Обыкн. линейные диф. ур-я второго порядка: общие понятия, теоремы о виде общего решения однородного и неоднородного уравнений.

Лин дифф ур-ем 2-го порядка наз-ся ур-е Если f(x)=0, то ур-е наз-ся однородным, если - неоднородным. Ф-ции f(x), p(x), q(x) предполагаются непрерыв. на (a,b), что обеспечивает сущ. и единств. реш-я задачи Коши. Т1. Любая лин. комбинация решений и ур-я (1) явл-ся реш-ем ур-я (1). Д-во Т.к. и -реш-я ур-я(1), то и (*) Подставим в ур-е (1) ф-цию , учитывая тождества (*):

= , т.е.лин. комб. явл-ся реш-ем ур-я (1)

Опр Ф-ции у1(х),..,yn(x) наз-ся лз на (a,b),, если сущ. числа α1,..,αn не все равн. 0, такие что х (a,b) α1y1(x)+ α2y2(x)+..+αnyn(x)=0. Опр Ф-ции у1(х),..,yn(x) наз-ся лнз на (a,b), если рав-во α1y1(x)+ α2y2(x)+..+αnyn(x)=0.вып-ся только тогда, когда все α1,..,αn = 0, т.е. не сущ чисел α1,..,αn не всех =0, что вып-ся рав-во

Определителем Вронского, или вронскианом диф. ф-ций , наз-ся определитель

Вронскиан линейно зависимых функций тождественно равен нулю.

Т2 (о стр-ре общ. реш-я лин. однород. дифф. ур-я). Общим реш-ем ур-я (1) явл-ся множество всех линейных комбинаций любых 2 лнз решений этого ур-я.

Д-во. Пусть y1 и y2 – произвол. лнз реш-я ур-я (1). По т1 любая лин. комбинация (2) -реш-е этого ур-я. Покажем, что для любых нач. условий , можно единств. образом подобрать постоянные так, чтобы частное решение удовлетворяло заданным нач. усл-ям. Действительно, из (2) при х=х0 получим систему

опред. которой отличен от 0, т.к. явл-ся вронскианом лнз решений у1 и у2. Поэтому по теореме Крамера система имеет единств. реш-е при любых свободных членах и .

Структура общего реш-я линейного неод. ур-я 2 порядка (3) с непрерыв. ф-ми p(x),q(x), f(x) описывается след. теоремой. Т. Общее реш-е лин. неоднород. ур-я (3) представимо в виде суммы какого-либо частного реш-я у* этого ур-я и общего реш-я соотв. однородного ур-я Д-во Тот факт, что сумма +у* явл-ся реш-м ур-я (3), проверяется непосредственной подстановкой. Проверим, что у= +у* явл-ся общим реш-ем. Пусть у1 и у2 - лнз реш-я ур-я (1). По т2 =С1у1+С2у2- общее реш-е и у=С1у1+С2у2+у*. Убедимся, что по любым нач. условиям , постоянные С1 и С2 определяются однозначно. Действительно, определитель системы

отличен от нуля как вронскиан линейно независимых решений у1 и у2. Следовательно, система имеет единственное решение С1,С2 при любых свободных членах и .

6.Реляционный подход к организации баз данных: проектирование реляционных баз данных с использованием нормализа­ции.

При проектировании бд решаются 2 основных проблемы:

1)Проблема логич. проектирования бд. Каким образом отобразить объекты предметной области в абстрактные объекты модели данных, чтобы это отображение не противоречило семантике предметной области и было по возможности лучшим 2) Проблема физич. проектирования БД.Как обеспечить эффективность выполнения запросов к базе данных.

Проблема проектирования реляционной бд состоит в обоснованном принятии решений о том: из каких отношений должна состоять БД и какие атрибуты должны быть у этих отношений.

Рассмотрим классический подход, при котором весь процесс проектирования производится в терминах реляционной модели данных методом послед. приближений к удовлетворительному набору схем отношений. Исходной точкой явл-ся представление предметной области в виде одного или нескольких отношений, и на каждом шаге проектирования производится некоторый набор схем отношений, обладающих лучшими свойствами. Процесс проектирования представляет собой процесс нормализации схем отношений, причем каждая след. нормальная форма обладает свойствами лучшими, чем предыдущая.

Каждой нормальной форме соответствует некоторый определенный набор ограничений, и отношение находится в некоторой нормальной форме, если удовлетворяет свойственному ей набору ограничений. Примером набора ограничений является ограничение первой нормальной формы - значения всех атрибутов отношения атомарны, т.е. таблица находится в первой нормальной форме (1НФ) тогда и только тогда, когда ни одна из ее строк не содержит в любом своем поле более одного значения и ни одно из ее ключевых полей не пусто. Поскольку требование первой нормальной формы является базовым требованием классической реляционной модели данных, мы будем считать, что исходный набор отношений уже соответствует этому требованию.

В теории реляционных баз данных обычно выделяется следующая последовательность нормальных форм:

1 нф; 2 нф; 3 нф; нфа Бойса-Кодда;4 нф; 5 нф.

Основные св-ва нф: каждая следующая нормальная форма в некотором смысле лучше предыдущей; при переходе к следующей нормальной форме свойства предыдущих нормальных свойств сохраняются.

В основе процесса проектирования лежит метод нормализации, декомпозиция отношения, находящегося в предыдущей нормальной форме, в два или более отношения, удовлетворяющих требованиям следующей нормальной формы.

Опр. В отношении R атрибут Y функционально зависит от атрибута X каждому значению X соответствует в точности одно значение Y: R.X (r) R.Y.

Опр. Функц. зависимость R.X (r) R.Y называется полной, если атрибут Y не зависит функционально от любого точного подмн-ва X.

Опр. Функциональная зависимость R.X -> R.Y наз-я транзитивной, если существует такой атрибут Z, что имеются функциональные зависимости R.X  ->  R.Z и R.Z  ->  R.Y и отсутствует функц.зависимость R.Z-> R.X. Опр. Не ключевым атрибутом наз-я любой атрибут отношения, не входящий в состав первичного ключа. Опр. Два или более атрибута взаимно независимы, если ни один из этих атрибутов не является функционально зависимым от других.

Опр. (единственным ключом отношения является первичный ключ)

Отношение R находится во второй нормальной форме (2NF) находится в 1NF, и каждый не ключевой атрибут полностью зависит от первичного ключа.

Опр (если допустить наличие неск.ключей) Отношение R находится во второй нормальной форме 2NF оно находится в 1NF, и каждый не ключевой атрибут

Опр. Отношение R находится в третьей нормальной форме (3NF) если находится в 2NF и каждый неключевой атрибут нетранзитивно зависит от первичного ключа.

На практике третья нормальная форма схем отношений достаточна в большинстве случаев, и приведением к третьей нормальной форме процесс проектирования реляционной бд обычно заканчивается. Однако иногда полезно продолжить процесс нормализации.

Опр. Детерминант-любой атрибут, от которого полностью функц. зависит некотор.другой атр. Опр. Отнош R нах-ся в нф Бойса-Кодда каждый детерминант явл-ся возможным ключом. Опр. В отнош R(A,B,C) сущ. многозадач. зависимость R.A->->R.B мн-во значений В, соответствующее паре значений А,С зависит только от А и не зависит от С. Опр. Отнош R нах-ся в 4 нф в случае сущ. многозадач. завис. А->->В все сотальные атрибуты R функц. зависят от А Опр. Отнош R(X,Y,..,Z) удовлетв. зависимости соед *(X,Y,..,Z) R восстанавл. без потерь путем соединения своих проекций на X,Y,..,Z Опр Отнош R нах-ся в 5 нф любая зависимость соединения в R след. из сущ-я некотор. возмож. ключа в R.

6.Методом разделения переменных решить уравнение колебания струны

(0<x<π, t>0), u(x,0)=sin2x Начальное положение струны

Скорость каждой точки струны в начальный момент времени u(0,t)=u(π,t)=0 Струна закреплена с обоих концов Решение ищем в виде произведения u(x,t)=X(x)T(t).

Где X(x) – непрерывна на x [0, π ] функция переменной x. T(t) – непрерывна на t (0, )функция переменной t.

Подставим функцию u(x,t) в (1), получим X =4X’’T

Для того, чтобы равенство выполнялось тождественно для всех t и x, потребуем, чтобы каждая из его частей была равна const.

Тогда

(5)

Граничная задача отыскания нетривиального решения уравнения

и тех значений параметра λ при которых это решение сущ., наз-ся задачей Штурма-Лиувилля, число λ - собственными числами, решения – собственными функциями задачи.

Рассмотрим все возможные случаи

если λ <0, то , подставляя начальные условия, получим X(x)=0

если λ =0, то , X(x)=0

если λ >0, то

С1=0 =0, С2 не равно 0, тогда ,

- собственные функции

Подставляем в (5)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому формальные суммы частичных решений также удовлетворяет задаче.

Определим коэффициенты в An и Bn, используя условия (2)

Данное равенство означает, что функция разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями Xn(x) задачи Штурма-Лиувилля.

Из полученного равенства видно, что все Аn, кроме A2 равны нулю, а A2=1.

Из второго условия

Подставим найденные коэффициенты в (9), получим решение

Билет 6

7. Распространение тепла на отрезке: метод разделения переменных для уравнения

Рассмотрим задачу

(1) (4)

где ф-ция φ непрерывна, имеет кусочно-непрерыв. производную и φ(0)= φ(l)=0. Решение, согласно методу Фурье, ищем в виде u(x,t)=X(x)T(t). Подставив данное произведение в (1), получим X(x)T’(t)= X’’(x)T(t). Разделим переменные: Отсюда получаем два уравнения:

(2) (5)

(3) (6)

Уравнение (2): Задача отыскания нетривиального решения уравнения

и тех значений параметра λ, при которых это реш-е сущ., наз-ся задачей Штурма – Лиувилля, числа λ - собств. числами, решения – собств. функциями задачи.

Рассмотрим все возможные случаи.

1) λ<0, то X(x)= из гранич. условий следует, что C1=C2=0, т.е.Х(х)=0.

2) λ=0,X’’(x)=0, X(x)=C1x+C2. Гранич. усл-я приводят к равенствам C1=C2=0, т.е.Х(х)=0.

3) λ>0, то X(x)= . Гранич. условия дают рав-ва X(0)=C1=0, X(x)= .Так как X(x) , то C2 .След-но , откуда (n из N) Т.о., ненулевые реш-я возможны только при λ= λn= . Этим собств. числам отвечают собств. ф-ции Xn(x)=sin . Подставив λ= λn в (3)получим соотв решения Tn(t)=Cn с произв. пост.Cn. Т. о., все ф-ции un(x,t)=Xn(x)Tn(t)=Cn sin удовл. ур-ю и гранич. усл-ям задачи (1). Составим ряд

(4) (7)

Используя нач. усл-я, получим u(x,0)=φ(x)= (8)

Если коэфф. Cn определить рав-ми Cn= , то ряд (4) станет рядом Фурье по синусам на промежутке (0, l) ф-ции φ. По теореме Дирихле этот ряд равномерно и абсолютно сходится к функции φ.

Ф-ция u(x,t) имеет производные любого порядка по x и t в области x , t>0 и, след-но, явл-ся реш-ем задачи (1).

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: