|
|
Поверхности второго порядка. Сфера. Цилиндр
Сфера с центром в точке Цилиндры второго порядка. Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторому направлению и пересекающей данную линию. Последняя называется направляющей цилиндрической поверхности, а прямая – образующей.
Итак, уравнение (57) на плоскости Изобразите самостоятельно гиперболический цилиндр с уравнением Эллипсоид Эллипсоидом называется поверхность, определяемая уравнением
где При сечении поверхности (58) плоскостью
В первом уравнении перенесём
Эта система уравнений определяет эллипс с полуосями
Конусом второго порядка называется поверхность, определяемая уравнением
В самом деле, при таком сечении получается линия, определяемая системой уравнений
Заменим в первом уравнении
Но первое уравнение равносильно совокупности двух уравнений
Поэтому последняя система равносильна совокупности двух систем
Все уравнения в этих системах определяют плоскости, проходящие через начало координат. Значит, каждая система определяет в пространстве прямую, проходящую через начало координат. При   Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Поверхностью второго порядка в пространстве 
называется поверхность, определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат 
Здесь 
– действительные числа, называемые коэффициентами. В зависимости от коэффициентов это уравнение может определять поверхность или точку (например, уравнению 
отвечает точка 
) или пару плоскостей (например, уравнению 
отвечает пара плоскостей 
и 
), а также может не определять никакого множества точек (например, 
). Рассмотрим частные виды поверхностей второго порядка.
и радиусом 
имеет уравнение 
где 
– заданные числа (см. рис. 32). Раскрыв скобки и перенеся число 
в левую часть, получим 
Нетрудно проверить, что уравнение второй степени относительно 
в котором коэффициенты при 
равны между собой, а члены с произведениями координат отсутствуют, представляет собой уравнение сферы (если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет поверхность).
Пусть, например, образующие цилиндрической поверхности параллельны оси 
и направляющей служит эллипс (рис. 33) в плоскости 
с уравнением
. (57)
Эта поверхность называется эллиптическим цилиндром. Пусть 
– произвольная точка этого цилиндра, а точка 
– проекция 
на плоскость 
Ясно, что абсциссы и ординаты точек 
совпадают. Так как точка 
и 
удовлетворяют уравнению (57). Но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты 
направляющей которого является указанный эллипс.
и образующей, параллельной оси 
а также параболический цилиндр с уравнением 
и образующей, параллельной оси 
(58)
– заданные положительные числа. Исследуем форму этой поверхности методом сечений.
(
– постоянная, 
), проходящей через точку 
получим кривую, которая определяется совокупностью двух уравнений
или 
вправо и поделим обе части уравнения на 
получим
и 
расположенный в плоскости 
При 
значения 
и 
очевидно, достигают своих наибольших значений 
и 
т. е. на плоскости 
значения 
достигают наименьших значений 
и 
Это означает, что плоскости 
и 
имеют с эллипсоидом по одной общей точке 
и 
соответственно. При 
эллипсоид с плоскостью 
(
) и плоскостью 
(
).
При 
имеем эллипсоид вращения (рис. 34). Эта поверх-ность получается при вращении вокруг оси 
расположен-ного в плоскости 
§20. Конус
(59)
где 
и 
Очевидно, что при 
т. е. конус (59) имеет с плоскостью 
значения 
и 
увеличи-ваются. Покажем теперь, что при сечении поверхности (59) плоскостью с урав-нением 
(
– постоянная), прохо-дящей через 
получим
и 
и 