Применение определенного интеграла

Площадь плоской фигуры, ограниченной функциями y₁ и y₂

Площадь плоской фигуры S, ограниченной функциями y₁ и y₂, определяется по формуле (рис.5.1)

Х . (1)

y₂

y₁

0 а в у

Рис. 5.1. Площадь плоской фигуры S,

ограниченной функциями y₁ и y₂

@ Задача 1. Найти площадь криволинейного треугольника, ограниченного функцией y = x², осью OX и x = 1.

Решение: В формуле (1) вместо y₁ ставится функция y = x², вместо y₂ функция y = 0 (ось OX), вместо a значение x пересечения y₁ и y₂, т.е. a = 0, b = 1 (x = 1):

.

@ Задача 2. Найти площадь фигуры, ограниченной функциями y₁ = x и y₂ = x³.

Решение: В формуле (1) a и b являются точками пересечения функций y₁ и y₂, т.е. a = 0 и b = 1:

.

Объем тел вращения

Объем V пространственного тела, полученного вращением графика функции f(x) вокруг оси OX, определяется по формуле .

@ Задача 3. Найти объем эллипсоида вращения:

Решение: Объем эллипсоида вращения определяется как

.

Применение определенного интеграла в экономике

С помощью определенного интеграла можно найти доходы, издержки, объем продукции (выпуск) и т.д., интегрируя предельные доходы, издержки и производственную функцию.

@ Задача 4. Найти суммарный доход R(Q), зная предельный доход .

Решение: Суммарный доход находится как интеграл от предельного дохода

.

Неопределенный множитель C = 0, т.к. R (0) = 0.

@ Задача 5. Найти объем продукции производства за 4 года, если производственная функция имеет вид .

Решение: Объем продукции Q определяется как

.

Кривая Лоренца

Кривая Лоренца показывает распределение доходов в обществе, т.е. зависимость суммарного дохода от численности населения. Если бы распределение доходов было равномерным, то график функции шел бы по диагонали квадрата со стороной 1. Чем больше отклонение кривой Лоренца от диагонали квадрата, тем больше степень неравномерности распределения доходов в обществе. Отношение площади полученной криволинейной фигуры к площади треугольника ACD (рис. 5.2) называется «коэффициентом Джини». Этот коэффициент можно найти по формуле

,

где y(x) – кривая Лоренца.

Рис. 5.2. Кривая Лоренца

Тесты по теме №5 «Определенный интеграл»

1. Значение интеграла равно …

£ -cosa; R sina; £ sinx; £ -cosx.

2.Вычислить интеграл

£ 5; R 4; £ 7; £ 12.

3. Значение интеграла равно …

£ -cosa; R ; £ ; £ -cosax.

4. Интеграл численно равен площади …

£ некоторого круга; R некоторой трапеции; £ некоторого треугольника;

£ некоторого квадрата.

5. Вычислить определенный интеграл:

R 21; £ 16; £ 12; £ 8.

6. Вычислить площадь, ограниченную кривой и осью ОХ:

£ 12; R 10 ; £ 8; £ 8 .

7. Вычислить определенный интеграл:

£ 2; £ 0; R 1; £ -1.

8. Вычислить площадь, ограниченную кривой и у = 0:

£ 6; R - ; £ 5; £ .

9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной параболой у , прямой х = 3 и осью ОХ.

£ ; £ 0; £ 6; R .

10. Вычислить площадь фигуры ограниченную линиями: ,

£ 3; £ 8; R ; £ 1.

11. Вычислить интеграл

£ 5; £ 2; £ 7; R 3.

12. Вычислить интеграл

£ 32; R 20; £ 12; £ 42.

13. Вычислить интеграл

£ 12; R 27; £ 23; £ 41.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Совершенствование методов хозяйственной деятельностью во многом связано с применением в экономической науке и практике разнообразных математических методов исследования. В связи с этим в настоящее время математические дисциплины имеют исключительно важное значение как для всего процесса обучения в экономическом институте (они необходимы для успешного усвоения таких специальных дисциплин в образовании экономиста как информатика, экономическая статистика, эконометрика, новые информационные технологии и др.), так и для последующей деятельности специалиста.

Развитие математической культуры студента должно включать в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке экономиста, выработку представления о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, умение логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и корректно использовать математическую символику для выражения количественных и качественных отношений.

Литература

1. Высшая математика: Учебник / В.А. Ильин и др. – М.: ВЕЛБИ, 2010.

2. Высшая математика для экономистов: Учебник /.Под ред. Н.Ш. Кремера. – 2-е изд. – М.: ЮНИТИ, 2008.

3. Высшая математика для экономических специальностей: Учебник и Практикум / часть1-2 / Под ред. Н.Ш. Кремера. – М.: Высшее образование, 2008.

4. Начала финансовой математики / Г.П. Башарин. – М.: ИНФРА-М, 1998.

5. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие /Под ред. В.Е. Гмурмана.- 1 2 –е изд. – М.: Высшее образование, 2010.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: