|
|
Геометрические и физические свойства эллипса. ⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10 Эллипсы в астрономии. Все планеты и другие небесные тела Солнечной системы движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов - Солнце. Этот закон был открыт ещё Кеплером. Ближайшую точку к Солнцу Земля проходит 4 января, таким образом, для северного полушария зима чуть теплее, чем для южного. К тому же, из-за такой формы орбиты, зима для северного полушария чуть короче, то есть период между осенним и весенним равноденствием не ровно 1/2 года, а меньше. Действительно, на южном полюсе температуры бывают ниже, чем на северном полюсе.
Физическое свойство фокусировки. Лучи, испущенные из одного фокуса, после отражения соберутся во втором фокусе. Название «фокус» как раз и связано со словом «фокусировка» лучей. Если на орбите Земли расположить зеркала, так чтобы они были повёрнуты ровно по касательной к орбите, то все лучи соберутся во 2 фокусе, то есть из той точки будет видно, что вся орбита светится. Понятие «эксцентриситет эллипса». Величина Лекция № 8. 21. 10. 2016 Определение гиперболы. Гиперболой называется геометрическое место тоек на плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть постоянная величина.
Каноническое уравнение гиперболы Асимптоты гиперболы: Определение параболы. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от некоторой прямой и не лежащей на ней точки. Эта прямая называется директрисой, точка - фокусом. Каноническое уравнение паработы: Выведем это уравнение непосрредственно из геометрического определения.
Расположим прямую левее начала координат, а именно Вычислим расстояние до фокуса по теореме Пифагора: Расстояние до директрисы - просто по горизонтали, это
и в итоге Если директрису расположить горизонтально и точку над ней, то ветви параболы будут направлены не вправо, а вверх. * Параболу можно представить как предельный случай эллипса: если правый фокус удаляется в бесконечность, то эллипс вытянется вправо, получится парабола. * Свойство фокусировки. Параллельные лучи после отражения от параболы собираются в фокусе. Именно на этом основано применение параболических антенн.
Эллипс, гипербола и парабола как сечения конуса. Уравнение конуса: Если фиксировать z то получим окружность. Если фиксировать x или y, то есть рассмотреть вертикальное сечение, то получим гиперболу. Например, пусть
ПОВЕРХНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ. Изучим такие типы поверхностей: 1) поверхность вращения 2) цилиндрическая 3) коническая 4) поверхности 2-го порядка. 1) Поверхность вращения. Если кривую в плоскости 0xy вращать вокруг оси 0x, то каждая точка опишет окружность, лежащую в плоскости, параллельной 0yz. Уравнение будет вида Если ось вращения 0y то
В частности, поверхностью вращения является и уже рассмотренный нами ранее конус:
2) Цилиндрическая поверхность. Уравнение Можно обобщить это понятие: проводить прямолинейные образующие не от точек окружности, а от произвольной кривой, лежащей в плоскости 0xy. Уравнение вида
3) Коническая поверхность. Если от окружности, лежащей в плоскости z = C провести прямые через начало координат, то получим конус. Но можно в этой плоскости рассматривать не окружность, а произвольную кривую, таким образом строится обобщённая коническая поверхность. Если в некоторой плоскости взята кривая, через все её точки и некоторую общую точку F проведены прямые линии, то полученная поверхность называется конической. Так, например, пирамида тоже является конической поверхностью, только образующей кривой там является квадрат, а не окружность. Все точки квадрата соединены прямолинейными образующими с некоторой точкой, лежащей вне его плоскости. Определение. Функция Например,
Функция, задающая уравнение конуса, тоже однородная:
Докажем, что уравнение Пусть точка Таким образом, вся прямая, соединяющая начало координат и точку
Поверхности 2-го порядка. Эллипсоид
При фиксировании любой переменной получится уравнение эллипса. Любое его сечение - эллипс. Полуоси a,b,c. Если пара полуосей совпадает, т.е.
Однополостный гипердобоид
При z=0 сечение есть эллипс В вертикальных сечениях будут гиперболы: если фиксировать y, то уравнение сводится к виду, где разность квадратов. Например, при y = 0: Интересно, что у однополостного гиперболоида есть прямолинейные образующие. Если фиксировать x=a или y=b, т.е. вертикальную плоскость поставить ровно на уровне горловины этой фигуры (т.е. самого малого эллипса) получим:
Двуполостный гиперболоид
В отличие от прошлого случая, здесь при малых z, по модулю меньших чем c, вообще пустое множество в горизонтальных сечениях: Вертикальные сечения - гиперболы. Кстати, если вращать гиперболу, расположенную в одних четвертях, то получится 1-полостный гиперболоид, а если вращать гиперболу, которая была в других двух четвертях - 2-полостный гиперболоид:
Рассмотрим теперь две поверхности, в уравнениях которых содержится не 3, а 2 квадрата, и первая степень третьей переменной.
Эллиптический параболоид
Горизонтальные сечения - эллипсы: если фиксировать z, то получим
Гиперболический параболоид
Вертикальные сечения - параболы. Причём если фиксировать x, то сечение в плоскости 0yz - парабола, ветви которой направлены вниз В горизонтальных сечениях - гиперболы в зависимости от знака z, они то в одних, то в других четвертях. Можно представить построение этой поверхности так: парабола, ветвями направленная вниз, повернута перпендикулярно и скользит своей вершиной по параболе, направленной ветвями вверх.
Общий случай. В уравнении поверхности присутствует квадратичная форма
Построить её матрицу (см. прошлую тему), найти собственные числа Если они все одного знака ( Если два из них одного знака, а третье другого знака ( Если одно из них 0, а другие одного знака ( Если одно из них 0, а другие разного знака (
  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
называется эксцентриситетом эллипса. Геометрический смысл: во сколько раз ближе к центру расположен фокус, чем дальняя вершина эллипса. Если окружность, то эксцентриситет равен 0. Известны эксцентриситеты орбит планет Солнечной системы. Но они - очень малые числа, так как орбиты очень близки к круговым, например 0,017 для Земли.
. Доказательство формулы во многом аналогично тому, что только что выводили для эллипса.
.
.
фокус - справа, это точка 
.
.
.
= 
, тогда 
= 
,
. Действительно, если радиус окружности, являющейся сечением, равномерно увеличивается с ростом высоты, то на каждой высоте можно 
отождествить с 
, то есть из 
следует 
. Тогда 
, 
, 
- гипербола. Если наклон плоскости плавно увеличивать, то от окружности перейдём к эллипсу, затем, когда наклон плоскости равен углу наклона образующей конуса, то получим параболу, если угол больше, т.е. плоскость стремится к вертикальному положению, то в сечении гипербола.
, то есть y,z входят в уравнение только в составе суммы квадратов, а не по отдельности. Конечно, можно записать и в виде 
так как 
легко можно представить как 
.
, а если ось вращения 0z то 
.
то есть в виде 
.
задаёт окружность в плоскости, но если это рассматривать как уравнение 3-мерной поверхности, где отсутствует z, то получается, что z любое (произвольное) то есть вся вертикальная прямая, идущая от точки на окружности, принадлежит поверхности. Получается прямой круговой цилиндр.
задаёт кривую в плоскости, а в пространстве оно же задаёт цилиндрическую поверхность. Если отсутствует какая-то из переменных, то прямолинейные образующие параллельны именно той координатной оси, какая переменная отсутствует.
называется однородной, если 
.
- однородная функция, здесь у всех слагаемых суммарные степени = 3, и при увеличении всех переменных в c раз, появится общий множитель с3.
принадлежит поверхности. Тогда 
, тогда точка 
тоже принадлежит поверхности, и это верно для любого c.
или 
или 
, то эллипсоид вращения (сечения вдоль какой-то из плоскостей - круги а не ээипсы). Если же все 3 равны 
, то сфера 
.
- пустое множество (ни одна точка пространства не удовлетворяет этому уравнению).
. Если фиксировать 
, то 
эллипс большего размера, но с тем же самым соотношением полуосей.
т.е. 
т.е. 
уравнения двух пересекающихся прямых.
здесь только при 
справа положительное число и в сечениях эллипсы. Поэтому фигура распадается на 2 части, вблизи начала координат вообще нет точек.
.Вертикальные сечения - параболы, ветви которых направлены вверх: если фиксировать например y, то получим
уравнение параболы. Параболические антенны построены именно с помощью такой поверхности, но 
.
, а если фиксировать y, то ветви вверх: 
.
.
.
), то поверхность - эллипсоид.
) гиперболоиды.
) эллиптический параболоид.
) гиперболический параболоид.