|
Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли ⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 7 Поставим в соответствие системе (20) две матрицы
Матрица Строка матрицы называется нулевой, если все её элементы равны нулю, и ненулевой, если она содержит хотя бы один отличный от нуля элемент. Например, если Ранг матрицы – это такое число Пусть система уравнений (20) преобразована методом Гаусса и приведена либо к системе (21), либо к системе (22). При этих преобразованиях происходят соответствующие преобразования основной и расширенной матриц системы (20). Совместность системы (20) равносильна отсутствию в преобразованной системе (21) или (22) противоречивого соотношения Теорема Кронекера – Капелли. Если система уравнений совместна, то ранги её основной и расширенной матриц равны, и наоборот, если ранги основной и расширенной матриц равны, то система совместна. Однородные системы Система уравнений (20)называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю: Пусть в однородной системе (20) число уравнений меньше числа неизвестных ( Теорема 1. Однородная система, в которой число уравнений меньше числа неизвестных, всегда имеет ненулевые решения. Рассмотрим случай, когда в однородной системе (20) Теорема 2. Если однородная система из Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы: дана однородная система (20), в которой Предположим противное, т. е. что её определитель Докажем вторую часть теоремы: определитель однородной системы (20) Заданную однородную систему преобразуем методом Гаусса, при этом придём к ступенчатой системе. Если бы пришли к треугольной системе, то, как было показано раньше, пришли бы к заключению, что определитель исходной системы не равен нулю, что не согласуется с условием теоремы. Итак, система обязательно приводится к ступенчатой. Последняя имеет бесконечное множество решений, среди которых найдутся и ненулевые, поэтому исходная система имеет ненулевые решения. Теорема доказана. При решении однородной системы целесообразно преобразовать её методом Гаусса и привести к ступенчатой или треугольной системе. ![]() ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|