Операции над матрицами и их свойства.

Опр. Матрицей размерности m n наз-ся прямоуг. таблица, сост. из m n чисел, расположенных в m строк и n столбцов. Опр. Две матрицы А и В одинак.размерности наз-ся равными если все соотв. эл-ты матриц равны А= = В= ó , aij=bij

Опр Cуммой матр A и B размер. m n наз-ся такая матр. A+B той же размер., каждый эл-т которой равен сумме соотв эл-тов матр Аи В: А+В= + = . Опр Произвед. матр А размер m n на число α наз-ся такая матр αА той же размер., каждый эл-т которой равен произв. числа α на соотв. эл-т матр. А: αА= α =

Т Для любых матр А, В,С размер m n с эл-ми из кольца К справедливы св-ва:

1) A+B=B+A

2) A+(B+C)=(A+B)+C

3) существует матрица O, состоящая из одних нулей такая что O+A=A+O=A

4) для любой матрицы A найдется матрица –A, их сумма равна:A+(-A)=O

5) α(А+В)=αА+αВ 6) (α+β)А= α А+βА 7) α(βА)= (αβ)А

Опр. Произведением матр А= на матр.В= наз-ся такая матр АВ m k, каждый эл-т которой равен произведению i-й строки матр А на j-й столбец матр. В. АВ=(ai1b1j+ai2b2j+..+ainbnj) m k, i=1..m, j=1,..,k.

Можно умножать только такие матр, у котор. число столбцов 1 матр=числу строк 2-й матр.

Опр. Матрица A наз-ся квадратной, если кол-во строк матрицы равно кол-ву столбцов матрицы.

Т. Т Для любых матр А, В,С, которые можно умножать и для любых α К вып-ся

1) (даже если обе матрицы существуют)

2) (АВ)С=А(ВС)

3) (A+B)C=АС+ВС

4) А(В+С)=АВ+АС

5) α(АВ)=(αА)В=А(αВ)

Д-во. Д-ва этих матр основаны на определениях матриц и св-вах операций в кольце К. Докажем, напр. св-во 2. Пусть А=(aij), B=(bju), C=(cuv) – матр. размер m*n, n*k, k*s. Тогда АВ=(diu), BC=(ejv)- матр размер m*k и n*s. diu= i=1,..,m, u=1..,k, ejv= , j=1,..,n, v=1,..,s. Матрицы (АВ)С=F=(fiv), A(BC)=G=(giv) имеют одинак размерн.m*s. Док-м,что соотв эл-ты равны в силу приведен ф-л: fiv= ,

giv=

Опр. Транспонированием матр А наз-ся такое ее преобр., при котор. строки матр. становятся ее столбцами с теми же самыми номерами. А= Т Для любых матр А, В, которые можно перемножать и для α К

1)

2)

3)

Поиск пути минимальной длины в графе. Алгоритм Дейкстры.

Пусть имеется граф G=(V, E). Необходимо найти путь минимальной длины из вершины v_i в вершину v_j. Для нахождения такого пути в графе используется алгоритм Дейкстры.

1) Начал.вершине Vi присваивается постоянная метка 0, всем остальным верш. присваиваются врем. метки 2) Для всех вершин, смежных с Vi пересчитываем времен. метки по ф-ле mvk=mpi+Sik, где Sik- стоимость дуги между i-й и k-й вершиной 3) Среди всех времен. меток находим мин. и делаем ее постоянной, присваем i номер этой вершины. Если i=j, идти на 5, иначе 4. 4) Для всех смеж. вершин с верш. i и имеющих временную метку, пересчит. ее по ф-ле mvk=min{mvk, mpi+Sik}, идти на 3. 5) Верш. Vj получила постоянн. метку, которая равна длине пути мин. стоим. от Vi к Vj.

Для поиска пути можно завести одномер. массиив длиной n, где n-кол-во вершин, в который при каждомпересчете врем. метки заносить из какой вершины происходил этот пересчет. Двигаясь по этому массиву, начиная с конеч. номера j можно найти весь путь.

const max=10;

type mas=array[1..max, 1..max] of word;

mas1=array[1..max] of record

znach,tip:word;

end;

mas2=array[1..max] of word;

var m:mas; metka:mas1;pu:mas2;

procedure daykstra(a,b:word)

var i, j, min, nmin:word;

begin

i:=a;

metka[i].znach:=0; metka[i].tip:=1;

for j:=1 to max do if j<>i then

begin

metka[j].znach:=65535; metka[j].tip:=0;

end;

repeat

for j:=1 to max do

if (m[i,j]<>0)and(metka[j].tip=0) then

if metka[j].znach> metka[i].znach+m[i,j]

then begin if metka[j].znach:= metka[i].znach+m[i,j];

pu[j]:=i; end;

min:=65535;nmin:=0;

for j:=1 to max do

if (metka[j].znach<min)and(metka[j].tip=0) then

begin

min:= metka[j].znach;

nmin:=j;

end;

metka[nmin].tip:=1;

i:=nmin;

until i=b;

end;

metka[b].znach- длина мин. пути, сам путь в массиве pu.

19.Найти экстремаль функционала

Ф-лом в линейном нормированном пространстве Е называется функция F, определённая на всём E, или на некотором его подмножестве и принимающая вещественные значения. Если при этом , то F называется линейным.

Говорят что функционал F имеет в точке y0 локальный минимум (максимум), если существует такой шар Sr(y0), что y из Sr(y0) выполняется неравенство . Точки локального максимума или минимума называются точками локального экстремума.

Уравнение вида называется уравнением Эйлера для функционала при краевых условиях y(a)=A, y(b)=B. = . Запишем уравнение Эйлера

Применим граничные условия

Билет 19

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: