|
|
Прикладная информатика в экономике»(группы 446-1 и 446-2) Томск ТУСУР Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.
Оглавление. Часть 1 (сентябрь - октябрь) Глава 1. МАТРИЦЫ. § 1. Действия над матрицами. § 2. Определители. § 3. Обратная матрица. § 4. Ранг матрицы. § 5. Элементы векторной алгебры. Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. § 1. Введение, основные методы решения. § 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей. § 3. Системы линейных однородных уравнений. Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. § 1. Линейный оператор и его матрица § 2. Собственные векторы § 3. Квадратичные формы. Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. § 1. Прямая на плоскости § 2. Плоскость в пространстве § 3. Прямая в пространстве § 4. Кривые и поверхности
Часть 1 (ноябрь - декабрь) Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. §1. Множества и функции. §2. Пределы. §3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие. §4. Непрерывность. Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. §1. Введение, основные методы. 2. Частные производные и градиент. §3. Уравнение касательной, формула Тейлора. §4. Экстремумы и строение графика. §5. Основные теоремы дифф. исчисления ЛЕКЦИЯ № 1. 02.09.2016 Глава 1. МАТРИЦЫ. Действия над матрицами. Определение матрицы. Матрицей размера
Каждый элемент обозначается ! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов). Если Примеры матриц из жизни: 1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников. 2. Таблица расстояний между каждой парой из n городов. Кратчайшее расстояние между городами:
По главной диагонали 0, потому что до этого же города расстояние равно 0. 3. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время. 4. Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8. Сложение и вычитание матриц размера Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов Примеры:
Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице Умножение двух матриц. * Нужно вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов.
Если есть 2 матрицы, одна размера
Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует Пример: Для матриц размеров
Умножение квадратных матриц. В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица 2 примера: обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь * Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть Единичная матрица Е. Строение: 2-го порядка:
(Аналог среди матриц первого порядка: число 1).
Свойства действий над матрицами:
О взаимосвязи матрицы с системой векторов. Если в плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка. Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.
Матрица, соответствующая этой векторной системе Определители. Пусть дана матрица 2 порядка. Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:
Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы. Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче. Примеры. поменяем местами строки, изменится знак:
Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.
Вообще, если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, то есть не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так наз. «перестановку». Лемма. Существует n! перестановок порядка n. Для n = 2 очевидно, перестановки только (12) и (21). При n = 3. (123) (132) (213) (231) (312) (321) На первом месте одно из 3 чисел, при этом оставшиеся 2 можно расставить на два места именно 2 способами. Получается 3*2 = 6 способов. (Заметим, что 6 = 3!) Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается
Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Число i на месте j показывает, что когда мы находимся в строке номер j то надо выбрать элемент, находящийся в столбце номер i. Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:
таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).
Определитель 3 порядка, примеры, методы вычисления.
Запомнить легче всего так: с помощью произведений по 3 параллельным линиям.
Можно запомнить и с помощью треугольников, например,
Это один из двух треугольников, для которого главная диагональ - это средняя линия. Второй такой треугльник это
В записи определителя 3 порядка каждому элементу можно поставить в соответствие перестановку из 3 чисел. Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для
для
(123) (231) (312) (321) (132) (213) Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. Обозначим дугой каждую инверсию:
Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «-», если чётное (0 или 2) то «+». Фактически, умножаем на Причём, все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из 3 не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз. А для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 1*2*3*4 = 4!
Пример.
Пример.
ЛЕКЦИЯ № 2. 09.09.2016   Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.
, где 
это номер строки, в которой он расположен, а 
- номер столбца.
, то есть матрица А имеет размер 
то она называется квадратной матрицей порядка n.
.
+ 
= 
; 
все элементы умножены на коэффициент 
, то есть равны 
.
, то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.
всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера 
= 
.
существуют оба произведения, 
и 
. Но произведение 
= 
, 
.
. Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.
, 
при 
.
, 3 порядка: 
коммутативность сложения
ассоциативность сложения
и 
дистрибутивность
ассоциативность умножения
и 
.
.
(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).
.
.
что как раз равно n!, что и требовалось доказать.
= 
.
соответствует
.
= 
соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:
, где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.
= 1*2*4 + 1*3*0 + 2*0*1 — 0*2*2 — 1*3*1 — 4*0*1 = 8 — 3 = 5.
= 1*3*6 + 4*0*2 + 8*7*3 — 8*3*2 — 1*0*3 — 6*4*7 = 18 + 0 + 168 — 48 — 0 — 168 = -30.