! Примеры: Функция f(x, y)называется непрерывной в точке M 0(x0, y0), если соблюдаются следующие два условия: 1. в точке M 0 функция имеет определенное значение b, 2. в точке M 0 функция имеет предел, равный b. Если не выполняется хотя бы одно из этих условий, то функция называется разрывной в этой точке. Функция f(x, y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Функция нескольких переменных þ Обозначение: y = f(x1, x2¼, xn). ! Примеры: Производственная функция Q = f(K, L, N) является функцией 3 переменных (факторов производства), где Q – выпуск, K - капитал, L - затраты на труд, N - природные ресурсы. Частным случаем является функция Кобба-Дугласа
§3.3. Производная функции
Производная функции Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке (a, b), и пусть x – какая-то точка этого промежутка. Дадим аргументу приращение D x, тогда функция получит приращение, равное D y = f(x + D x) – f(x). Если функция непрерывная и приращение аргумента бесконечно малая величина, то приращение функции тоже бесконечно малая величина. Предел, к которому стремится отношение
þ Обозначение: f¢(x) («эф штрих икс»), y¢ («игрек штрих») ! Примеры производных линейной функции y = x и квадратичной функции y = x2.
Производная степенной функции равна произведению степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше:
Производные функций y = x, y = x 2 являются частными случаями формулы (1), при n = 1; 2. Производные 1 ¢ = 0, ! Пример: Производная тригонометрической функции y = sinx равна
Таким же образом находится производная функции cosx: (cosx)¢ = – sinx. (3) ! Пример: Производная экспоненциальной функции y = ex равна
Свойства производной 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: (cf(x))¢ = cf¢(x). 2. Производная суммы равна сумме производных: (f(x) ± g(x))¢ = f¢(x) ± g¢(x). 3. Производная произведения равна (f(x)g(x))¢ = f¢(x)g(x) + f(x)g¢(x). 4. Производная отношения равна
! Пример: Производная тригонометрической функции y = tgx равна
Таким же образом находится производная функции сtgx:
@ Задача 1. Найти производную постоянной функции y = c. Решение: Производную находим с помощью 1 свойства производной и формулы (1): c¢ = c· 1 ¢ = c·0 = 0. @ Задача 2. Найти производную функции f(x) = (2x 3 – 3x + 1)cosx и вычислить f¢(0). Решение: При нахождении производной заданной функции применяются свойства производных и производные степенных и тригонометрических функций: f¢(x) = (2x 3 – 3x + 1)¢cosx + (2x 3 – 3x + 1)(cosx)¢ = = (6x 2 – 3)cosx – (2x 3 – 3x + 1)sinx; f¢(0) = – 3. Процедура нахождения производной называется дифференцированием.   ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
.
- полусфера, z = x 2 + y2 - параболоид.
, где A характеризует эффективность применяемой технологии, a – коэффициент эластичности по капиталовложению.
при D x ® 0, называется производной функции:
.
.
.
. (1)
, 
, 
тоже являются частными случаями формулы (1), при n = 0; ½; 3; – 1.
. (2)
. (4)
.
. (5)
. (6)