Матрицы и действия над ними. Обратная матрица

Матрицей называется прямоугольная таблица, содержащая чисел, имеющая строк и столбцов. Она обозначается

.

Числа называются элементами матрицы. Коротко эту матрицу обозначают так: . Здесь – номер строки, – номер столбца элемента . Матрицу иногда обозначают и так:

.

Если столбцы матрицы сделать строками с теми же номерами, то полученная матрица называется транспонированной и обозначается

.

Если в матрице число строк и число столбцов совпадают, то матрица называется квадратной:

.

Элементы образуют главную диагональ матрицы. Число называется порядком матрицы. Квадратной матрице можно поставить в соответствие число, называемое определителем матрицы, обозначаемое и равное

.

Матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы равны 0, называется единичной и обозначается

.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной и обозначается . Матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцевой, например,

.

Пусть даны две матрицы с одинаковым числом строк и столбцов: Эти матрицы называются равными друг другу (при этом пишут или ), если все их соответствующие элементы равны друг другу, т. е. для всех

Суммой матриц и называется матрица, обозначаемая , элементы которой для всех значений . Это правило можно записать так: . Аналогично вводится понятие разности двух матриц.

Произведением матрицы на число l называется матрица, обозначаемая , элементы которой равны произведениям числа l на соответствующие элементы матрицы , т. е. . Иначе говоря, чтобы умножить матрицу на число l, нужно умножить на это число каждый её элемент (для сравнения заметим, что для умножения определителя на число нужно умножить на это число все элементы какого-либо ряда).

Умножение матриц. Даны матрица , имеющая строк и столбцов, и матрица , имеющая строк и столбцов. Произведением этих матриц называется матрица, обозначаемая ( – первая матрица), элементы которой определяются формулой

, , . (6)

Изобразим схематично эти матрицы и их произведение:

.

В формуле (6) первые индексы означают номера строки элемента матрицы, вторые – номера столбца элемента. Формула (6) показывает, что элемент -й строки и -го столбца матрицы равен сумме произведений элементов -й строки первой матрицы на соответствующие элементы -го столбца второй матрицы . Следовательно, чтобы получить элементы -й строки матрицы , нужно элементы -й строки умножить на соответствующие элементы первого столбца , и, сложив, найти . Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы второго столбца и сложив, получим и т. д. Умножив элементы -й строки на соответствующие элементы -го столбца и сложив, получим .

Таким образом, элементы -й строки матрицы С получаются с помощью -й строки первой матрицы . Это относится к любой строке матрицы С. Поэтому ясно, что число строк С равно числу строк , а число столбцов равно числу столбцов матрицы В, так как номер столбца элемента совпадает с номером столбца матрицы .

Аналогично найдём , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . Если это не так, то произведения не существует. Если даже и существуют, то легко проверить на примерах, что, вообще говоря, .

Свойства умножения матриц. Пусть даны три матрицы , и . Тогда:

· ;

· .

Пусть – квадратная матрица, а – единичная матрица того же порядка, что и . Нетрудно проверить, что .

Обратная матрица. Пусть дана квадратная матрица

Определитель этой матрицы есть число

.

Пусть этот определитель не равен нулю и – алгебраическое дополнение для элемента .

Обратной к данной матрице называется матрица, обозначаемая и определяемая условиями Если то есть матрица вида

.

Отсюда видно, что для построения обратной матрицы для матрицы нужно:

· элементы матрицы заменить на их алгебраические дополнения;

· все эти дополнения поделить на – определитель матрицы ;

· полученную матрицу транспонировать.

Из приведенного определения видно, что для нахождения нужно вычислить определитель матрицы и все алгебраические дополнения для всех ее элементов.

§4. Системы линейных алгебраических уравнений

с неизвестными. Матричный метод решения

Дана система уравнений

, (7)

где – искомые неизвестные, – заданные числа, называемые коэффициентами уравнений системы, – заданные числа, называемые свободными членами системы уравнений. Нужно найти .

Введём три матрицы

, (8)

, (9)

. (10)

называется матрицей коэффициентов системы (7), – матрицей неизвестных, – матрицей свободных членов. Определитель матрицы называется определителем системы и обозначается . Итак, определитель системы (7) равен

. (11)

Возьмём произведение матриц (8) и (9). Так как – столбцевая матрица, то это произведение также представляет собой столбцевую матрицу

.

Элементы этого произведения равны согласно системе (7) свободным членам соответствующих уравнений этой системы, т. е. соответствующим элементам матрицы . Следовательно, эти две матрицы равны друг другу. Таким образом,

. (12)

Это есть матричная запись системы (7).

Пусть определитель системы (7), т. е. определитель (11), отличен от нуля. Тогда по известной матрице (8) коэффициентов системы (7) найдём для неё обратную матрицу . На эту матрицу (все элементы которой известны) умножим обе части (12), считая матрицу первой матрицей в произведениях, и получим

. (13)

Согласно первому свойству умножения матриц, левая часть формулы (13) равна , но так как , , то левая часть формулы (13) равна . Таким образом,

. (14)

Правая часть формулы содержит известные матрицы. Найдём произведение . Это будет столбцевая матрица с известными элементами, но эта матрица по формуле (14) равна матрице неизвестных . Поэтому их соответствующие элементы равны друг другу. Приравняв эти элементы, найдём неизвестные .

Формулы Крамера

Покажем, что решение системы (7) определяется формулами Крамера

(15)

Здесь – определитель системы (7) (считается, что ). – определители, получаемые из определителя D заменой соответственно первого, второго, … -го его столбца на столбец свободных членов системы (7), т. е.

, ,

…….

.

Запишем разложение определителя (11) системы (7) по элементам первого столбца:

(16)

В этой формуле элементы первого столбца заменим соответственно на – свободные члены системы (7). Тогда

. (17)

Получили разложение определителя по элементам первого столбца. Аналогично запишем разложение определителя по элементам второго столбца

(18)

и т. д. Наконец, получим разложение определителя по элементам последнего столбца:

. (19)

По формуле (14) будем иметь

.

В правой части матрицы перемножим и получим столбцевую матрицу. Теперь последнюю формулу запишем так:

.

Согласно (17) – (19) в последней формуле суммы, стоящие в числителях матрицы правой части, равны соответственно . Следовательно, эту формулу можно записать в виде

.

В этом соотношении матрицы слева и справа равны друг другу, следовательно, их соответствующие элементы равны, т. е. получаем соотношение (15). Из формул Крамера вытекает следующая

Теорема. Если определитель системы (7) не равен нулю, то эта система имеет единственное решение (которое можно найти, например, по формулам Крамера).

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: