Путь, пройденный материальной точкой, движущейся по закону

v(t) = 3t , за время от начала отсчёта до конца третьей секунды равен …

£ 3; R 1; £ 6; £ 10.

29. Функция не имеет производной …

£ в точке x=1; £ в точке x=-1; £ в точках x=1, x=0; R в точке x=0.

30. Разрыв функции в точке x₀ называется разрывом первого рода, если

£ предел функции в точке x₀ равен ¥.

£ левосторонний предел функции в точке x₀ равен ¥, а правосторонний предел функции в точке x₀ – конечный.

£ функция неопределена в точке x₀.

£ правосторонний предел функции в точке x₀ равен ¥, а левосторонний предел функции в точке x₀ – конечный.

R левосторонний и правосторонний пределы функции в точке x₀ конечные.

31. Предел числовой последовательности равен:

£ 3; £ 0,5; R 1,5; £ 0; £ ∞.

32. Предел, к которому стремится отношение приD x ®0, называется:

£ дифференциалом функции; R производной функции; £ дифференциалом аргумента;

£ частной производной.

Скорость механического движения – это

R первая производная закона перемещения; £ вторая производная закона перемещения;

£ предел закона перемещения.

.

34. Найти экстремум функции y = x ³ – 3x.

R – 1; £ 0; £ 2; R + 1; £ 4.

35.Общий член последовательности имеет вид...

£ ; £ ; R .

36. Радиус сходимости степенного ряда равен 4. Тогда интервал сходимости имеет вид:

£ 0;4; R -4;4; £ -2;2; £ -4;0.

37.Сумма числового ряда равна:

£ 1/5; R 6/5; £ 5/6; £ 1/216.

38. Если общий член числового ряда стремиться к нулю, то ряд

£ сходится;; £ расходится; R может сходиться или расходиться.

39. Степенной ряд с радиусом сходимости 4

£ расходится в интервале (0; 4); R сходится в интервале (– 4; 4);

£ расходится в интервале (– 4; 4); £ сходится для значений | x| > 4.

Тема №4. Неопределенный интеграл

§4.1. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл

Пусть функция f(x) есть производная от функции F(x), т.е. F¢(x) = f(x). Тогда функция F(x) называется первообразной для функции f(x).

! Примеры: f(x) = 2x; F(x) = x ²; F(x) = x ² + 2.

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных; если F(x) первообразная, то F(x) + C тоже первообразная, где C - неопределенный коэффициент.

Наиболее общий вид первообразной от функции f(x) называется неопределенным интегралом:

= F(x) + C.

Слово интеграл заимствован от латинского слова integralis – целостное. Процедура нахождения первообразной F(x) называется интегрированием, f(x)dx - подинтегральное выражение, f(x) - подинтегральная функция, x - переменная интегрирования, - знак интеграла..

! Примеры: ; .

Свойства неопределенных интегралов

1. Дифференцирование и интегрирование – это обратные действия. Они взаимно уничтожают друг друга: или .

2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла: .

3. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

.

ТАБЛИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

Табличные интегралы

Интегралы, которые применяются для интегрирования элементарных функций и их комбинаций, называются табличными интегралами. Ниже приводятся основные табличные интегралы.

1. , n Î R, n ¹ –1

2.

3.

3а.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

§4.3 Непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, интегрирование по частям

Непосредственное интегрирование

Интегрирование называется непосредственным, если при интегрировании применяются только свойства интегралов и табличные интегралы.

@ Задача 1. Интегрировать функцию

.

Решение: Интеграл вычисляется непосредственно с помощью свойств неопределенных интегралов и табличных интегралов:

.

Замечание: Нет нужды выписывать при промежуточных вычислениях для каждого интеграла свое постоянное слагаемое; достаточно приписать его по выполнения всех интегрирований.

Способ подстановки

Этот способ применяется, как правило, если подинтегральная функция сложная и нет возможности сразу брать интеграл с помощью табличных интегралов.

В подинтегральное выражение вместо x вводится вспомогательная переменная z, связанная с x некоторой зависимостью (как правило, аргумент подинтегральной сложной функции), после чего интеграл сводится к табличному интегралу.

@ Задача 2. Вычислить .

Решение: Производится замена переменных 2x – 1 = z, после чего 2x – 1 = z и dx = dz/2 подставляются в подинтегральное выражение, и интеграл сводится к табличному интегралу:

.

@ Задача 3. Вычислить .

Решение: Производится замена переменных 1 + x² = z, после чего находим 2xdx = dz. После подстановки получим:

.

@ Задача 4. Вычислить .

Решение: Под квадратным корнем, выделив полный квадрат, интеграл можно свести к табличному интегралу:

.

Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется интегрирование по формуле:

, (1).

Этот способ интегрирования применяется в тех случаях, когда подинтегральная функция представляет собой произведение степенной и показательной функций, степенной и тригонометрической функций и т.д.

@ Задача 5. Вычислить .

Решение: В подинтегральном выражении производятся замены x = u; e^xdx = dv, тогда v = e^x; du = dx. После этого применяется формула (1):

.

@ Задача 6. Вычислить .

Решение: В подинтегральном выражении производятся замены lnx = u; xdx = dv, тогда ; . После этого применяется формула (1):

.

@ Задача 7. Вычислить .

Решение: В подинтегральном выражении производятся замены x² = u; sinxdx = dv, тогда v = – cosx; du = 2xdx и формула (1) применяется дважды:

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: