Ряд, членами которого являются степенные функции, называется степенной

,

где числа а₀, а₁, ¼ а_п называются коэффициентами ряда.

При x = x₀ степенной ряд превращается в числовой ряд. Если полученный числовой ряд сходится, то точка x₀ называется точкой сходимости ряда, если ряд расходится – точкой расходимости.

Совокупность числовых значений x, при которых степенной ряд сходится, называется его областью сходимости.

Теорема Абеля

Если степенной ряд сходится при x = x₀ ¹ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях |x| < |x₀|.

Следствие: Если ряд расходится при x = x₁, тоон расходится и при всех | x| > |x₁ |.

Из теоремы Абеля следует, что если x₀ ¹ 0 есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (– |x₀ |; |x₀ |) весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях x вне этого интервала степенной ряд расходится.

Интервал (– |x₀ |; |x₀ |) называется интервалом сходимости степенного ряда. Число R = |x₀ | называется радиусом сходимости степенного ряда, т.е. при всех x, для которых | x| < R, ряд абсолютно сходится, а при | x| > R ряд расходится.

В частности, когда степенной ряд сходится лишь в одной точке x₀ = 0, то считается, что R = 0. Если же ряд сходится при всех значениях x Î R (т.е. во всех точках числовой оси), то считается, что R = ∞.

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при x = R и при x = – R) сходимость ряда проверяется в каждом конкретном случае отдельно.

Согласно признаку Даламбера радиус сходимости степенного ряда определяется как , а согласно признаку Коши - R = 1 / .

@ Задача 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение: Радиус сходимости можно найти по формуле Даламбера

= .

Следовательно, степенной ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

@ Задача 2. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение: Радиус сходимости находим по формуле Коши

R = 1 / = .

Следовательно, степенной ряд сходится лишь в одной точке x₀ = 0.

Свойства степенных рядов

1. Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (– R; R).

2. Степенные ряды и , имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R₂, можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке внутри интервала сходимости:

Полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный степенной ряд.

Ряд Тейлора

Функцию f(x) можно представить в виде бесконечного степенного ряда, который называется рядом Тейлора:

Частный случай этого ряда при a = 0 называется рядом Маклорена:

! Примеры: ,

Значение функции в точке x = b можно приближенно найти с помощью ограниченного ряда Тейлора (с помощью первых n членов) (формула Тейлора):

(1),

допустив при этом ошибку (остаточный член Лагранжа):

, (2)

где x - некоторое число, лежащее между a и b.

Коши доказал, что f(x) разлагается в ряд Тейлора, если .

@ Задача 3. Найти формулы для вычисления чисел e, и функции .

Решение: e и находятся с помощью формулы (1) и остаточного члена (2):

, ,

, .

Функция находится с помощью выражения для f(x) (формула (1), только вместо b нужно подставить x) и остаточного члена (2):

, .

Тестовые задания по теме №3 «Математический анализ и дифференциальные уравнения»

1. Решением неравенства f(x) ˂ f(2) при монотонно убывающей функции f(x) во всей области определения D(f) R служит множеств:

£ ; R ; £ .

2. Область значений функции y = -cos2x + 1 есть отрезок:

£ [-2, 2]; £ [-2, 0]; R [0, 2]; £ [-1, 1].

3. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3:

£ F(x) = 3x^; £ F(x) = 3x+ 1^; £ F(x) = (x + 1)³-x³ - 3x²; R F(x) = 3(x + 1)³ + 2.

4. Из нижеперечисленных функций выберите ту, которая не является первообразной к функции f(x) = 3x :

£ F(x) = x³+ 1; £ F(x) = (x + 1)³ – 3x -3x; R F(x) = (x + 1)³ + 2; £ F(x) = x³.

5. Для функции точка x=0 является точкой …

£ разрыва; £ перегиба; £ минимума; R максимума.

6. Для функции обратной является функция…

£ ; R ; £ ; £ .

7. Для функции точка является точкой…

£ непрерывности; £ разрыва II рода; £ точкой экстремума; R устранимого разрыва.

8. Предел функции равен:

£ ; £ 1; £ ; R 2.

9.Для функции обратной является функция:

£ ; R ; £ ; £ .

10. Найти производную функцию

£ ; R ; £ .

11. Функция отображает отрезок на отрезок:

£ ; R ; £ ; £ .

12. Найти частную производную f¢_x функции f(x, y) = x ² y – 2xy в точке (2; – 1):

£ 3; R 0; £ – 2; £ 1.

13. Найти производную функции :

£ 25х+18; R ; £ 3 ; £ .

14. Для функции обратной является функция:

£ ; R ; £ ; £ .

15. Найти производную функции :

£ 25х+18; R ; £ ; £ .

16. Найти производную функции :

R ; £ ; £ ; £ .

17.Найти производную функции :

£ ; £ ; £ ; R .

18. Найти частное значение функции в точке В(2, -4):

£ ; £ ; R ; £ .

19. Предел функции равен:

£ ; £ 1; £ ; R 0.

20. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид …

£ ; £ ; R ; £ .

21. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид:

£ ; £ ; R ; £ .

22. Общим решением дифференциального уравнения является:

£ ; £ ; R ; £ .

23. Общим решением дифференциального уравнения является:

£ ; £ ; R ;

£ .

24. Функция на всей числовой оси…

£ монотонно убывает; R выпукла вниз; £ выпукла вверх;

£ монотонно возрастает.

25. Функция бесконечно малая в точке…

R ; £ ; £ ; £ .

26. Частное решение дифференциального уравнения при начальном условии имеет вид…

£ ; £ ; R ; £ .

27. Предел функции равен:

£ ; £ 2; R 12/5; £ 3/20.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: