Глава 1. Элементы векторной алгебры

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая числовая (координатная) ось l с началом в точке = есть вектор, произвольно расположенный в пространстве (рис. 8). Пусть и – проекции на ось l соответственно начала и конца рассматриваемого вектора (т. е. и – точки пересечения с осью пло-скостей, перпендикулярных к оси и проведенных через точки и ); и – соответственно координаты точек и на координатной оси Раз-ность между координатами проекций конца и начала вектора = на ось называется проекцией этого вектора на ось и обозначается пр_l = пр_l . Итак,

. (2)

Под углом между вектором = и осью в пространстве понимается угол между этим вектором и осью . Ось параллельна оси , направлена, как , и проходит через точку – начало вектора. Этот угол всегда считается положительным и измеряется в пределах Легко проверить, что

пр_l =| | . (3)

Итак, проекция вектора на ось равна произведению его длины на косинус угла между вектором и осью. Эта формула становится очевидной, если вектор перенести параллельно самому себе так, чтобы его начало лежало на оси например, совпало с точкой .

§5. Разложение вектора по базисным векторам

Возьмем в пространстве прямоугольную декартову систему координат Oxyz. Здесь и в дальнейшем будем считать, что эта система правая, т. е. такая, для которой поворот от оси к оси на угол, меньший , совершается в направлении против хода часовой стрелки, если смотреть на плоскость из какой-либо точки положительной полуоси Пусть , , – единичные векторы, лежащие на осях и направленные в положительную сторону этих осей, а их начала совпадают с началом координат O (рис. 9), | | = | | = | | = 1. Эти векторы называются базисными (основными).

Пусть – произвольный вектор в системе координат Перенесём его параллельно самому себе так, чтобы начало вектора совпало с точкой О. Получим вектор = . Пусть , и – проекции точки на оси и . Из рис. 9 видно, что

= = + + , = , = Þ

= = + + (4)

Пусть , , – проекции вектора = на оси и . Так как – проекция на ось , то по формуле (2) имеем так как , то

(5)

Пусть = , как показано на рис. 9. В этом случае =| |. По формуле (1) имеем =| | , но =| | и = , поэтому = . Легко проверить, что эта формула остаётся справедливой при = (при этом вектор будет направлен противоположно ). Аналогично будем иметь = , = . Подставим эти выражения в (4):

= + + . (6)

Получили формулу, которая называется разложением вектора по базисным векторам. Коротко ее записывают в виде =(, , ), подчёркивая, что задание вектора в пространстве равносильно заданию трёх чисел – проекций этого вектора на оси координат. Числа , , называют также координатами по отношению к базисным векторам , , . Слагаемые векторы правой части (6) называют составляющими вектора

Вектор с началом в точке О – начале координат – называется радиус-вектором точки конца этого вектора. Покажем, что проекции на оси координат радиус-вектора точки равны координатам этой точки.

Пусть точка имеет координаты в рассматриваемой системе По определению абсциссы точки имеем , где – координата точки Но согласно (5) – проекции на ось т. е. Аналогично Итак,

Линейные операции над векторами,

Заданными своими проекциями

Пусть векторы и заданы своими проекциями: =(, , ), Разложим векторы по формуле (6): Эти соотношения почленно сложим и учтём, что по свойству умножения вектора на число . Получим или

+ =( + ; + ; + ). (7)

Аналогично для разности

– =( – ; – ; – ). (8)

Точно так же для произведения и

=( , , ). (9)

Формула (7) показывает, что проекция на ось координат суммы векторов равна сумме проекций на эту ось слагаемых векторов. Подобное утверждение имеет место для формулы (8). Формула (9) показывает, что при умножении вектора на число на это число умножаются все проекции вектора.

§7. Длина вектора. Расстояние между двумя точками

Пусть вектор задан своими проекциями: =(, , ). Перенесём его параллельно себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Получим = . Из рис. 9 видно, что

.

Согласно (5) аналогично и . Эти числа подставим в предыдущую формулу и получим . Извлечём квадратный корень и найдем длину вектора:

. (10)

Задача. Пусть в пространстве Oxyz точки и заданы координатами А и В (рис. 10). Нужно найти расстояние между ними.

Так как координаты точки равны проекциям на оси координат радиус-вектора этой точки, то и = . Согласно (8) = , но Значит, Отсюда видно, что проекции на оси координат вектора равны разностям соответствующих координат его конца и начала. Зная проекции , по формуле (10) найдём длину вектора , следовательно, и расстояние между точками и | |=

§8. Направляющие косинусы вектора

Пусть в пространстве Oxyz заданвектор =(, , ). Поместим его начало в начало координат. Пусть – углы, образованные вектором с осями координат Ox, Oy, Oz (рис. 11). По формуле (3) для проекций этого вектора на оси координат имеем

(11)

В правые части вместо | | подставим (10) и выразим косинусы углов:

(12)

Они называются направляющими косинусами вектора . Если все равенства в (12) возведём в квадрат и почленно сложим, то получим . Для единичного вектора, у которого | |=1, формулы (11) примут вид . Отсюда

§9. Скалярное произведение векторов, угол между

векторами. Условие ортогональности двух векторов

Даны два вектора и , начала которых расположены в одной точке, а угол между векторами равен . Такое расположение мы всегда можем получить, перенеся один из векторов параллельно.

Скалярное произведение двух векторов и обозначается (либо ) и определяется как число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

(, )=| || | . (13)

Из определения ясно, что | | = (проекция на ). С учётом этого соотношения формулу (13) запишем так:

(, ) = | |× или (, ) = | |× . (14)

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длины одного вектора и проекции другого вектора на направление первого. Угол между векторами и будем обозначать также .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

· (, )=(, );

· ( , )=(, )= (, ), где – скалярный множитель;

· (, + )=(, )+(, ).

Первое свойство показывает, что сомножители можно поменять местами; второе – что постоянный скалярный множитель можно вынести за знак скалярного произведения; третье – что при скалярном умножении векторов можно использовать правило умножения многочленов. Первые два свойства проверяются на основании определения скалярного произведения векторов, т. е. с помощью формулы (13). Докажем третье свойство.

С учётом (14) запишем

(, + )=| |× =| |× +| | ×=(, )+(, ).

Пусть векторы заданы своими проекциями: поэтому = + + , = + + . Сначала для произведений базисных векторов , докажем справедливость соотношений

(, )=1; (, )=1; (, )=1; (15)

(, )=0; (, )=0; (, )=0; (16)

Действительно, по формуле (13) имеем ( )=| || | , поэтому (, )=1. Далее, (, )=| || | =0. Остальные равенства в (15) и (16) доказываются аналогично.

Запишем скалярное произведение

(, )=( + + , + + ).

Использовав второе и третье свойства скалярного произведения, будем иметь

(, )= (, )+ (, )+ (, )+ (, )+

+ (, )+ (, )+ (, )+(

Отсюда с учётом (15) и (16) получим

(, )= + + . (17)

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных проекций этих векторов.

Вычисление угла между векторами. Запишем | | и | | через проекции с использованием формулы (10). Из (13) следует, что . Следовательно, согласно (17)

. (18)

Зная найдем угол

Условие ортогональности (перпендикулярности) двух векторов. Если для ненулевых векторов и их скалярное произведение (, )=0, то вектор ортогонален вектору

В самом деле, пусть (, )=0, тогда согласно (13) имеем (, )=| |×| |× =0. Так как , , то =0. Значит, , т. е. векторы ортогональны.

Условие ортогональности двух векторов с учётом (17) можно записать следующим образом: + + =0.

В пространстве

В аналитической геометрии любую поверхность в пространстве рассматривают как геометрическое место точек, обладающих определённым свойством. Расположим указанную поверхность в системе координат Oxyz. Свойство, общее для всех точек поверхности, запишем аналитически, т. е. в виде соотношения, связывающего координаты произвольной точки поверх-ности:

, (1)

где левая часть – известное выражение, содержащее . Формула (1) называется уравнением поверхности в пространстве Oxyz, а величины – текущими координатами. Например, сфера радиуса R с центром (0, 0, 0) (см. рис. 15) определяется уравнением

. (2)

В самом деле, для любой точки М () сферы расстояние ОМ=R. Заметив, что подставим это выражение в предыдущую формулу и перенесем влево, при этом получим (2). Поэтому (2) является уравнением сферы.

По построению уравнению (1) удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности. Можно сформулировать и обратное утверждение: каждому уравнению вида (1) в пространстве Oxyz отвечает некоторая поверхность – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют (1), если не имеет место случай, когда это уравнение не определяет никакого множества точек, например, , или когда уравнение определяет одну точку, например, .

Итак, каждой поверхности в пространстве Oxyz отвечает уравнение вида (1). Это обстоятельство позволяет свести изучение геометрических свойств поверхностей к изучению их уравнений аналитическими методами. Этим и занимается аналитическая геометрия.

Уравнения линии в пространстве. Линию в пространстве Oxyz будем рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Пусть каждая из этих поверхностей определяется одним из уравнений

(3)

Тогда координаты любой точки линии удовлетворяют каждому из этих уравнений, так как эта точка лежит на обеих поверхностях. Таким образом, линии отвечает система двух уравнений (3). Эта система называется уравнениями линии в пространстве.

Итак, линии в пространстве отвечает система уравнений (3) и, наоборот, каждой системе уравнений (3) в пространстве Oxyz отвечает некоторая линия – геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют этой системе.

Между прямыми

Мы знаем, что уравнение первой степени

(26)

в пространстве определяет плоскость, параллельную оси Oz, причём её нормальный вектор . Пусть эта плоскость пересекается с плоскостью по прямой (рис. 21) и – произвольная точка этой прямой. Так как точка M лежит на плоскости с уравнением (26), то координаты этой точки в пространстве удовлетворяют этому уравнению. Таким образом, координаты произвольной точки прямой удовлетворяют (26). Следовательно, это и есть уравнение указанной прямой .

Итак, уравнение (26) в пространстве Oxyz определяет плоскость, параллельную оси Oz. Это же уравнение на плоскости определяет прямую, являющуюся линией пересечения указанной плоскости с плоскостью . Уравнение (26) называется общим уравнением прямой на плоскости.

В дальнейшем у точки этой прямой и у нормального вектора этой прямой третьи нулевые координаты записывать не будем. Прямую будем изображать в плоскости (рис. 22).

Рис. 21 Рис. 22

Из изложенного видно, что в общем уравнении прямой коэффициенты и при текущих координатах являются проекциями нормального вектора прямой на оси координат. По аналогии с общим уравнением плоскости можно рассмотреть частные случаи общего уравнения прямой, когда те или иные коэффициенты этого уравнения обращаются в нуль.

Пусть на плоскости две прямые заданы уравнениями

(27)

(28)

соответственно, при этом – заданные числа; , – нормальные векторы этих прямых. За угол j между ними примем один из двух смежных углов, равный углу между нормальными векторами и этих прямых. Но последний определяется через косинус угла , который найдем по формуле (18) главы 1:

.

В этой формуле, выведенной ранее для косинуса угла между векторами в пространстве, угол берётся без знака, т. е. считается положительным и измеряется от до

§10. Уравнение прямой с угловым коэффициентом,

условия параллельности и перпендикулярности прямых

Пусть в общем уравнении прямой коэффициент . Тогда . Обозначим ,

, (29)

Получим

. (30)

Выясним геометрический смысл коэффициентов , . На оси Oy возьмём точку . Ее координаты удовлетворяют уравнению (30), следовательно, эта точка лежит на рассматриваемой прямой (в этом и состоит геометрический смысл числа ).

Пусть – угол, образованный рассматриваемой прямой с осью Ox. Он считается положительным, если отсчитывается от оси Ox против хода часовой стрелки. Пусть – произвольная точка рассматриваемой прямой. Из рис. 23 видно, что С другой сто

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: