Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Разложение ф-ций в степенной ряд Тейлора: общие понятия, единственность разложения, сходимость к порождающей функции.





Опр. Говорят, что ф-ция f на мн-ве D разлагается в степ. ряд по степеням (х-x0), если х D f(x)= (1),т. е. ф-ция f на мн-ве D явл-ся суммой этого степенного ряда. Т1 (единственность разложения). Если ф-ция f в интервале (х0- r, х0 + r) разлагается в степ. ряд (1), то такое разложение единственно.Д-во. Пусть выполняется рав-во (1). Найдем коэффициенты cn . Ф-ция f(x) бесконечно диффе­ренцир. как сумма степенного ряда. Поэтому

f’(x)= =с1 + 2с2(x-x0) + 3с3(x-x0)2 + …,

f”(x)= =2с2 + 3* 2*с3(x-x0) + …, (2)

Полагая в равенствах (1) и (2) х = х0, получим c0=f(x0), c1=f’(x0), c2=f”(x0)/2!,.., (3)Коэфф-ты степ. ряда (1) опред-ся однозначно формулами (3), поэтому разложение (1) единственно.Опр Рядом Тейлора функции f называется сте­пенной ряд (1) с коэффициентами (3), т. е. ряд

f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + … = .

Если х0 = 0, ряд f(0) + x + x2 + … = наз-ся рядом Маклорена.Опр.Рядом Тейлора с остаточным членом Rn(х) в форме Лагранжа наз-ся: f(x0) + (x-x0) + (x-x0)2 + +… + Rn(x), Rn(x) = , c = x0 + θ(x-x0) , 0 < θ < 1.Т2. Для того чтобы ряд Тейлора функции f cxoдился к f(x) в интервале (х0 - r, х0 + r), необходимо и достаточ­но, чтобы остаточный член Rn(x) ф-лы Тейлора при любом x (х0 - r, х0 + r) стремился к нулю при n .Д-во. 1)Необх. Перепишем формулу Тейлора в виде f(х) = Sn(х) + Rn (х), где Sn (x) = , n -я частич. сумма ряда Тейлора ф-ции f.Если ряд Тейлора ф-ции f сх-ся к f(x) x (х0 - r, х0 + r), то, по опред., = f(x) и, след-но, Rn (x) = f(x) - Sn (x) 0.

2) Достат. Пусть x (х0 - r, х0 + r) Rn (x) 0.Значит, = =0, т.е. Sn (x) f(x). ТЕсли ф-ция f бесконечно дифф. при х (х0 - r, х0 + r) и все ее производ. равномер. ограничены на этом промежутке, то f явл-ся суммой своего ряда Тейлора на промеж (х0 - r, х0 + r).Д-воОценим остаток Rn(x) в ф-ле Тейлора для ф-ции f(x) на промеж. (х0 - r, х0 + r): |Rn(x)|=| |< 0. Значит вып-ся усл. Т2. => f(x) – сумма своего ряда Тейлора.

 

 


11. Язык SQL: структура запросов набор операторов манипулир. данными.Язык SQL допускает 3 типа синтаксич. конструкций, начинающихся с ключевого слова SELECT: спецификация курсора, оператор выборки и подзапрос. Их основой явл-ся синтаксич. конструкция "табличное выражение". Семантика табл. выражения состоит в том, что на основе последовательного применения разделов from, where, group by и having из заданных в разделе from таблиц строится некоторая новая результирующая таблица, порядок следования строк которой не определен и среди строк которой могут находиться дубликаты. В синтаксич. конструкциях исп-ся следующие обозначения: (*) для обозначения "все", ([]) – означают, что конструкции, заключенные в эти скобки, являются необязательными (т.е. могут быть опущены); ({}) – означают, что конструкции, заключенные в эти скобки, должны рассматриваться как целые синтаксич. единицы, (...) –синтаксическая единица может повторяться один или более раз;



(|) – наличие выбора из 2 или более возможностей. (;) – завершающий элемент предложений SQL; (,) – используется для разделения элементов списков;

пробелы – могут вводиться для повышения наглядности между любыми синтаксич. конструкциями. Оператор выборки SELECT имеет след. вид:

SELECT [ALL | DISTINCT] {* | выражение AS [ имя_столбца ] [, …] }

FROM имя_таблицы [псевдоним] [, …]

[WHERE условие_по_исходным_данным]

[GROUP BY столбец [, …] ]

[HAVING условие_по_группе ]

[ORDER BY столбец [DESC] [, …] ]

Обязательными элементами в записи оператора явл-ся список выборки и раздел FROM.SELECT (выбрать) данные из указ. столбцов и (если необх.) выполнить перед выводом их преобразование в соответствии с указанными выражениями или функциями. Результатом выполнения раздела FROM явл-ся расшир. декартово произведение таблиц, заданных списком таблиц раздела FROM .

Вычисление раздела WHERE производится по след. правилам: Пусть R – рез-т вычисления раздела FROM. Тогда условие поиска применяется ко всем строкам R, и результатом раздела WHERE явл-ся таблица, состоящая из тех строк R, для которого результатом вычисления усл-я поиска явл-ся true. Если условие выборки включает подзапросы, то каждый подзапрос вычисляется для каждого кортежа таблицы R. Усл-е поиска представляет собой предикат, он формируется с помощью: а) логических связок AND, OR, NOT; б) круглых скобок, явно задающих порядок вычисления;в) операторов сравнения =, <, <=, >, >=, != г) констант д) подзапросов е) встроенных предикатов:BETWEEN нижняя_граница AND верхняя_граница (проверка на принадлежность диапазону, включительно по границы диапазона);IN множество (проверка на принадлежность множеству). LIKE поиск значений по указанному шаблону.GROUP BY Результатом явл-ся разбиение R на мн-во групп с одинаковыми значениями указанных столбцов (сгруппированная таблица). Раздел HAVING может быть указан только в том случае, когда в нем присутствует раздел GROUP BY. условие_по_группе задает условие на группу строк сгруппированной таблицы. В рез-те выполнения раздела HAVING, среди строк, полученных выполнением раздела GROUP BY останутся только те, которые удовлетв. условию_по_группе. По умолчанию сортировка по каждому столбцу выполняется по возрастанию значений. Если для столбца указано ключевое слово DESC, то по данному столбцу сортировка выполняется по убыванию значений. Курсор - это понятие языка SQL, позволяющее с помощью набора спец. операторов получить построчный доступ к результату запроса к БД. DECLARE имя курсора [INSENSITIVE][SCROLL] CURSOR

FOR {SELECT оператор [предложение для обновления]}

предложение для обновления ::= [FOR {READ ONLY|UPDATE [OF имя столбца.,.. ]}] Курсор определяет запрос, когда курсор открыт, он содержит результаты запроса.Если задано предложение INSENSITIVE, то содержимое курсора будет зафиксировано сразу после открытия курсора. Любые изменения, произв. другими операторами над данными курсора, будут игнорироваться курсором до тех пор, пока он открыт.Если задано предложение SCROLL, то необязательно извлекать строки в том порядке, который задан при открытии. SCROLL позволяет извлекать строки в произвольном порядке.

 


Решить матричное уравнение

Имеем матричное уравнение вида AX=B.

По теореме, если , то уравнение AX=B имеет единственное решение, которое находится по формуле:

Найдем определитель матрицы A.

По св-ву если в определителе есть две равные строки, то он равен нулю.

Матрица A вырожденная (определитель равен нулю). Условие теоремы не выполняется => матричное уравнение не имеет решений.

 

 

Билет 11

 

12. Теор. сущ. и единств. реш-я интеграл. ур-яx(t)=

с непрерывным ядромK(t,s)и непрерывной ф-циейf(t).

Опр. Метрическим пр-вом наз-ся пара (X,ρ), состоящая из непустого множества X эл-тов (точек) и веществ. ф-ции ρ(x,y), определенной x,y X и удовлетворяющей условиям: 1) ρ(x,y)=0 óx=y; 2) ρ(x,y)= ρ(y,x); 3) ρ(x,y) ρ(x,z)+ ρ(z,y). Ф-ция ρ наз-ся расстоянием или метрикой на мн-ве X, число ρ(x,y) - расстоянием между точками x и y. ОпрПусть (X,ρ)-метрич.пр-во и f:X X. Отобр. f наз-ся сжимающим отобр-ем, если сущ. такое число 0 <1, что x,y X ρ(f(x),f(y)) ρ(x,y) Опр. Точка x X наз-ся неподвиж. точкой отображения f:X X , если f(x)=x. Опр. Последовательность {xn} точек метрич. пр-ва (X,ρ) наз-ся фундаментальной, если Опр. Метрич. пр-во X наз-ся полным, если в нем сходится любая фунд. послед. Опр. Ур-е x(t)= (1)наз-ся неоднород. интеграл. ур-ем Фредгольма 2-го рода, где K(t,s) –ядро интегр.ур-я- известная непрерыв ф-ция на [a,b] [a,b], f(t)- непрерыв на [a,b] ф-ция, λ- произвол. веществ. параметр, x(t)- искомая ф-ция. Т Банаха(принцип сжим. отображ.). Сжимающее отображение полного метрического пр-ва в себя имеет и притом единственную неподвижную точку.Применим теорему Банаха для док-ва сущ. и единств. реш-я интегрального ур-я (1). Рассмотрим отображение: F:C[a,b] C[a,b], заданное ф-лой .Всякую ф-цию x(t) C[a,b] отобр. F переводит, вообще говоря в другую ф-цию x*(t), опред. на том же отрезке [a,b]. Вопрос о сущ. реш-я x(t) интегр. ур-я (1) сводится к вопросу о наличии неподвиж. точки у отобр. F, т.е. такой ф-ции x(t), котороая отобр-ем F переводится в себя. x=F(x).

По определению метрики в C[a,b] ρ(F(x1),F(x2))= |F(x1(t))-F(x2(t))|= = | | |λ|L , где L= |K(t,s)|.(максимум сущ. в силу т. Вейерштрасса о том, что непрерыв. на отрезке ф-ция достигает своего макс. и мин. значения). Учитывая, что =ρ(x1,x2) получим нер-во:ρ(F(x1),F(x2)) |λ|L|b-a| ρ(x1,x2) , из которого => при |λ|<1/L|b-a| отобр. F – сжатие. Пространство C[a,b]- полное, поэтому по т. Банаха F имеет единств. неподвиж. точку. Значит, при |λ|<1/L|b-a| интегр. ур-е (1) имеет и притом единств. реш-е x C[a,b].

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.