|
Алгоритм поиска собственных векторов.1. Вычислить определитель и приравнять к нулю - получится характеристическое уравнение. 2. Решить характеристическое уравнение , найти все собственные числа. Их будет не больше, чем n, так как уравнение порядка n, так как по диагонали n элементов. 3. Подставить каждое конкретное в характеристическую матрицу, и решить однородную систему . Таких шагов может быть n. Каждый раз надо изменить диагональ и заново решить систему! ФСР системы это и будет собственный вектор для того .
Пример. Найти собственные числа и векторы для . = . Далее, . Тогда уравнение . Рещим это уравнение: . Получим . Теперь подставим каждое и решим системы уравнений. : , , система: . Общее решение: , вектор . : , , система: . Общее решение: , вектор . Проверка: , . Никакого третьего собственного числа в этом примере быть не может, так как матрица порядка 2, и характеристическое уравнение степени 2.
Теорема 5. Если базис состоит из собственных векторов, то матрица оператора в этом базисе диагональна. Доказательство. , то есть 1-й столбец в матрице оператора это такие числа: . Аналогично , то есть 2-й столбец . И т.д. Таким образом, получится матрица оператора: . Теорема 6. Следующее свойство (Ax,y) = (x,Ay) выполняется матрица А симметрична (то есть ). Доказательство. Рассмотрим это равенство для базисных векторов: . Если оно выполняется для любой пары базисных векторов, то есть для любых индексов i, j. , как показано раньше, это i-й столбец матрицы линейного оператора. Если скалярно умножить его на , то есть на тот вектор, где все координаты 0 и только на месте j единица, - получим j - й элемент из i - го столбца, это в матрице. Аналогично, это i - й элемент из j - го столбца, то есть . Таким образом, эквивалентно тому, что = для всех индексов i, j.
Определение. Если для линейного оператора , для любой пары векторов верно , то называется симметрическим оператором. Лекция № 6. 07. 10. 2016 Теорема 7. Собственные векторы симметрического оператора, соответствующие разным , ортогональны. Доказательство. Дано: , пусть первый вектор собственный и соответствует , а второй . То есть верно: и . Тогда можно записать в виде , тогда , тогда . Собственные числа разные, поэтому первый множитель не равен 0, тогда . Скалярное произведение 0, векторы ортогональны. Следствие. Для линейного оператора, матрица которого симметрична, существует ортогональный базис, состоящий из собственных векторов.
Квадратичные формы. Билинейная форма, её задание с помощью матрицы. Рассмотрим подробнее скалярное произведение типа , А - матрица некоторого линейного оператора. Произведение квадратной матрицы на столбец это вектор-столбец, затем его скалярно умножаем на вектор , в итоге получится число. Таким образом, это некоторая скалярная функция от 2 векторов. Она линейна по каждому аргументу: если на 1 или 2 месте сумма векторов, то результат тоже представляется в виде суммы. Обозначим и назовём эту функцию билинейной формой. Подробнее при n=2: = = . При произвольном n: здесь n2 слагаемых. Фактически, это обобщённое скалярное произведение. Обычное скалярное произведение можно задать таким же способом, но с единичной матрицей Е: = . Это частный случай билинейной формы. Теперь рассмотрим такой случай. Пусть билинейная форма вычисляется от 2 одинаковых векторов, . Обозначим и назовём эту функцию, отобрающую один вектор в число, квадратичной формой. Квадратичная форма задаётся через скалярное произведение так: . = . Например, матрица задаёт такую квадратичную форму: = = . Очевидно, , то есть эта группа из двух слагаемых и может быть объединена. Коэффициенты и распределить поровну. Так, это то же самое, что . Но ведь тогда матрицу квадратичной формы можно сделать симметричной, перераспределить эквивалентные элементы с сохранением их суммы. Таким образом, квадратичную форму всегда можно задать симметричной матрицей. Эта же самая квадратичная форма может быть задана и такой матрицей: . Пример. Построить матрицу квадратичной формы . Решение. Распределим поровну коэффициенты: . Каждый коэффициент, стоящий при , запишем на место . Ответ: матрица: . * Очевидно, если матрица диагональна, то = квадратичная форма не содержит попарных произведений, а содержит только квадраты координат. * Вспомним теорему 7 из прошлого §. Если матрица симметрична, то собственные векторы ортогональны. * Вспомним также теорему 5 из прошлого §. Если в качестве нового базиса взять n собственных векторов, то матрица оператора в новом базисе будет диагональной. Из всего сказанного следует, что квадратичную форму всегда можно привести к виду, не содержащему попарные произведения, а содержащему лишь квадраты, называется к «главным осям» (главные оси это направления, соответствующие собственным векторам). Приведение к главным осям основано на поиске собственных чисел и векторов, примеры на эту тему решим подробно на практике. Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|