Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.

§ 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей.

Определение матрицы. Матрицей размера

называется прямоугольная таблица, состоящая из чисел (либо других объектов, например, функций), содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент обозначается

, где

это номер строки, в которой он расположен, а

- номер столбца.

! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов).

Если

, то есть матрица А имеет размер

то она называется квадратной матрицей порядка n.

1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников.

2. Таблица расстояний между каждой парой из n городов.

По главной диагонали 0, потому что до этого же города расстояние равно 0.

3. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время.

4. Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8.

Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов

Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице

все элементы умножены на коэффициент

, то есть равны

* Нужно вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов.

Если есть 2 матрицы, одна размера

, другая

, то их размеры называются согласованными. Такие матрицы можно умножать друг на друга.

Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует

всевозможных скалярных произведений строк (1-й матрицы) на столбцы (2-й матрицы). Именно из них и состоит произведение, это матрица размера

Для матриц размеров

существуют оба произведения,

. Но произведение

в примере выше оказалось бы не матрицей 2 порядка, а 3 порядка, то есть из 9 элементов.

В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица

обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь

* Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть

. Но как мы видели только что, матрица из всех единиц этим свойством не обладает, а вот если единицы только по главной диагонали, а вокруг - нули, то такое свойство будет выполняться.

(Аналог среди матриц первого порядка: число 1).

Если в плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка. Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка.

Матрица, соответствующая этой векторной системе

Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:

(произведение элементов главной диагонали, минус произведение элементов побочной диагонали).

Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы.

Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче.

Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.

Вообще, если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, то есть не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так наз. «перестановку».

Для n = 2 очевидно, перестановки только (12) и (21).

На первом месте одно из 3 чисел, при этом оставшиеся 2 можно расставить на два места именно 2 способами. Получается 3*2 = 6 способов. (Заметим, что 6 = 3!)

Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается

что как раз равно n!, что и требовалось доказать.

Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Число i на месте j показывает, что когда мы находимся в строке номер j то надо выбрать элемент, находящийся в столбце номер i.

Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме:

таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).

Определитель 3 порядка, примеры, методы вычисления.

Запомнить легче всего так: с помощью произведений по 3 параллельным линиям.

Надо дописать копии 1 и 2 столбца справа, и соединить по 3 параллельных линии: главная диагональ и параллельные ей (показаны зелёным цветом), затем побочная диагональ и параллельные ей (показаны красным). Умножить тройки чисел по 3 зелёным линиям, и взять их со знаком «+» а по красным прибавить со знаком «—». (Кстати, вместо столбцов справа можно дописать две строки снизу, и получится то же самое).

Можно запомнить и с помощью треугольников, например,

соответствует

Это один из двух треугольников, для которого главная диагональ - это средняя линия. Второй такой треугльник это

каждому элементу можно поставить в соответствие перестановку из 3 чисел.

Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для

получится (231):

для

соответствует (123) и т.д. напишем под каждым элементом свою перестановку:

Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6.

Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. Обозначим дугой каждую инверсию:

Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «-», если чётное (0 или 2) то «+».

Фактически, умножаем на

, где k - число инверсий. Знак каждого произведения зависит от чётности или нечётности перестановки.

Причём, все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из 3 не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз.

А для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 1*2*3*4 = 4!

Пример.

= 1*2*4 + 1*3*0 + 2*0*1 — 0*2*2 — 1*3*1 — 4*0*1 = 8 — 3 = 5.

Пример.

= 1*3*6 + 4*0*2 + 8*7*3 — 8*3*2 — 1*0*3 — 6*4*7 = 18 + 0 + 168 — 48 — 0 — 168 = -30.

Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k² элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.

Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы.

Матрица размера

ранга 2.

. Здесь есть невырожденный минор порядка 2,

Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка.

поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден.

Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак,

. Цветом закрашен базисный минор.

Ранг прямоугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.

Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й.

Матрица А является матрицей ранга 0

она состоит только из нулей (очевидно, что если в матрице есть хоть один элемент, не равный 0, то он уже является минором 1 порядка, то есть ранг не 0, а уже 1).

Скалярное, векторное, смешанное произведение.

Скалярное произведение

хорошо известно из школьного курса.

А сейчас мы научимся с помощью матриц и определителей находить общий перпендикуляр для пары векторов.

Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.

Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей

, и вычислить этот определитель.

. Миноры порядка 2 вычислятся, эти числа как раз и будут координатами

нового вектора, который является векторным произведением.

Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)

Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0).

Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.

Смешанное произведение. Определеятся так:

Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа.

Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так:

Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится

, то есть 1-я координата векторного произведения

как раз и умножается на 1-ю координату вектора

, 2-я на 2-ю и т.д. то есть это и есть

Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.

Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений.

Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда

(ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы).

Замечание. Вообще, при добавлении нового столбца ранг может или остаться прежним, или увеличиться на 1.

Идея доказательства. Если вектор

(вспомним векторный вид системы) является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то существуют

- коэффициенты, и решение существует, а если он не является линейной комбинацией столбцов матрицы А, то

не существует, и решения нет.

Рассмотрим расширенную матрицу для системы из недавнего примера:

. Если рассматривать основную матрицу (до черты) там ранг = 1, потому что во 2-й строке только нули. А если всю расширенную матрицу, то там есть невырожденный минор 2-го порядка:

. Ранги основной и расширенной матриц не совпадают.

Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой.

Неопределённая:

Решения: (1,1) или (2,0) или (0,2) или (3,-1) или (4,-2), их бесконечно много.

Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует

. Что бы мы ни подставляли вместо

, найдётся

. Единственного точного решения как такового здесь нет, их бесконечно много. Запись

здесь называется общим решением, а переменная

, которую перенесли вправо и можем свободно задавать - свободной переменной.

* Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е.

то система неопределённая, так как есть столбцы, не входящие в базисный минор, и именно эти неизвестные переносятся вправо.

Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных:

Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут:

1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая.

2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая.

3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.

, то есть

. Получается, что все

можно найти так: умножить обратную матрицу на правую часть.

На примере:

. Матричный вид системы:

, обратную матрицу для этой матрицы ранее находили, это

. Тогда

. Итак,

Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её

. Тогда верны следующие формулы для

для каждого i от 1 до n.

Идея доказательства формул Крамера проста и основывается на подробной записи матричного равенства

, учитывая структуру обратной матрицы:

тогда

как видим, алгебраические дополнения здесь именно к элементам 1-го столбца, но умножаются они на

, то есть, как если бы вместо 1-го столбца была поставлена правая часть системы.

Рассмотрим на примере той же самой системы:

Но эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.

Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового

, вычитая из других уравнений 1-е, домноженное на коэффициент

(для каждой строки разные). Теперь

будет только в первом уравнении, в других нет. Затем так же точно можем обнулить всё ниже чем

, вычитая из каждой строки 2-ю с соответствующим коэффициентом. Кстати, при этом нули, уже расположенные слева, не изменятся. Затем обнулим все элементы ниже

, ниже

, и так далее. В итоге для основной матрицы системы получится треугольный вид: нули везде ниже главной диагонали. При преобразованиях можно работать с расширенной матрицей, а не системой, чтобы не переписывать каждый раз

букв «

». Обратите внимание, что правая часть подвергается тем же преобразованиям, что и вся строка, где находится этот

После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь

. Это и позволит нам сначала выразить

, затем с этой известной информацией подняться в предпоследнее уравнение, и найти

На примере.

Преобразования расширенной матрицы:

Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю.

, из последнего

= 1, подставляем в предпоследнее, будет

, то есть

=1. Далее, уже известные

подставми в первое уравнение, и получим

=1.

Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса:

Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0, очевидно, его можно вычеркнуть.

Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу.

Обратите внимание. Типичной и характерной ошибкой является то, что вычёркивают обе пропорциональных строки, а не одну. Но если провести алгоритм Гаусса до конца, то видно, что одна из них сотаётся и несёт содержательную информацию, а её копия лишняя, она и обратилась в 0. Не нужно торопиться и вычёркивать все пропорциональные строки, ведь хотя бы одна из них не лишняя!

Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений:

Здесь перенесём

вправо, именно 3-я переменная - свободная, так как баисный минор обвели в левом углу.

* Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда

была бы свободная. Итак, перенесём

Основная матрица системы фактически стала квадратной, 2 порядка, т.е. множество коэффициентов при базисных переменных образует такую квадратную матрицу:

Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров.

Видно, что

уже и так выражена,

. Подставим это выражение в 1 уравнение, чтобы выразить отдельно

через

, в итоге

. Как видно, свободные переменные где-то могут и сократиться полностью, то есть какие-то базисные переменные выражаются просто через константу. Но в других примерах могут и все базисные зависеть от свободных переменных.

Итак,

- это общее решение. В нём есть один свободный параметр

Его можно записать также и в виде такого вектора:

Если задавать любое

, будет получать тройки чисел, которые служат частными решениями.

Например, при

= 0 получим (1,2,0). А при

= 1 получим (1,1,1).

При

= 2 получим (1,0,2), также можно задавать дробные значения

, например, частным решением является также и

. Частных решений бесконечно много.

* Свободных неизвестных

. Как правило, это последние, но не факт: зависит от строения системы. Если, например, 2-й столбец кратен 1-у, то базисный минор не удастся выбрать в левом верхнем углу, а только с разрывом через второй столбец, тогда 2-й столбец не будет базисным, и

- свободная пременная.

Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.

Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора:

то итоговое отображение называется композицией двух операторов. Соответственно, с помозью матриц это задаётся так:

, что равно

, так что композиции операторов соответствует произведение матриц.

Обратный оператор. Если для линейного оператора L существует линейный оператор, который каждый вектор отображает обратно в x, то L называется обратимым, а этот второй оператор - обратным для L.

Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор.

При последовательном действии двух этих операторов получается тождественный:

Обратному оператору соответствует обратная матрица.

Лемма. Линейный оператор является обратимым

Определение. Если для ненулевого вектора выполняется

, то

называется собственным числом, а вектор

называется собственным вектором, соответствующим этому собственному числу.

* Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой.

* Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь

для любого числа

Не для каждого оператора существуют собственные векторы.

Примеры. При повороте плоскости на произвольный угол, ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. Однако в случае поворота на 0 и 180 градусов, все векторы остаются на своих прямых,

для поворота на 0 градусов (это тождественное оторажение),

для поворота на 180⁰, так как все векторы переходят в противоположные.

Вращение в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, соответствуют

Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, немного поворачиваются, не являются собственными.

Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу

, тоже является собственным вектором, соответствующим тому же

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: