Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Пункт 1. Построение уравнения прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.





Пусть дана точка с координатами и направляющий вектор (выделен жирно на чертеже) Представим себе, что какая-то произвольная точка с координатами лежит на этой же прямой. Тогда и коллинеарны, то есть их координаты - пропорциональны, т.е.

тогда .

Это канонические уравнения прямой в пространстве.

Фактически здесь не одно, а два уравнения, впрочем, это прямая может быть задана как пересечение 2 плоскостей. Кстати, если перемножить 1-ю и 2-ю пропорции независимо друг от друга, и свести к обычным уравнениям, то мы и получили бы уравнения каких-то 2 плоскостей.

Если эти 3 дроби равны, то можно приравнять их к некоторому параметру t.

. Если теперь выразим x,y,z через t из каждой дроби по отдельности, получим:

- параметрические уравнения. Это физические уравнения движения, в момент времени t=0 находимся в точке , в момент времени t=1 сдвинулись к концу направляющего вектора.

Векторный вид записи этих 3 равенств: . При t=0 радиус-вектор из начала координат к исходной точке, через 1 секунду он будет направлен в конец вектора .

 

Пример. Построить уравнения прямой, если начальная точка (1,1,1) направляющий вектор (1,2,3).

,

тогда - канонические уравнения.

Параметрические:

Если привести 2 пропорции и то получим

и , то есть и

это и есть уравнения двух плоскостей, в пересечении который лежит эта прямая.

 

Замечание. Если требуется построить уравнение прямой по 2 точкам, то направляющий вектор от 1-й ко 2-й точке, и далее известный алгоритим.

 

Пункт 2. Построение уравнения прямой в пространстве по точке и двум перпендикулярам.

Если дана точка и 2 нормали, то можно найти направляющий как векторное произведение этих 2 нормалей:



. Далее можно решать тем методом, как в прошлом пункте.

 

Замечание. Кстати, канонические уравнения существуют не всегда, а вот параметрические - более универсальны, они существуют всегда, даже если направляющий лежит параллельно какой-то оси. А для канонических уравнений при этом получался бы 0 в знаменателе. Пример, показывающий данную ситуацию:

Пример. Если 2 перпендикуляра (1,0,0) и (1,1,0) то их векторное произведение (0,0,1) - направляющий.

Параметрические уравнения: x = 0 , y = 0 , z = t.

 

Пункт 3. Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Во-первых, закономерен вопрос, а почему требуется выводить новую формулу, если у нас уже была выведена формула расстояния от точки до прямой? Дело в том, что в пространстве уравнение прямой это вовсе не , а канонические или параметрические уравнения, то есть формула из прошлой темы не применима. В том случае мы пользовались проекцией на нормаль, а в пространстве нормаль к прямой однозначным образом не определяется.

 

Пусть дана прямая (с помощью точки и направляющего ) и точка , не лежащая на прямой.

Соединим и , это одна из двух сторон параллелограмма, вторая это . Требуемое расстояние это высота, надо площадь поделить на длину основания. Площадь равна векторному произведению векторов, образующих стороны. Поэтому .  

 

Пункт 4. Взаимное расположение прямых в пространстве.

 

 

Кроме совпадения, параллельности и пересечения, в пространстве появляется ещё одна ситуация: скрещивающиеся прямые.

Скрещивающиеся прямые можно определить как две прямые, не лежащие в одной плоскости. Через совпадающие, пареллельные, пересекающиеся прямые можно провести общую плоскость. Скрещивающиеся прямые можно представить себе как пару прямых, лежащих в параллельных плоскостях, но при этом сами прямые не параллельны (если рассмотреть вид сверху, то они пересекались бы).

 

Если и при этом: тогда прямые:
  Совпадающие
Параллельные
и компланарны (в одной плоскости) Пересекающиеся
  Скрещивающиеся

Примером отрезков, лежащих на скрещивающихся прямых, могут быть, например, мост и русло реки. Из-за того, что в пространстве возможны скрещивающиеся прямые, как раз и есть возможность строительства мостов и развязок.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.