|
Глава 2. Системы линейных уравнений.Введение, основные методы решения. Произвольная система система из m линейных уравнений с m неизвестными. Примечание. Не обязательно все n переменных есть в каждом уравнении, в некоторых какие-то могут быть пропущены, то есть коэффициенты Уравнения здесь называются линейными потому, что все неизвестные именно в первой степени, то есть нигде не возводятся в квадрат, не умножаются между собой, не извлекается корень и т.д. Если при этом ещё и все Решением системы называется такой набор констант Обычный, матричный и векторный виды записи системы уравнений:
Основная (А) и расширенная матрица (С).
Определение. Если существует хотя бы одно решение (то есть набор Слово «совместная» система означает, что уравнения совместны между собой, не противоречат друг другу. Примеры: Совместная: Несовместная Если в правой части 2-го уравнения было бы 4, а не 5, то система была бы совместной.
ЛЕКЦИЯ № 4. 23.09.2016 Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений. Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда Замечание. Вообще, при добавлении нового столбца ранг может или остаться прежним, или увеличиться на 1. Идея доказательства. Если вектор
Рассмотрим расширенную матрицу для системы из недавнего примера:
Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой. Определённая: Неопределённая: Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует
* Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е.
Геометрический смысл при n=2. Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных: Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут: 1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая. 2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая. 3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.
Методы решения систем с квадратной основной матрицей. Матричный метод.
На примере:
Метод Крамера. Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её Идея доказательства формул Крамера проста и основывается на подробной записи матричного равенства
Рассмотрим на примере той же самой системы:
Но эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.
Метод Гаусса. Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь
На примере.
Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю. Система после преобразований:
Ответ ![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|