|
Метод элементарных преобразований для нахождения ранга.Бывает лучше упростить матрицу, чтобы видеть, какие миноры равны 0 или не равны 0. Как и при вычислении определителей, можно прибавлять к строке другую строку, умноженную на число, то же самое со столбцами. Но при нахождении ранга даже больше возможных действий, чем при вычислении определителя: можно менять местами строки (столбцы), умножать строки (столбцы) на коэффициент. Дело в том, что соответствующие миноры в этом случае меняют знак или умножаются на с, но ведь свойство быть равными 0, либо не равными 0, от этого не меняется! Если число Пример.
теперь из 3-й строки вычтем 2-ю Теперь лучше видно базисный минор порядка 3. Ранг = 3. Если бы оказалось, что последняя строка состоит из нулей, то тогда был бы ответ ранг матрицы = 2.
Ранее упоминали, что матрицы естественным путём связаны с системами векторов.
Определение. Пусть (А если все коэффициенты = 1, то это просто сумма векторов). Пример. 2(1,1,1)+1(1,2,3) = (3,4,5). В пространстве, рассмотрим 3 вектора: (1,0,0), (0,1,0) и (0,0,1). Любой вектор 3-мерного пространства можно представить как линейную комбинацию этих трёх векторов.
* Если все коэффициенты 0, то линейная комбинация есть 0 вектор в любом случае, какими бы ни были векторы. * Допустим, что взяты векторы (1,0) и (-1,0). Если их сложить, то получим (0,0). Видим, что бывают ситуации, когда линейная комбинация ненулевых векторов - это нулевой вектор, даже если ненулевые коэффициенты! Аналогичная ситуация, если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. В связи с этим возникает определение линейно-зависимой и линейно-независимой системы векторов.
Определение. Если из равенства
Примеры. * Если вектор с есть a+b, тогда a+b-c = 0. Коэффициенты 1,1,-1. * если 2 вектора коллинеарны, то они образуют ЛЗС. * если нулевой вектор принадлежит системе, то она ЛЗС. Это доказывается так: коэффициент при 0-векторе может быть любым числом, т.к. он всё равно не влияет на сумму векторов, а значит, существует набор коэффициентов, в котором не все нули, и значит, формально по определению такая система векторов ЛЗС.
Теорема. Система линейно зависима Идея доказательства. Необходимость. Если система ЛЗС, то хотя бы у какого-то вектора есть ненулевой коэффициент, тогда это слагаемое можно перенести в другую сторону и разделить всё равенство на этот коэффициент. Достаточность. Если вектор выражен через остальные, его можно перенести в другую сторону равенства, ко всем остальным векторам, то есть в записи Так, если выражен 1-й вектор, то
Определение. Максимальная линейно-независимая подсистема называется базисом системы векторов, а число векторов в ней - рангом системы векторов. Пример. Если в плоскости есть 2 неколлинеарных вектора, и добавлены 100 векторов в той же плоскости, r = 2.
* 3 вектора, из которых 2 коллинеарны. Ранг = 2. * 3 вектора, из которых все 3 коллинеарны. Ранг = 1.
Как видим, было 2 подхода к понятию ранга: ранг системы (число векторов в максимальной независимой подсистеме) и ранг матрицы (порядок наибольшего невырожденного минора). На самом деле, не случайно используется одно и то же слово: если матрицу мысленно разрезать на строки, будет система векторов, и у неё ранг точно такой же, как был у исходной матрицы. Аналогичное верно и для системы столбцов. Теорема (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен рангу системы её строк (столбцов).
Элементы векторной алгебры. Скалярное, векторное, смешанное произведение. Скалярное произведение А сейчас мы научимся с помощью матриц и определителей находить общий перпендикуляр для пары векторов. Векторное произведение.
Таблица свойств скалярного и векторного произведений: сходство и различия.
Метод нахождения векторного произведения с помощью определителя: Можно записать в 1-ю и 2-ю строку исходные два вектора, в третьей строке добавить произвольные обозначения осей
Пример. Найти векторное произведение векторов (1,1,1) и (1,2,3)
Также можно проверить, что он действительно перпендикулярен исходным векторам (скалярно умножить на 1-й или на 2-й вектор, получим 0). Примечание. Определитель можно вычислять либо разложением по 3-й строке, либо ранее известными методами, в том числе добавить копии двух первых столбцов справа.
Смешанное произведение. Определеятся так: Этот объект корректно определён и существует: векторное произведение первой пары есть какой-то вектор, и его можно скалярно умножить на ещё один, третий вектор, в итоге получится константа. Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя так: Обоснование: Если рассмотреть разложение этого определителя по третьей строке, то получится
Геометрический смысл: объём параллелепипеда, образованного тремя векторами.
![]() ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|