|
Алгоритм поиска собственных векторов.1. Вычислить определитель 2. Решить характеристическое уравнение Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, так как по диагонали n элементов. 3. Подставить каждое конкретное ФСР системы это и будет собственный вектор для того
Пример. Найти собственные числа и векторы для
Рещим это уравнение: Теперь подставим каждое
Проверка:
Никакого третьего собственного числа в этом примере быть не может, так как матрица порядка 2, и характеристическое уравнение степени 2.
Теорема 5. Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна. Доказательство.
Аналогично Таким образом, получится матрица оператора: Теорема 6. Следующее свойство (Ax,y) = (x,Ay) выполняется Доказательство. Рассмотрим это равенство для базисных векторов:
Аналогично, Таким образом,
Определение. Если для линейного оператора Лекция № 6. 07. 10. 2016 Теорема 7. Собственные векторы симметрического оператора, соответствующие разным Доказательство. Дано: Следствие. Для линейного оператора, матрица которого симметрична, существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов.
Квадратичные формы. Билинейная форма, её задание с помощью матрицы. Рассмотрим подробнее скалярное произведение типа Подробнее при n=2:
При произвольном n: Фактически, это обобщённое скалярное произведение. Обычное скалярное произведение можно задать таким же способом, но с единичной матрицей Е: Теперь рассмотрим такой случай. Пусть билинейная форма вычисляется от 2 одинаковых векторов, Квадратичная форма задаётся через скалярное произведение так:
Например, матрица
Очевидно, Пример. Построить матрицу квадратичной формы
Решение. Распределим поровну коэффициенты:
Ответ: матрица: * Очевидно, если матрица диагональна, то * Вспомним теорему 7 из прошлого §. Если матрица симметрична, то собственные векторы ортогональны. * Вспомним также теорему 5 из прошлого §. Если в качестве нового базиса взять n собственных векторов, то матрица оператора в новом базисе будет диагональной. Из всего сказанного следует, что квадратичную форму всегда можно привести к виду, не содержащему попарные произведения, а содержащему лишь квадраты, называется к «главным осям» (главные оси это направления, соответствующие собственным векторам). Приведение к главным осям основано на поиске собственных чисел и векторов, примеры на эту тему решим подробно на практике. ![]() ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|