Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Геометрические и физические свойства эллипса.





Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов - Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.

 

Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей.

Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится.

Понятие «эксцентриситет эллипса». Величина называется эксцентриситетом эллипса. Геометрический смысл: во сколько раз ближе к центру расположен фокус, чем дальняя вершина эллипса. Если окружность, то эксцентриситет равен 0. Известны эксцентриситеты орбит планет Солнечной системы. Но они - очень малые числа, так как орбиты очень близки к круговым, например 0,017 для Земли.

Лекция № 8. 21. 10. 2016

Определение гиперболы. Гиперболой называется геометрическое место тоек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть постоянная величина.

Каноническое уравнение гиперболы . Доказательство формулы во многом аналогично тому, что только что выводили для эллипса.



Асимптоты гиперболы: .

Определение параболы. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от некоторой прямой и не лежащей на ней точки.

Эта прямая называется директрисой, точка - фокусом.

Каноническое уравнение паработы: .

Выведем это уравнение непосрредственно из геометрического определения.

Расположим прямую левее начала координат, а именно фокус - справа, это точка .

Вычислим расстояние до фокуса по теореме Пифагора: .

Расстояние до директрисы - просто по горизонтали, это .

= тогда = , тогда = ,

и в итоге .

Если директрису расположить горизонтально и точку над ней, то ветви параболы будут направлены не вправо, а вверх.

* Параболу можно представить как предельный случай эллипса: если правый фокус удаляется в бесконечность, то эллипс вытянется вправо, получится парабола.

* Свойство фокусировки. Параллельные лучи после отражения от параболы собираются в фокусе.

Именно на этом основано применение параболических антенн.

 

Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса.

Уравнение конуса: . Действительно, если радиус окружности, являющейся сечением, равномерно увеличивается с ростом высоты, то на каждой высоте можно отождествить с , то есть из следует .

Если фиксировать z то получим окружность. Если фиксировать x или y, то есть рассмотреть вертикальное сечение, то получим гиперболу. Например, пусть . Тогда , , - гипербола. Если наклон плоскости плавно увеличивать, то от окружности перейдём к эллипсу, затем, когда наклон плоскости равен углу наклона образующей конуса, то получим параболу, если угол больше, т.е. плоскость стремится к вертикальному положению, то в сечении гипербола.

 

ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ.

Изучим такие типы поверхностей:

1) поверхность вращения 2) цилиндрическая 3) коническая 4) поверхности 2-го порядка.

1) Поверхность вращения.

Если кривую в плоскости 0xy вращать вокруг оси 0x, то каждая точка опишет окружность, лежащую в плоскости, параллельной 0yz.

Уравнение будет вида , то есть y,z входят в уравнение только в составе суммы квадратов, а не по отдельности. Конечно, можно записать и в виде так как легко можно представить как .

Если ось вращения 0y то , а если ось вращения 0z то .

 

В частности, поверхностью вращения является и уже рассмотренный нами ранее конус:

где неявное уравнение можно представить так: то есть в виде .

 

2) Цилиндрическая поверхность.

Уравнение задаёт окружность в плоскости, но если это рассматривать как уравнение 3-мерной поверхности, где отсутствует z, то получается, что z любое (произвольное) то есть вся вертикальная прямая, идущая от точки на окружности, принадлежит поверхности. Получается прямой круговой цилиндр.

Можно обобщить это понятие: проводить прямолинейные образующие не от точек окружности, а от произвольной кривой, лежащей в плоскости 0xy. Уравнение вида задаёт кривую в плоскости, а в пространстве оно же задаёт цилиндрическую поверхность. Если отсутствует какая-то из переменных, то прямолинейные образующие параллельны именно той координатной оси, какая переменная отсутствует.

 

3) Коническая поверхность.

Если от окружности , лежащей в плоскости z = C провести прямые через начало координат, то получим конус. Но можно в этой плоскости рассматривать не окружность, а произвольную кривую, таким образом строится обобщённая коническая поверхность.

Если в некоторой плоскости взята кривая, через все её точки и некоторую общую точку F проведены прямые линии, то полученная поверхность называется конической. Так, например, пирамида тоже является конической поверхностью, только образующей кривой там является квадрат, а не окружность. Все точки квадрата соединены прямолинейными образующими с некоторой точкой, лежащей вне его плоскости.

Определение. Функция называется однородной, если .

Например, - однородная функция, здесь у всех слагаемых суммарные степени = 3, и при увеличении всех переменных в c раз, появится общий множитель с3.

 

Функция, задающая уравнение конуса, тоже однородная: .


 

Докажем, что уравнение , где однородная функция, задаёт коническую поверхность.

Пусть точка принадлежит поверхности. Тогда . Но тогда , то есть , тогда точка тоже принадлежит поверхности, и это верно для любого c.

Таким образом, вся прямая, соединяющая начало координат и точку , принадлежит поверхности. Следовательно, это коническая поверхность.

 

Поверхности 2-го порядка.

Эллипсоид

При фиксировании любой переменной получится уравнение эллипса. Любое его сечение - эллипс. Полуоси a,b,c.

Если пара полуосей совпадает, т.е. или или , то эллипсоид вращения (сечения вдоль какой-то из плоскостей - круги а не ээипсы). Если же все 3 равны , то сфера .

- пустое множество (ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению).

Однополостный гипердобоид

При z=0 сечение есть эллипс . Если фиксировать , то эллипс большего размера, но с тем же самым соотношением полуосей.

В вертикальных сечениях будут гиперболы: если фиксировать y, то уравнение сводится к виду, где разность квадратов.

Например, при y = 0:

Интересно, что у однополостного гиперболоида есть прямолинейные образующие. Если фиксировать x=a или y=b, т.е. вертикальную плоскость поставить ровно на уровне горловины этой фигуры (т.е. самого малого эллипса) получим:

т.е. т.е. уравнения двух пересекающихся прямых.

 

Двуполостный гиперболоид

В отличие от прошлого случая, здесь при малых z, по модулю меньших чем c, вообще пустое множество в горизонтальных сечениях: здесь только при справа положительное число и в сечениях эллипсы. Поэтому фигура распадается на 2 части, вблизи начала координат вообще нет точек.

Вертикальные сечения - гиперболы.

Кстати, если вращать гиперболу, расположенную в одних четвертях, то получится 1-полостный гиперболоид,

а если вращать гиперболу, которая была в других двух четвертях - 2-полостный гиперболоид:

 

Рассмотрим теперь две поверхности, в уравнениях которых содержится не 3, а 2 квадрата, и первая степень третьей переменной.

 

Эллиптический параболоид

Горизонтальные сечения - эллипсы: если фиксировать z, то получим .Вертикальные сечения - параболы, ветви которых направлены вверх: если фиксировать например y, то получим

уравнение параболы. Параболические антенны построены именно с помощью такой поверхности, но (параболоид вращения).

 

Гиперболический параболоид .

Вертикальные сечения - параболы. Причём если фиксировать x, то сечение в плоскости 0yz - парабола, ветви которой направлены вниз , а если фиксировать y, то ветви вверх: .

В горизонтальных сечениях - гиперболы

в зависимости от знака z, они то в одних, то в других четвертях.

Можно представить построение этой поверхности так: парабола, ветвями направленная вниз, повернута перпендикулярно и скользит своей вершиной по параболе, направленной ветвями вверх.

 

Общий случай.

В уравнении поверхности присутствует квадратичная форма

.

Построить её матрицу (см. прошлую тему), найти собственные числа .

Если они все одного знака ( ), то поверхность - эллипсоид.

Если два из них одного знака, а третье другого знака ( ) гиперболоиды.

Если одно из них 0, а другие одного знака ( ) эллиптический параболоид.

Если одно из них 0, а другие разного знака ( ) гиперболический параболоид.


 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.