|
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроникиСтр 1 из 10Следующая ⇒ Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники Приходовский М.А. Математика Учебное пособие (курс лекций) Й семестр Часть 1 для специальности: Прикладная информатика в экономике» (группы 446-1 и 446-2) Томск ТУСУР Настоящее электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ (профилирующая кафедра АСУ) в группах 446-1 и 446-2 осенью 2016 года.
Оглавление. Часть 1 (сентябрь - октябрь) Глава 1. МАТРИЦЫ. § 1. Действия над матрицами. § 2. Определители. § 3. Обратная матрица. § 4. Ранг матрицы. § 5. Элементы векторной алгебры. Глава 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. § 1. Введение, основные методы решения. § 2. Неоднородные системы с произвольной матрицей. § 3. Системы линейных однородных уравнений. Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. § 1. Линейный оператор и его матрица § 2. Собственные векторы § 3. Квадратичные формы. Глава 4. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. § 1. Прямая на плоскости § 2. Плоскость в пространстве § 3. Прямая в пространстве § 4. Кривые и поверхности
Часть 1 (ноябрь - декабрь) Глава 5. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА. §1. Множества и функции. §2. Пределы. §3. Бесконечно-малые и бесконечно-большие. §4. Непрерывность. Глава 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. §1. Введение, основные методы. 2. Частные производные и градиент. §3. Уравнение касательной, формула Тейлора. §4. Экстремумы и строение графика. §5. Основные теоремы дифф. исчисления ЛЕКЦИЯ № 1. 02.09.2016 Глава 1. МАТРИЦЫ. Действия над матрицами. Определение матрицы. Матрицей размера Каждый элемент обозначается ! Обратите внимание: количество строк - это то же самое, что количество элементов в столбце, а количество столбцов равно количеству элементов в строке (заметим, что от каждого элемента 1-й строки начинается столбец, то есть сколько чисел в строке, столько и столбцов). Если Примеры матриц из жизни: 1. Таблица результатов ЕГЭ по нескольким предметам в группе учеников. 2. Таблица расстояний между каждой парой из n городов. Кратчайшее расстояние между городами:
По главной диагонали 0, потому что до этого же города расстояние равно 0. 3. Расписание занятий. День недели и номер пары, каждый элемент - номер аудитории в этот день в это время. 4. Шахматная доска, 64 элемента, квадратная матрица порядка 8. Сложение и вычитание матриц размера Эти операции определяются поэлементно, то есть суммируется или вычитается каждая соответствующая пара элементов Примеры:
Умножение матрицы на константу определяется следующим образом. В матрице Умножение двух матриц. * Нужно вспомнить из школьного курса операцию скалярного произведения двух векторов. Если есть 2 матрицы, одна размера Операция умножения матриц определяется следующим образом. Мысленно разобьём первую матрицу на строки, вторую - на столбцы. Для каждой строки 1-й матрицы и каждого столлбца 2-й матрицы определено скалярное произведение. Всего существует Пример: Для матриц размеров
Умножение квадратных матриц. В этом случае размеры всегда согласованы, и произведение - это тоже матрица 2 примера: обратите внимание, что даже для квадратных матриц далеко не всегда выполняется закон коммутативности, здесь * Существует такая матрица, которая во множестве матриц обладает свойством, аналогичным 1 во множестве чисел, то есть Единичная матрица Е. Строение: 2-го порядка:
(Аналог среди матриц первого порядка: число 1).
Свойства действий над матрицами:
О взаимосвязи матрицы с системой векторов. Если в плоскости 2 вектора, т.е. каждый имеет по 2 координаты, можно построить матрицу 2 порядка. Аналогично, если дано 3 вектора в пространстве - можно построить матрицу 3 порядка. Матрица, соответствующая этой векторной системе Определители. Пусть дана матрица 2 порядка. Определителем квадратной матрицы порядка 2 называется такое число:
Геометрический смысл: модуль определителя равен площади параллелограмма, сторонами которого являются 2 вектора, координаты которых расположены по строкам (либо столбцам) матрицы. Если бы мы просто вычисляли площадь параллелограмма, построенного на векторах (2,1) и (1,2), где ни один вектор не расположен вдоль координатной оси, то понадобилось бы найти длину основания, затем высоту. А с помощью определителя, S вычисляется гораздо короче. Примеры. поменяем местами строки, изменится знак:
Заметим, что при введении определителя, умножаемые элементы всегда расположены так, что 2 из них не находятся в одной строке или в одном столбце. Кстати, кроме главной и побочной диагонали, в матрице порядка 2 таких наборов элементов больше нет.
Вообще, если расположить первые n натуральных чисел 1,2,3,..., n в некотором порядке, то есть не по возрастанию, а перепутать каким-то образом, то они образуют так наз. «перестановку». Лемма. Существует n! перестановок порядка n. Для n = 2 очевидно, перестановки только (12) и (21). При n = 3. (123) (132) (213) (231) (312) (321) На первом месте одно из 3 чисел, при этом оставшиеся 2 можно расставить на два места именно 2 способами. Получается 3*2 = 6 способов. (Заметим, что 6 = 3!) Дальше, доказательство по индукции. Пусть теперь для (n-1) этот факт доказан. Рассмотрим для n. На первом месте может стоять любое из n чисел, и при каждой из этих ситуаций, остаётся (n-1) число, которые должны занять (n-1) место, а это возможно (n-1)! способами. Итак, получается
Каждый набор элементов, которые мы перемножаем в определителе 2 порядка, можно задать с помощью перестановки: главная диагональ (12) побочная диагональ (21). Число i на месте j показывает, что когда мы находимся в строке номер j то надо выбрать элемент, находящийся в столбце номер i. Большой прямоугольник в 1 строке, выбираем из 1 столбца, а когда он спустился во 2 строку, там из 2 столбца. Как на схеме: таким путём мы как раз и получаем главную диагональ с помощью перестановки (12).
Определитель 3 порядка, примеры, методы вычисления.
Запомнить легче всего так: с помощью произведений по 3 параллельным линиям.
Можно запомнить и с помощью треугольников, например, Это один из двух треугольников, для которого главная диагональ - это средняя линия. Второй такой треугльник это
В записи определителя 3 порядка каждому элементу можно поставить в соответствие перестановку из 3 чисел. Представьте себе прямоугольник, который сначала в 1-й строке, а затем спускается ко 2-й и 3-й, внутри него вправо и влево может двигаться квадрат, указывающий на какой-то из элементов. Запишем, в каком № столбца взяли элемент, когда находились в 1-й строке, затем так же во 2-й и 3-й. Например, для для (123) (231) (312) (321) (132) (213) Видим, что при этом учтены все возможные перестановки, количество которых 3! = 6. Рассмотрим подробнее, как знак определяется по перестановкам. Назовём инверсией такую ситуацию, когда большее число в перестановке расположено раньше, чем меньшее. Обозначим дугой каждую инверсию: Если инверсий нечётное количество (1 или 3), то знак «-», если чётное (0 или 2) то «+». Фактически, умножаем на Причём, все рассмотренные наборы элементов, которые перемножаются между собой, обладают тем свойством, что никакие 2 из 3 не находятся в одной и той же строке либо одном и том же столбце. Таких наборов всего 6, и они все учтены. А для матрицы порядка 2 таких наборов всего 2, поэтому там определитель состоит всего из 2 слагаемых. Почему же они не могут быть в одной строке или столбце? Ответ простой: ведь перестановка состоит из разных чисел, то есть там нет одинаковых на двух местах, поэтому из одного и того же столбца 2 раза мы не выберем. Из одной строки тем более: находясь в некоторой строке, мы выбираем элемент только 1 раз. А для матрицы 4 порядка потребуется найти все четвёрки элементов, так чтобы никакие два не оказывались в одной строке или одном столбце. Их будет 24 = 1*2*3*4 = 4!
Пример.
Пример.
ЛЕКЦИЯ № 2. 09.09.2016 ЛЕКЦИЯ № 3. 16.09.2016 § 4. Ранг матрицы. Для прямоугольных матриц не существует понятие определителя, однако там можно выбирать квадратные подматрицы, и для них определитель вычислить можно. Если задать какие-нибудь k номеров строк и k номеров столбцов, то на пересечениях, очевидно, получится минор из k2 элементов. Он может быть вырожденным либо нет. Существует минор максимального порядка, который является невырожденным. Его порядок и называется рангом матрицы.
Определение. Порядок наибольшего невырожденного минора называется рангом матрицы. Обозначается Матрица размера
Миноры 3 порядка можно рассматривать не все, достаточно только окаймляющие, то есть содержащие уже найденный минор меньшего порядка. поэтому ранг не равен 3, а остаётся равен 2, так как минор 2 порядка уже найден. Миноров 4 порядка в этой матрице нет, так как всего 3 строки. Итак,
Ранг прямоугольной матрицы размера m*n меньше или равен, чем минимальное из чисел m, n. Причина: минор более высокого порядка в этой матрице просто не существует, ведь размер вписанного квадрата не может превышать ни длину, ни ширину прямоугольника, в который вписан этот квадрат.
Пример. Матрица ранга 1. Здесь все строки пропорциональны 1-й.
Матрица А является матрицей ранга 0
Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное, смешанное произведение. Скалярное произведение А сейчас мы научимся с помощью матриц и определителей находить общий перпендикуляр для пары векторов. Векторное произведение.
Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.
Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей
Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)
Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0). Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.
Смешанное произведение. Определеятся так: Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа. Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится
Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.
ЛЕКЦИЯ № 4. 23.09.2016 Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы уравнений. Система линейных уравнений совмстна тогда и только тогда, когда Замечание. Вообще, при добавлении нового столбца ранг может или остаться прежним, или увеличиться на 1. Идея доказательства. Если вектор
Рассмотрим расширенную матрицу для системы из недавнего примера:
Определение. Если решение системы линейных уравнений единственно, то она называется определённой, если не единственно, то неопределённой. Определённая: Неопределённая: Фактически 2-е уравнение лишнее, а из 1-го следует
* Если ранг основной матрицы меньше, чем число неизвестных, т.е.
Геометрический смысл при n=2. Рассмотрим систему из 2 уравнений и 2 неизвестных: Её геометрический смысл. Каждое из уравнений задаёт некоторую прямую в плоскости. Прямые могут: 1. пересекаться в одной точке (решение единственно), в этом случае система совместная и определённая. 2. совпадать (решений бесконечно много), в этом случае система совместная, но неопределённая. 3. быть параллельны (нет решений) - система несовместна.
Матричный метод.
На примере:
Метод Крамера. Пусть А - основная матрица системы линейных уравнений. Если удалить какой-либо i-й столбец основной матрицы и внести на это место правую часть, то получится некая новая квадратная матрица, обозначим её Идея доказательства формул Крамера проста и основывается на подробной записи матричного равенства
Рассмотрим на примере той же самой системы:
Но эти два способа используются чаще для матриц 2 и 3 порядка, и они очень трудоёмкие, если матрица порядка 4 и больше.
Метод Гаусса. Метод состоит в преобразовании основной матрицы к треугольному виду. Можно последовательно обнулить элементы ниже углового После преобразований надо восстановить полную запись системы с неизвестными, но в ней уже будет хорошее свойство: чем ниже уравнение, тем меньше переменных, а в последнем вообще одна лишь
На примере.
Сначала из 2-й строки вычли 1-ю, а из 3-й удвоенную 1-ю. На втором этапе, к 3-й прибавили 2-ю. Система после преобразований:
Ответ Пример. Решить систему уравнений Запишем расширенную матрицу и преобразуем её методом Гаусса:
Из 2-й строки отняли 1-ю, из 3-й удвоенную 1-ю. Замечаем, что 2 и 3 строка одинаковы, вычитаем из 3-й 2-ю, и 3-я строка получилась состоящей из 0. Это уравнение 0 = 0, очевидно, его можно вычеркнуть. Базисный минор 2 порядка можно найти в левом верхнем углу. Здесь m = 3, n = 4, r = 2. Обратите внимание. Типичной и характерной ошибкой является то, что вычёркивают обе пропорциональных строки, а не одну. Но если провести алгоритм Гаусса до конца, то видно, что одна из них сотаётся и несёт содержательную информацию, а её копия лишняя, она и обратилась в 0. Не нужно торопиться и вычёркивать все пропорциональные строки, ведь хотя бы одна из них не лишняя! Развернём две оставшихся строки снова в систему уравнений: Здесь перенесём * Впрочем, это не единственный вариант: базисный минор можно составить из фрагментов 1 и 3 столбца, тогда
Просто справа при этом не только константы, а составные выражения из констант и каких-то параметров. Видно, что
Итак, Его можно записать также и в виде такого вектора: Если задавать любое Например, при При * Свободных неизвестных
Лекция № 5. 30. 09. 2016 Тождественный оператор I. Линейный оператор, который отображает каждый вектор в исходный, называется тождественным. I(x)=x. Ему соответствует матрица Е.
Композиция операторов. Если последовательно действуют два линейных оператора:
Обратный оператор. Если для линейного оператора L существует линейный оператор, который каждый вектор отображает обратно в x, то L называется обратимым, а этот второй оператор - обратным для L.
Примеры: поворот на угол - обратимый, проекция - необратимый линейный оператор. При последовательном действии двух этих операторов получается тождественный: Обратному оператору соответствует обратная матрица. Лемма. Линейный оператор является обратимым
Собственные векторы. Определение. Если для ненулевого вектора выполняется Замечания. * Геометрически это означает, что при действии отображения вектор остаётся на той же самой прямой. * Для нулевого вектора рассматривать это понятие нет смысла, ведь Не для каждого оператора существуют собственные векторы. Примеры. При повороте плоскости на произвольный угол, ни один вектор не остаётся на той же самой прямой. Однако в случае поворота на 0 и 180 градусов, все векторы остаются на своих прямых, Вращение в пространстве: все векторы на оси вращения - собственные, соответствуют Если растяжение по оси x с коэффициентом 2, а по оси y с коэффициентом 3, то векторы, не лежащие на осях, немного поворачиваются, не являются собственными.
Теорема 1. Линейная комбинация собственных векторов, соответствующих одному и тому же числу ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|