Уравнение прямой, проходящей через заданную

Точку с заданным угловым коэффициентом. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть дана точка , лежащая на прямой, и известен угловой коэффициент этой прямой. Нужно записать ее уравнение.

Так как эта прямая проходит через точку , то ее координаты удовлетворяют уравнению (30), т. е. . Полученное соотношение вычтем из (30) и придем к уравнению прямой, проходящей через точку :

. (31)

Пусть теперь даны две точки и . Нужно записать уравнение прямой, проходящей через них. Здесь можем воспользоваться уравнением (31). Величина пока не известна. Учтём, что прямая проходит также через точку , поэтому координаты этой точки должны удовлетворять уравнению (31), т. е. . Исключим из последних двух уравнений. Для этого нужно соотношение (31) почленно поделить на последнее. Получим искомое уравнение

Кривые второго порядка. Окружность

Кривой второго порядка называется линия на плоскости определяемая уравнением второй степени относительно текущих координат , вида

. (32)

Здесь , , , , , –заданные числа, называемые коэффициентами уравнения. Cчитаем, что в этом уравнении коэффициенты , , одновременно не обращаются в нуль, поскольку в противном случае (32) обращается в уравнение первой степени.

Рассмотрим отдельные случаи уравнения (32) и соответствующие им кривые.

Окружность. Как мы уже знаем, окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение

. (33)

В уравнении (33) в левой части раскроем скобки и получим

. (34)

В уравнении (34) коэффициенты при квадратах текущих координат равны друг другу. Кроме того, в этом уравнении отсутствует член, содержащий произведение текущих координат. Легко проверить, что если в уравнении (32) , , то оно будет определять окружность в плоскости (если уравнению отвечает множество точек). Чтобы убедиться в сказанном, достаточно уравнение (32) поделить на , после чего в левой части выделить полные квадраты членов, содержащих , и полные квадраты членов, содержащих . Таким образом перейдём к уравнению вида (33):

.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. Эту постоянную обозначим через , , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка, соединяющего фокусы. При указанном выборе осей координаты фокусов , . Пусть – произвольная точка эллипса, соединим ее с и (рис. 24). По определению эллипса сумма расстояний от любой точки эллипса до фокусов равна , т. е.

. (35)

Из треугольника видно, что . Запишем расстояния через координаты:

, . (36)

Эти выражения подставим в (35) и получим

.

Последнему соотношению удовлетворяют координаты любой точки эллипса, следовательно, это соотношение – уравнение эллипса. Нужно его упростить. Второй корень перенесём из левой части вправо и возведём обе части уравнения в квадрат. Тогда будем иметь

,

.

После приведения подобных членов в правой части оставим корень с множителем, остальные слагаемые перенесём влево и полученное выражение возведём в квадрат. Обозначим (так как ), считая После простых преобразований получим соотношение

. (37)

Такое уравнение эллипса называется каноническим. Имея уравнение (37), выясним форму эллипса.

Пусть – произвольная точка эллипса. На плоскости возьмём точку , имеющую ту же абсциссу , что и точка М, а ординату , отличающуюся от ординаты точки М только знаком. Точка симметрична относительно оси Ox. Уравнение (37) содержит только во второй степени и . Точка лежит на эллипсе, поэтому её координаты удовлетворяют уравнению эллипса, но тогда этому уравнению удовлетворяют координаты точки , так как абсцисса точки М равна абсциссе , а ординаты различаются лишь знаком. Получаем, что точка лежит на эллипсе, но сказанное относится к произвольной точке эллипса, следовательно, эллипс будет симметричным относительно оси Ox. Так как в (37) содержится только в квадрате, рассуждая аналогично, покажем, что ось Oy также является осью симметрии эллипса, следовательно, начало координат – центр симметрии эллипса. В силу симметрии форму эллипса достаточно выяснить для первой четверти плоскости для которой и . Для таких значений и уравнение (37) запишем так:

. (38)

Получили выражение для ординаты точки эллипса с абсциссой Когда абсцисса точки принимает значение , то согласно (38) ее ордината . Точка находится на Oy в точке . С увеличением абсциссы точки ордината этой точки согласно (38) уменьшается. Точка опускается и при ордината этой точки будет равна нулю, совпадет с точкой . Остальные части эллипса вычерчиваются по симметрии. Точки называются вершинами эллипса, а числа и – большой и малой осями эллипса соответственно (см. рис. 24).

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 25). Обозначим эту постоянную , а фокусы – через и . Расстояние между ними . Ось Ox проведём через фокусы. Начало координат О возьмём в середине отрезка . Тогда фокусы имеют координаты , . Пусть – произвольная точка гиперболы, тогда по определению

. (39)

Знак «+» берётся, когда левая часть положительна, а знак «-» – когда левая часть отрицательна. Расстояния и , как и раньше, выражаются формулами (36). Подставим (36) в (39):

. (40)

Получили уравнение гиперболы. Как видно из рис. 25, есть длина стороны треугольника , и она больше , поэтому – действительное число, которое будем считать положительным. Уравнение (40) упростим, убрав корни так же, как в уравнении эллипса. Получим каноническое уравнение гиперболы

(41)

Исследуем форму гиперболы, исходя из уравнения (41) (как и в случае эллипса). Так как (41) содержит и только во второй степени, то Ox и Oy являются осями симметрии гиперболы (аналогично случаю эллипса), поэтому точка пересечения этих осей – начало координат – центр симметрии гиперболы. Ясно, что для установления вида гиперболы достаточно рассмотреть картину в первой четверти плоскости, где и . Для таких значений , из уравнения (41) выразим и получим

. (42)

Эта формула выражает ординату точки гиперболы, абсцисса которой есть . При ордината , получим точку гиперболы. С увеличением абсциссы точки её ордината согласно (42) увеличивается. Точка уходит вправо, неограниченно поднимаясь вверх. Остальные части гиперболы строятся по симметрии.

Определим вид гиперболы, когда неограниченно увеличивается. Возьмём прямую с уравнением

(43)

проходящую через точки и Пусть – точка прямой (43), имеющая ту же абсциссу x, что и точка M гиперболы. Ординаты этих точек равны и , так как координаты этих точек удовлетворяют (43) и уравнению гиперболы (42). Разность между указанными ординатами равна расстоянию между точками и , следовательно,

.

Для положительных знаменатель с увеличением неограниченно увеличивается, поэтому дробь убывает. Таким образом, стремится к нулю, т. е. точка гиперболы приближается к точке прямой. В силу симметрии относительно такая же картина будет в третьей четверти плоскости.

Возьмём теперь прямую

. (44)

Она симметрична с прямой (43) относительно Ox, проходит через точку и через точку , симметричную с относительно Ox. В силу симметрии гиперболы относительнооси абсцисс ясно, что гипербола по отношению к прямой (44) расположена аналогично её расположению к прямой (43). Прямые (43) и (44) называются асимптотами.

При построении гиперболы целесообразно сначала начертить ее асимптоты. Точки и пересечения гиперболы с осью Ox называются вершинами гиперболы. Расстояние между ними равно , называется действительной осью гиперболы; и называется мнимой осью.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой фокусом, и заданной прямой, называемой директрисой. Пусть – фокус. Ось Ox проведём через перпендикулярно директрисе (рис. 26).

Пусть – расстояние от фокуса до директрисы. Это число задано и называется параметром параболы. Начало координат возьмём в середине перпендикуляра, опущенного из точки на директрису. Тогда фокус будет иметь координаты . Директриса имеет уравнение . Пусть – произвольная точка параболы, – основание перпендикуляра, опущенного из точки на директрису. Из рис. 26 видно, что расстояние

. (45)

Запишем расстояние от до :

(46)

Для любой точки параболы имеем (по определению). Подставим сюда выражения (45), (46) и получим уравнение параболы

.

Упростим его, избавляясь от корня. Получим каноническое уравнение параболы

. (47)

Исследуем форму параболы по уравнению (47). Так как это уравнение содержит только во второй степени, то, как и в случае эллипса, Ox является осью симметрии параболы. Следовательно, вид параболы достаточно установить в верхней полуплоскости, где . Для таких значений уравнение (47) запишем в виде . Эта формула выражает ординату точки , абсцисса которой равна . Когда , согласно последней формуле , точка совпадает с . С увеличением – абсциссы точки – её ордината, равная , неограниченно растёт, и точка уходит вверх и вправо. В силу симметрии остальная часть параболы вычерчивается сразу. Если Ox провести от к директрисе, то получим параболу, изображенную на рис. 27. Легко проверить, что уравнение параболы в этом случае будет иметь вид Пусть теперь ось Oy направлена перпендикулярно к директрисе и проходит через . При этом уравнение параболы будет иметь вид (см. рис. 28).

§16. Преобразование координат на плоскости

Параллельный перенос осей координат. Пусть – исходная система координат, – новая система координат, полученная параллельным переносом исходной системы, как показано на рис. 29. Положение новой системы по отношению к старой определим, задав координаты нового начала в старой системе координат, где – заданные числа. Пусть , – координаты точки в новой системе, – координаты точки в исходной системе. Как видно из рис. 29, , . Итак,

(48)

Эти формулы выражают старые координаты точки через её новые координаты.

Поворот осей координат. Пусть – исходная система координат, а новая система координат получена поворотом исходной вокруг начала координат на угол a, где a – заданное число (см. рис. 30). Угол берётся со знаком «+», если отсчёт ведётся против хода часовой стрелки от оси Ox. Пусть – координаты точки в системе , – координаты точки в системе . Пусть и – угол, образованный отрезком с осью , причём, как и этот угол берётся со знаком «+», если отсчёт ведётся от оси против хода часовой стрелки. Из рис. 30 видно, что

(49)

С другой стороны,

(50)

Формулы (50) перепишем, использовав известные формулы тригонометрии для косинуса и синуса суммы: С учётом (49) запишем

(51)

Эти формулы выражают старые координаты точки через её новые координаты в случае поворота осей координат.

Общий случай. Пусть – исходная система координат, – новая система координат (рис. 31). Положение новой системы по отношению к старой определим, задав:

· координаты нового начала в старой системе координат;

· угол который образует ось с Ox.

Пусть – координаты точки в старой системе, а – координаты точки в новой системе. Нужно найти связь между ними. С этой целью введём вспомогательную систему координат , полученную параллельным переносом старой системы Пусть , – координаты точки в этой вспомогательной системе. Так как новая система координат получена поворотом вспомогательной системы на угол то координаты , точки через координаты этой точки выражаются формулами (51), в которых нужно заменить на , :

(52)

Так как система координат получена параллельным переносом , то координаты точки в исходной системе выражаются через координаты , по формулам (48), в которых нужно заменить на : В эти формулы вместо , подставим (52) и получим

(53)

Эти формулы выражают старые координаты точки через её новые координаты в новой системе.

Преобразования координат на плоскости применяются, в частности, для упрощения вида уравнений кривых. В системе координат возьмём, например, эллипс с каноническим уравнением

(54)

Подставим вместо их выражения (53) через , тем самым получим уравнение эллипса в новой системе координат . Это будет уравнение общего вида (после раскрытия скобок)

.

Таким образом, перейдя к системе , от канонического уравнения (54) эллипса мы перешли к более сложному уравнению – уравнению второй степени общего вида. Можно показать, что, наоборот, от последнего уравнения в системе , подобрав другую систему координат можно получить каноническое уравнение, определяющее либо окружность, либо эллипс, либо параболу, либо гиперболу, либо пару прямых, как, например, уравнение (, ), если не имеет место случай, когда уравнение определяет лишь точку или ничего не определяет.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: