Линейные однородные дифф. ур-я 2-го порядка с пост. коэффиц.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

(1) с пост. коэффиц. p,q. Для того, чтобы найти его общее реш-е, достаточно найти два линейно независимых частных решения. Будем искать их в виде, предложенном Л. Эйлером:

(2) с неизвестной постоянной k. Подставив (2) в ур-е (1), получим

. Т.к.

, то для выполнения рав-ва число k должно удовлетворять характеристич. ур-ю

. Рассмотрим все возможные варианты корней k1,k2 характеристич. ур-я 1) Корни действительные и различные: k1

k2. В этом случае ф-ции

явл-ся реш-ми ур-я (1) и линейно независимы, т.к. вронскианW(y1,y2)=

=k2

=(k2-k1)

0. Поэтому общ. реш-е

2) Корни действит. и равные:k1=k2=k. Ф-ция y1=

явл-ся реш-ем ур-я (1). Нужно найти второе частн. реш-е, лнз с первым. Будем искать 2-е частн. реш-е в виде y2=u(x)

, где u(x)- неизв. ф-ция. y2’=u’

+uk

(u’+ku),

y2’’=

(u’’+ku’)+k

(u’+ku)=

(u’’+2ku’+

u). Подставляя выражения произв. в ур-е (1) получаем:

(u’’+(2k+p)u’+(

+pk+q)u)=0, т.к. k- кратный корень хар. ур-я, то

+pk+q=0, k1=k2=-1/2p, 2k+p=0. Отсюда получаем

u’’=0, u’’=0, u=Ax+B, в частности можно положить А=1, В=0, тогда u=x. Т.о. в кач-ве второго частн. реш-я можно взять y2=x

. Это реш-е лнз с первым, т.к. W(y1,y2)=

0.След-но, общее реш-е имеет вид

3) Корни компл. и сопряж.: k1,2=a

bi, b

0. Частн. реш-я можно записать в виде: y1=

, y2=

Если какая-либо компл. ф-ция действит.аргумента y=u(x)+iv(x) удовл. ур-ю (1), то этому ур-ю удовл. ф-ции u(x) и v(x).

(u(x)+iv(x))’’+p(u(x)+iv(x))’+q(u(x)+iv(x))=0 или (u’’+pu’+qu)+i(v’’+pv’+qv)=0. Отсюда u’’+pu’+qu=0, v’’+pv’+qv=0. Т.е. u и v явл-ся реш-ми ур-я y1=

, y2=

. Частными реш-ми ур-я (1) будут действит ф-ции

. Ф-ции

лнз, т.к. W(

)

0=> общ. реш-е ур-я(1) имеет вид:

13. Восстановление бд: индивид. откат транзакции, восст. после мягкого сбоя, восстановление после жесткого сбоя. Одним из осн. требований к развитым СУБД явл-ся надежность хранения бд. Это требование предполагает возможность восст. согласов. состояния бд после любого рода аппаратных и программных сбоев. Возможны следующие ситуации, при которых требуется производить восстановление состояния бд: Индивидуал. откат транзакции. Например, ее явное завершение оператором ROLLBACK. Возможны ситуации, когда откат транзакции инициируется системой, например при возникновении исключит. ситуаций в прикладной программе (деление на 0) Восстановление после внезапной потери содержимого оперативной памяти (мягкий сбой). Ситуация может возникнуть при аварийном выключении питания, при возникновении сбоя процессора, характеризуется потерей той части бд, которая к моменту сбоя содержалась в буферах оперативной памяти. Восстановление после поломки основного внешнего носителя бд (жесткий сбой). Индивид. откат транзакции Для того чтобы можно было выполнить индивид. откат транзакции по общему журналу, все записи в журнале от данной транзакции связ-ся в обратный список. Началом списка для не закончившихся транзакций явл-ся запись о последнем изменении бд, произведенном данной транзакцией. Для закончившихся транзакций (индивидуальные откаты которых уже невозможны) началом списка явл-ся запись о конце транзакции, которая вытолкнута во внеш. память журнала. Концом списка служит первая запись об изменении бд, произведенном данной транзакцией. И ндивид. откат транзакции вып-ся след. образом: 1 Выбирается очередная запись из списка данной транзакции. 2 Выполняется противополож. по смыслу операция: вместо операции INSERT - DELETE, вместо DELETE - INSERT, и вместо прямой операции UPDATE обратная операция UPDATE, восстанавливающая предыдущее состояние объекта бд. Л юбая из этих обратных операций также журнализируются. т.к. может произойти мягкий сбой, при восстановлении после которого потребуется откатить такую транзакцию, для которой не полностью выполнен индивид. откат. При успешном завершении отката в журнал заносится запись о конце транзакции. Восст. после мягкого сбоя. К числу основных проблем восстановления после мягкого сбоя относится то, что одна логич. операция изменения бд может изменять неск-ко физич. блоков бд, например, страницу данных и несколько страниц индексов. Страницы бд буферизуются в оперативной памяти и выталкиваются независимо. П осле мягкого сбоя набор страниц внеш. памяти бд может оказаться несогласованным, т.е. часть страниц внеш. памяти соответствует объекту до изменения, часть - после изменения. Сост. внеш. памяти бд наз-ся физически согласованным, если наборы страниц всех объектов согласованы, т.е. соответствуют состоянию объекта или после его изменения, или до изменения. Будем считать, что в журнале отмечаются точки физич. согласованности БД. Тогда к моменту мягкого сбоя возможны след: состояния транзакций: Предположим, что некоторым способом удалось восстановить внешнюю память бд к состоянию на момент времени t Тогда: Д ля транзакции T1 никаких действий производить не треб-ся. Она закончилась до момента t, и все ее результаты отражены во внеш. памяти бд. Д ля транзакции T2 нужно повторно выполнить оставшуюся часть операций (redo).Во внеш. памяти полностью отсутствуют следы операций, которые выполнялись в транзакции T2 после момента t. Следовательно, повторная прямая интерпретация операций T2 корректна и приведет к логически согласованному состоянию бд. Д ля транзакции T3 нужно выполнить в обратном направлении первую часть операций (undo). Во внеш. памяти бд полностью отсутствуют результаты операций T3, которые были выполнены после момента t,но во внеш. памяти есть рез-ты операций T3, которые были выполнены до момента t. След-но, обратная интерпретация операций T3 корректна и приведет к согласованному состоянию бд. Д ля транзакции T4, которая успела начаться после момента t и закончиться до момента мягкого сбоя, нужно выполнить полную повторную прямую интерпретацию операций (redo). Д ля T5 никаких действий предпринимать не треб-ся. Результаты операций этой транзакции полностью отсутствуют во внеш. памяти бд. Восст. после жесткого сбоя. Основой восст.явл-ся журнал и архивная копия бд. Восстановление начинается с обратного копирования бд из архивной копии. Затем для всех закончившихся транзакций выполняется redo, т.е. операции повторно выполняются в прямом смысле. П о журналу в прямом направлении вып-ся все операции; для транзакций, которые не закончились к моменту сбоя, вып-ся откат. Если произошла утрата журнала,то единственным способом восстановления БД явл-ся возврат к архивной копии.

Пусть A – кв. матрица порядка n. Матрица

наз-ся обратной матрицей для матрицы А, если А

А=Е, где E – единичная матрица(матрица порядка n, элементы на главной диагонали которой 1, а остальные элементы равны 0).

Т. Обратная матрица для матрицы А сущ. <=>detA

, при этом обратная матрица находится единственным образом.Будем искать обратную матрицу по следующей формуле:

=1/detA

б) Матрица A – треугольная. Треугольными матрицами называются матрицы, у которых все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Теорема. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на главной диагонали.

Опр. Метрическим пр-вом наз-ся пара (X,ρ), состоящая из непустого множества X эл-тов (точек) и веществ. ф-ции ρ(x,y), определенной

x,y

X и удовлетворяющей условиям: 1) ρ(x,y)=0 óx=y; 2) ρ(x,y)= ρ(y,x); 3) ρ(x,y)

ρ(x,z)+ ρ(z,y). Ф-ция ρ наз-ся расстоянием или метрикой на мн-ве X, число ρ(x,y) - расстоянием между точками x и y. Опр Пусть (X,ρ)-метрич.пр-во и f:X

X. Отобр. f наз-ся сжимающим отобр-ем, если сущ. такое число 0

<1, что

x,y

X ρ(f(x),f(y))

ρ(x,y) Опр. Точка x

X наз-ся неподвиж. точкой отображения f:X

X, если f(x)=x. Опр. Последовательность {xn} точек метрич. пр-ва (X,ρ) наз-ся фундаментальной, если

Опр. Метрич. пр-во X наз-ся полным, если в нем сходится любая фунд. послед. Т Банаха (принцип сжим. отображ.). Сжимающее отображение полного метрического пр-ва в себя имеет и притом единственную неподвижную точку. Д-во: Пусть (X,ρ) - полное метрическое пространство, f:X

X - сжатие и x0 - произвольно взятая точка из X.Докажем, что послед. x0, x1=f(x0),.., xn=f(xn-1) - фундаментальная.Т. к. ρ(xn,xn-1) = ρ(f(xn-1, f(xn-2))

α ρ(xn-1,xn-2)