Корни многочленов и их кратность. Осн. теорема алгебры комплексных чисел и следствия из неё.

Опр. Многочленом от перемен. x над кольцом R наз-ся выражение вида

, ai

i=0,1,.. Если ai=0

i>n, то многочл. запис. в виде f(x)=

. Опр Степенью многочл f(x)=

наз-ся наиб.индекс i,такой что ai

0. Опр Значением многочл. f(x) в т.a

Р наз-ся эл-т поля Р f(a)=

. Опр Эл-т а наз-ся корнем многочл f(x), если f(a)=0.

Опр. Корень а многочл f(x) наз-ся корнем кратности к, если f(x):

и f(x)не:

. Т(Осн. теор. алг. компл. чисел) Любой многочл. с комплекс. коэфф. отличный от константы, имеет в поле компл. чисел хотя бы 1 корень. Д-во Пусть f(x)=

- многочл. с компл. коэффиц. Тогда если с0=0, то х=0 – корень данного многочл. Поэтому будем считать, что с0

0. Предположим, что f(x)не имеет корней в С. Рассм. ф-цию g(x)=1/f(x).Она непрерывна на всей компл. пл-ти, т.к. многочлен f(x) –непрерыв. ф-ция и в 0 по предполож. не обращается,

. Пусть М=

. Докажем,что М

. Т.к.

, то сущ. такой круг, вне которого |g(x)|<1. В этом круге |g|- непрерыв. ф-ция, а сам круг- оранич. замкн. мн-во напл-ти. По т.Вейерштрасса, ф-ция |g| огранич. в этом круге => |g|

A. Пусть М’=max{1,A},получаем |g(x)|

М’

. Это значит, что ф-ция |g(x)| огранич. сверху => M

. Т.к.

, то сущ. такой круг, вне которого |g(x)|<M =>

совпадает с

, где К-данный круг. По т. Вейерштрасса, sup|g(x)| достигаетсяв некотор. точке x0

K, т.е. |g(x0)|=M, тогда |f(x0)|=1/|g(x0)|=1/M – наименьш. знач-е |f(x)| на мн-ве С. Р азложим f(x) постеп x-x0. f(x)=b0+b1(x-x0)+..+bn(x-x0)

, т.к. по предполож. f не имеет корней, то f(x0)=b0 отлично от нуля. Пусть к-наименьш. индекс, такой что bk

0, k

1, тогдаf(x)=b0+bk(x-x0)

+(x-x0)h(x), где h- многочл. Запишем х-х0 в тригоном. форме: x-x0=ρ(cosφ+isinφ) Тогда f(x)=b0+bk

(coskφ+isinkφ)+ +

(cos(k+1)φ+isin(k+1)φ)h(x). Выберем ρ и φ так, чтобы вып. усл-е

arg(bk (coskφ+isinkφ))=arg(-b0). Положим φ=1/k*arg(-b0/bk). Тогда

f(x)=b0(1-

|bk|/|b0|)+

(cos(k+1)φ+isin(k+1)φ)h(x). Т.к.

то

можно выбрать ρ настолько малым,что |

h(x)|<ε

. Тогда |f(x)|

|b0| *|1-

*|bk|/|b0| |+ ε

= |b0|+ |ε-|bk| |*

<|b0|=1/M, если ε<|bk|, но |b0|=1/M – наименьш. знач-е |f(x)|. Противоречие=> предполож.неверно и f(x) имеет хотя бы 1 коренью

Опр Многочл. f

P, степ f>0 наз-ся неприводимым над полем Р, если его нельзя представить в виде произв. 2 многочл f1 и f2, со степ.>0 но < степ f. f=f1f2=> f1=0

f2=0.

Определение 2. Многочлен. f

P, степ f>0 наз-ся приводимым над полем P, если его можно представить в виде произведения двух мно-ов степени большей 0, но меньшей степени многочлена f, f=f1f2

Следствие 1. Над полем комплексных чисел неприводимы только многочлены первой степени.

Следствие 2. Пусть

, ст. f>0, тогда f(z)=a0(z-z1)(z-z2)..(z-zn)

a0– старший коэффициент многочлена f, z1,z2,..,zn– корни многочлена f. такое представление однозначно с точностью до порядка следования сомножителей.

24.Графы, способы представл. графов в памяти компьютера, обход графов в ширину и глубину. Простым ориентир.графом наз-ся пара объектов G = (V, E), где V – конечное мн-во, Е – конечное подм-во V´V, при этом V наз-ся множеством вершин, Е – множеством дуг графа G. Любая дуга графа представима в виде упорядоченной пары (v1, v2), где v1 – начало, v2 – конец дуги, вершина v2 является смежной с вершиной v1.Граф G наз-ся симметрическим, если " i, j (vi, vj) ÎE => (vj, vi) ÎE. Часто в симметрических графах пары дуг (vi, vj) и (vj, vi) заменяют ребрами, при этом получают неориентированный граф.Две вершины могут быть соединены несколькими дугами, идущими в одном направлении. Такие дуги называются кратными, а граф, содержащий их, - мультиграфом. Дугу uÎE и вершину vÎV называют инцидентными, если дуга u либо входит в вершину v, либо выходит из нее.

Степенью вершины наз-ся кол-во инцидентных с ней ребер (дуг).

Путем в графе G = (V, E) наз-ся последовательность вершин v1, v2, …, vn, для которых существуют дуги (v1, v2), (v2, v3), …, (vn-1, vn). Длина пути – количество дуг, составляющих этот путь. Иногда каждой дуге присваивают некоторую стоимость. В этом случае под длиной пути понимается сумма стоимостей всех дуг, составляющих этот путь.Путь наз-ся простым, если все вершины в нем, за исключением возможно 1-ой и последней, различны. Цикл – это простой путь длиной не менее 1, который начинается и заканчивается в 1 и той же вершине.Граф G = (V, E) наз-ся сильносвязным, если " vi, vj Î V, vi ¹ vj $ путь из vi, в vj. Способы представл. графов 1) матрица смежности

Матрица смежности для графа G = (V, E), где V={1, 2, …, n}- это матрица А размером n´n где А[i, j]=1 ó когда $ дуга (i, j). Все остальные эл-ты матрицы =0. Если каждому ребру графа поставлен в соответствие некоторый вес (стоимость), то матрица смежности часто заменяется матрицей стоимостей.

Недостатки:требует объема памяти порядка n² поиск в матрице смежности так же пропорционален n² С другой стороны матрица смежности имеет большой плюс – прямой доступ к ее элементам.2) списки смежности

Список смежности представляет собой массив указателей размером n, каждый элемент которого указывает на смежный с этим узлом элемент (вершину). Последовательность смежных вершин представляет собой линейный список.

Списки смежности в среднем требуют меньше памяти, и при малом количестве дуг поиск происходит быстрее, но в случае полносвязных графов поиск так же пропорционален n², кроме того, в списках невозможен прямой доступ к элементам. Поэтому списки в настоящее время для представления графов используется редко. Обход графа в ширину

Пусть имеется граф G=(V, E). Необходимо построить путь из вершины vi в вершину vj содержащий минимальное кол-во дуг. Для нахождения такого пути используется волновой алгоритм (или обход в ширину).Первоначал. пометим все вершины метками-1.Присвоим вершине vi метку 0, далее пометим все вершины, смежные с vi, меткой 1. Далее пометим все вершины, смежные с «1-ми» вершинами, меткой 2 и т. д. до тех пор пока либо не будет помечена вершина vj, либо на очередном шаге не появилось ни одной вновь помеченной вершины. В 1-ом случае метка вершины vj будет соответствовать min количеству дуг, которые необходимо пройти от vi к vj. Сам путь можно найти обратным проходом от vi к vj по вершинам с уменьшающимися значениями меток. Во 2-м случае пути из vi в vj не $. Д анная процедура осуществляет пометку всех вершин, начиная с i-ой. Для поиска нужного пути необходимо пройти по массиву pu, начиная с j-ой вершины в сторону уменьшения меток.В случае если стоимости всех ребер графа одинаковые, волновой обход дает так же путь кратчайшей длины. Если ребра имеют различную стоимость, то в общем случае это не так.

Обход графа в глубину Пусть имеется граф G, в котором первоначально все вершины помечены меткой «не посещалась». Обход в глубину начинается с выбора начальной вершины v графа G, которая помечается «посещалась». Затем для каждой вершины, смежной с v, которая еще не посещались, рекурсивно применяем поиск в глубину. Когда все вершины, которых можно достичь из вершиныv, будут посещены, обход заканчивается. Если при этом некоторые вершины остались непосещенными, выбирается одна из них и обход повторяется начиная с нее. Этот процесс продолжается до тех пор, пока все вершины не помечены как посещенные. Данный метод называется поиском (обходом) в глубину, т. к. поиск не посещенных вершин идет в направлении вперед (вглубь графа) от некоторой вершины до тех пор, пока это возможно.

24.Используя методы операционного исчисления, решить уравнение Вольтерра второго рода

Определение. Свёрткой функций f(t) и g(t), определённых при t

и имеющих нулевые значения при t<0, называется функция

Теорема (изображение свёртки функции). Если

то

Применив преобразование Лапласа к обеим частям уравнения и воспользовавшись теоремой об изображении свёртки функций, получим:

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: