|
Коллинеарности двух векторов, площадь треугольника
Даны два вектора и . Построим их, поместив начала в общей точке (см. рис. 12). Векторным произведением двух векторов и называется вектор (обозначаемый ), который обладает свойствами:
· , т. е. длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на , как на сторонах;
· , , т. е. перпендикулярен к плоскости указанного параллелограмма;
· вектор направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки.
Для векторного произведения применяют и другие обозначения: , ´ .
Векторное произведение обладает следующими свойствами:

Первые два свойства доказываются построением. Докажем справедливость равенства

Вначале отметим, что любой вектор можно представить в виде где вектор коллинеарен а вектор ортогонален (см. рис. 13). Чтобы в этом убедиться, достаточно через начало вектора провести прямую, параллельную через конец вектора провести плоскость, перпендикулярную точка их пересечения служит концом и началом (начало совпадает с началом , конец – с концом ).
Замечая, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна площади параллелограмма, построенного на векторах поскольку они имеют общую сторону , одну и ту же высоту , заключаем, что

Аналогично для вектора где вектор коллинеарен а вектор ортогонален будем иметь

Покажем, что
или 
где суть векторы, лежащие в одной плоскости, так как они перпендикулярны Здесь имеем

поскольку вектор ортогонален и и Кроме того, Заметим, что так как вектор ортогонален а вектор ортогонален Но ортогонален поэтому угол равен углу между векторами и Таким образом, векторы получаются поворотом вокруг соответственно векторов на угол, равный в одном и том же направлении (против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора ) и умножением их на . Это означает, что Учитывая, что где – вектор, коллинеарный , ортогонален , и принимая во внимание предыдущие соотношения, будем иметь
что и требовалось.
Пусть векторы и заданы своими проекциями: =( , , ), . Тогда = + + , = + + . Сначала рассмотрим векторные произведения базисных векторов.
С помощью определения векторного произведения покажем справедливость равенств
[ ]= ; [ , ]= ; [ , ]= ; [ , ]= ;
[ , ]= ; [ , ]= ; (19)
[ , ]=0; [ , ]=0; [ , ]=0. (20)
Итак, пусть [ , ]= . Вектор обладает свойствами:
· = 1×1×1 = 1;
· , , т. е. перпендикулярен к плоскости, в которой лежат векторы и ;
· направлен так, что если смотреть с его конца, то кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору совершается против хода часовой стрелки, т. е. совпадает с , следовательно, [ , ]= .
Покажем, что [ , ]=0. Пусть [ , ]= . Тогда =0, =0, т. е. [ , ]=0. Аналогично доказываются остальные равенства (19) – (20). Рассмотрим векторное произведение [ , ] = [ + + , + + ]. Использовав последние два свойства, запишем
[ , ]= [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+
+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ]+ [ , ].
Отсюда с учётом (19) – (20) имеем
[ , ]= + + - .
Итак,
[ , ]=( - ) -( - ) +( - ) . (21)
Следовательно (см. §1),
. (22)
Эту формулу можно записать так:
. (23)
Таким образом, если и заданы своими проекциями, то векторное произведение двух векторов определяется по формуле (23).
Условие коллинеарности двух векторов. Если для ненулевых векторов выполняется условие то и коллинеарны.
В самом деле, если то и , т. е. или . Следовательно, векторы , коллинеарны.
В этом случае из (21) имеем - =0, - =0, - =0. Значит, Это и есть условие коллине-арности двух векторов, заданных своими проекциями.
Решим следующую задачу: определить площадь треугольника, заданного своими вершинами.
Пусть , , – вершины треугольника в пространстве , а их координаты – заданные числа. Найдем векторы (см. §7) векторное произведение которых обозначим = Тогда согласно (22)

и Площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна найденному числу , поэтому искомая площадь треугольника определяется по формуле .
§11. Смешанное произведение векторов и его геометрический смысл. Условие компланарности трех векторов
Даны векторы , и . Векторы , перемножим векторно и получим . Этот вектор умножим скалярно на и получим число , которое называется смешанным (векторно-скалярным) произведением трёх исходных векторов , , и обозначается
( , , ) = = . (24)
Рассмотрим это смешанное произведение, когда векторы заданы своими проекциями , , . Проекции вектора на оси координат определяются по формуле (22).
Скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноимённых проекций:
.
Левая часть этой формулы – смешанное произведение ( , , ). Правую часть запишем в виде определителя третьего порядка:
. (25)
Эта формула позволяет вычислить смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями. Выясним теперь
Геометрический смысл смешанного произведения. Даны векторы , и . Построим эти векторы, поместив их начала в общей точке, а затем на них как на рёбрах построим параллелепипед (рис. 14). Построим вектор , перпендикулярный к плоскости, в которой лежат векторы и , т. е. перпендикулярный к нижнему основанию параллелепипеда. Длина | | равна площади нижнего основания параллелепипеда (т. е. площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах). Через конец проведём плоскость, перпендикулярную к (ясно, что верхнее основание параллелепипеда лежит в этой плоскости). Эта плоскость пересечёт вектор (или его продолжение) в точке К (К – проекция конца вектора на указанную линию). Из построения следует, что расстояние ОК равно высоте параллелепипеда. Пусть – угол между и . На рис. 14 изображен случай, когда при этом Смешанное произведение Но и Поэтому где – объём параллелепипеда. Этот результат мы получили для случая, когда . Если , то вектор лежит ниже плоскости векторов , , при этом и Итак, справедлива формула
(26)
где – объем параллелепипеда.
Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости.
Условие компланарности трех векторов. Если для трёх ненулевых векторов , и выполняется условие
, (27)
то эти векторы компланарны.
Действительно, в этом случае согласно (26) имеем Отсюда следует, что три вектора лежат в одной плоскости, так как или или 
Если , и заданы своими проекциями, то условие компланарности (27) с учётом (25) можно записать так:
.
Это условие проверяется непосредственно по заданным проекциям рассматриваемых векторов.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|