|
Використання теореми розкладання для розрахунку перехідних процесів1. Підключення RL ланцюга до джерела сталої напруги при ненульових початкових умовах в індуктивності
Перейдемо до операторної схеми заміщення (рис.3.9) Рис. 3.9. У відповідності до операторної схеми зображення струму . (3.28) Застосуємо теорему розкладання до одержаного зображення . Корені . Таким чином, з урахуванням теореми розкладання, перехідний струм . (3.29) Розглянутий загальний випадок перехідного процесу в RL колі дає можливість проаналізувати різні окремі випадки: 1) нульові початкові умови (І0 = 0)
При визначення оригіналу струму , його складові, що визначаються коренями рівняння описують вимушений (усталений) режим роботи ланцюга, а складові, що визначаються коренями рівняння , описують вільний струм в ланцюзі. Приклад. Для електричного кола, схема якого наведена на рис. 3.7. .
. Корені . Отже корінь характеризує вимушений режим, а - вільний режим. Цю властивість можна використовувати для окремого визначення вимушеного і вільного режимів в електричному колі. 1. Якщо в ланцюзі відсутні зовнішні джерела енергії (пасивний ланцюг), то . У такому ланцюзі може протікати тільки затухаючий у часівільний процес, який визначається початковими запасами енергії в реактивних елементах. З урахуванням цього усі корені рівняння повинні мати негативну дійсну частину . (3.26) 2. Усі комплексні корені характеристичного рівняння мають бути попарно спряженими, оскільки рішення рівняння визначає дійсні функції часу (струм або напругу), які не можуть бути комплексними величинами. 3. Якщо є чисто уявні корені, то вони мають бути тільки простими рk1 = - jw; рk2 = + jw. Якби уявні корені мали кратність q > 1, то оригінал струму мав би такий вигляд , (3.27) тобто, при q > 1 мали б місце коливання, амплітуда яких з часом зростала б до нескінченності. Це не відповідає фізичному смислу явищ, що розглядаються, оскільки реальні джерела енергії мають обмежену потужність, а отже і амплітуду. Таким чином, аналізуючи корені характеристичного рівняння, одержуємо додаткову інформацію про характер та особливості перехідного процесу. Корені характеристичного рівняння зручно та наочно зображати графічно на комплексній площині s, jw (рис.3.8). Якщо: р1 = 0:в ланцюзі діє джерело сталої напруги або струму; р21 = jw; р22 = - jw:в ланцюзі діє джерело гармонічної напруги або струму; р31 = - s + jw; р32 = - s - jw:в ланцюзі відбувається вільний процес, що має коливальний характер. р4 = - s:в ланцюзі відбувається вільний процес, що має аперіодичний характер. Очевидно, що для пасивних ланцюгів корені характеристичного рівняння завжди розташовані в лівій півплощині (s < 0). Для активних ланцюгів, корені, що описують
. Таким чином, напруга на конденсаторі в перехідному режимі буде змінюватися за таким законом . (2.43) Якщо полярність початкової напруги на ємності U0 негативна (вказана в дужках) і дорівнює , то в момент підключення напруги в ланцюзі буде відсутній перехідний процес і одразу наступає усталений режим. Якщо початкові умови були нульовими (U0 = 0) напруга на конденсаторі в перехідному режимі описується виразом . (2.44) При початкове значення вільної складової буде максимальним. Для цього випадку побудований графік зміни перехідної напруги на конденсаторі та її складових (рис.2.22). Рис.2.22
Як випливає з графіка, напруга на конденсаторі у початковій стадії перехідного процесу може майже у 2 рази перевищувати амплітудне значення напруги в усталеному режимі . Якщо у момент підключення , то перехідний процес буде відсутній і в ланцюзі зразу буде усталений режим. Струм в колі знайдемо, як ;
(2.45) де . Перший доданок є вимушеною складовою, а другий – вільною. Множник говорить про те, що вільна складова струму у початковий момент може досягти значної величини, особливо при низькій частоті w і малих значеннях опору R. Приклад:
Якщо , то у момент підключення (t = 0) виникає вільна складова, початкове значення якої у 3200 разів перевищує амплітуду усталеного струму. Таким чином, для електричних ланцюгів 1-го порядку розрахунок перехідних процесів класичним методом є досить простим. Якщо ж електричний ланцюг містить n реактивних елементів, застосування класичного метода пов’язано з трудомісткими обчислювальними операціями по визначенню n сталих інтегрування з урахуванням n початкових умов та їх похідних. Тому класичний метод має обмежене застосування і, в основному, використовується для аналізу електричних ланцюгів, процеси в яких описуються диференційним рівнянням першого або другого порядку. Для технічних розрахунків більш зручним є операторний метод розрахунку перехідних процесів.
(3.20) Поліном може мати корінь р1 = 0 у тому випадку, коли електричний ланцюг містить джерело сталої напруги або струму. При цьому виділений сталий член описує усталений процес в ланцюзі. 1. Якщо поліном має пару спряжених чисто уявних коренів р1 = jw; р2 = - jw, оригінал буде мати такий вигляд (3.22) З урахуванням формул Ейлера можемо сказати, що перші два члени описують усталений процес в ланцюзі, що змінюється за гармонічним законом з частотою w. Отже поліном може мати пару чисто уявних коренів у тому випадку, коли в ланцюзі діє джерело енергії, струм або напруга якого змінюється за гармонічним законом. 2. Якщо поліном має пару комплексно-спряжених коренів р1 = -s + jw; р2 = -s - jw, то (3.23) Парі комплексно-спряжених коренів полінома відповідає перехідний процес, який являє собою затухаючі гармонічні коливання з частотою w та коефіцієнтом затухання s. 3. Якщо поліном має кратні корені, розкладання на прості складові буде мати дещо інший вигляд і теорему розкладання безпосередньо використовувати не можна. Нехай корінь р1 має кратність q. У цьому випадку рішення буде мати такий вигляд (3.23) У таких випадках, особливо коли кратність q досить висока, визначення коефіцієнтів викликає певні труднощі. Тому дуже часто на практиці, для спрощення розрахунків, кратні корені заміняють різними, близькими за занченням коренями. При цьому можна користуватися розглянутою методикою, а похибка буде незначною.
ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|