Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Кафедра промислової електроніки





Кафедра промислової електроніки

 

 

К О Н С П Е К Т Л Е К Ц І Й

з дисципліни

«Теорія електричних кіл»

Частина ІІІ – Перехідні процеси.

 

Київ 2011 р

Ромашко В.Я. Конспект лекцій з дисципліни „Теорія електричних кіл”, частина ІІІ – Перехідні процеси. Для Студентів спеціальності 7.090803 – Електронні системи, для усіх форм навчання. – К.: НТУУ-КПІ, 2004, 52 с.

 

Я ПОЧУВ – І ЗАБУВ

Я ЗАПИСАВ – І ЗАПАМ’ЯТАВ

Я ЗРОБИВ – І НАВЧИВСЯ

 

 

Лекції для всіх, конспект для кожного.

© Ромашко В.Я.

Конспект лекцій. 2004

Лекція 13 53

використовувати усі методи розрахунку, які розроблені для електричних ланцюгів сталого струму. При збільшенні порядку диференційного рівняння електричного ланцюга, трудомісткість розрахунків зростає, але не так швидко, як у класичному методі.

Недоліки. Необхідність переходу від оригіналів до зображень і навпаки. Оскільки розрахунок ведеться в області зображень, поки не здійснено перехід від зображень до оригіналів, фізичний смисл протікаючих процесів оцінити важко.

3. Метод змінних стану. Переважно використовується для розрахунку перехідних процесів чисельними методами з використанням комп’ютерів.

 

При розгляді перехідних процесів ми вважали, що перехідний процес виникає або при нульових початкових умовах, або після закінчення попереднього перехідного процесу, коли в електричному ланцюзі має місце усталений режим.

В той же час, в реальних електричних та електронних пристроях, дуже часто мають місце режими, при яких чергова комутація відбувається у момент часу, коли перехідний процес, що виникає в результаті попередньої комутації, ще не закінчився. При цьому, після чергової комутації, починається новий перехідний процес. Якщо в електричному ланцюзі відбувається багатократна комутація ключових елементів, причому тривалість інтервалів між комутаціями менша від тривалості виникаючих перехідних процесів, буде мати місце послідовність незавершених перехідних процесів, яка називається багатоступінчатим перехідним процесом. Такі процеси будуть розглянуті у наступній частині нашого курсу.

 

52 РОЗДІЛ ІV. Особливі випадки розрахунку перехідних процесів

 

(4.30)

Приводячи систему (4.30) до нормальної форми одержуємо

(4.31)

або в матричній формі

. (4.32)

В результаті розв’язання системи диференційних рівнянь (4.32) визначаємо змінні стану iL та uC. Якщо нас цікавить, наприклад, струм навантаження iR2 та струм ємності іC, виразимо їх через змінні стану

,

або у матричній формі

. (4.33)

Таким чином, матричні рівняння (4.32) та (4.33) є рівняннями стану електричного ланцюга, схема якого наведена на рис. 4.15. Аналогічно (4.33) можна одержати систему для розрахунку інших струмів та напруг електричного ланцюга.

 

 

Порівняльна характеристика методів розрахунку перехідних процесів в лінійних електричних ланцюгах

1. Класичний метод. Має порівняно невелику трудомісткість при розрахунку перехідних процесів в електричних ланцюгах 1-го та 2-го порядку. При складанні та розв’язанні рівнянь відображається фізичний смисл протікаючих процесів. Весь розрахунок ведеться у часовій області.

Недоліки. При зростанні порядку диференційного рівняння швидко зростає трудомісткість розрахунків, що пов’язано з необхідністю визначення сталих інтегрування з урахуванням початкових умов перехідного процесу.

2. Операторний метод. Розрахунок перехідного процесу зводиться до розв’язання алгебраїчних, а не диференційних рівнянь. Відпадає процедура визначення сталих інтегрування, оскільки початкові умови враховуються безпосередньо в операторних рівняннях електричного ланцюга. При використанні операторних схем заміщення можна

 

Передмова

 

У попередніх частинах курсу розглядалися електричні кола, в яких діють джерела постійного, синусоїдального, або періодичного несинусоїдального струму або напруги. В той же час процеси, що відбуваються в електричному колі при підключенні або відключенні цих джерел енергії, залишались поза нашою увагою.

У цій частині курсу розглядаються перехідні процеси в електричних ланцюгах. Перехідним процесом називають процес переходу електричного ланцюга від одного робочого режиму до іншого, який чимось відрізняється від попереднього. Найчастіше перехідні процеси виникають внаслідок різноманітних комутацій, що відбуваються в електричному колі. Дуже часто тривалість перехідного процесу, що виникає після комутації, є значно меншою у порівнянні з часом, на протязі якого електричний ланцюг перебуває у незмінному стані. Тим не менш аналіз перехідних процесів є дуже важливим, оскільки під час перехідного процесу напруга на окремих елементах, а також струм в окремих гілках може значно перевищувати ці ж величини в робочому усталеному режимі. Таку можливість обов’язково треба враховувати при проектуванні відповідних електротехнічних та електронних пристроїв. В той же час існує велика група електротехнічних та електронних пристроїв (пристрої автоматики, імпульсної та цифрової техніки, силові електронні пристрої), для яких перехідні процеси є нормальним робочим режимом. Відомо, що при проходженні електричних сигналів через радіоелектронні пристрої змінюється форма та амплітуда цих сигналів. Це також в значній мірі пов’язано з перехідними процесами, що виникають в таких пристроях. Тому дослідження перехідних процесів є однією з важливих задач, які вирішуються при проектуванні подібних пристроїв.

Слід зауважити, що перехідні процеси не є чимось особливим і характерним тільки для електричних ланцюгів. Можна навести багато прикладів з різних галузей фізики, де мають місце подібні процеси. Наприклад, якщо налити в склянку гарячу воду, її температура буде поступово змінюватись від свого початкового значення до усталеного, яке дорівнює температурі навколишнього середовища. При спуску санок з гори їх швидкість зростає поступово. Після закінчення спуску санки зупиняються не одразу, поступово зменшуючи свою швидкість. Якщо маятник вивести зі стану рівноваги, він здійснюватиме затухаючі коливання, поки не повернеться у попередній нерухомий стан. Спільною рисою усіх цих явищ є те, що в фізичній системі відбувається зміна запасів енергії. Оскільки запаси енергії не можуть змінюватись стрибкоподібно, ця зміна відбувається поступово, під час перехідного процесу. В усіх перерахованих прикладах аналіз перехідного процесу зводиться до розв’язання диференційних рівнянь. Ці диференційні рівняння, а також методи їх розв’язання є подібними для різних типів фізичних систем. У цьому також полягає важливість вивчення перехідних процесів в електричних ланцюгах.

У цьому навчальному посібнику представлено конспект лекцій з теорії перехідних процесів в лінійних електричних ланцюгах, які читаються студентам спеціальності 7.090803 – ЕЛЕКТРОННІ СИСТЕМИ. Розглянуто причини виникнення та характер протікання перехідних процесів. Значну увагу приділено поясненню фізичної суті виникаючих явищ. Розглянуто і проілюстровано багатьма прикладами особливості розрахунку перехідних процесів класичним та операторним методами. Також розглянуто деякі особливі випадки перехідних процесів та методи їх розрахунку. На закінчення зауважимо, що розділ „Перехідні процеси” можна добре засвоїти лише в процесі аналізу та розрахунку конкретних схем. Тому значна увага при вивченні цього розділу приділяється виконанню розрахунково – графічної роботи та контрольних завдань. Для більш глибокого розуміння розглянутих питань можна скористатися літературою, список якої наведений нижче.

 

 

 

Література

 

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи. – М.: Высшая школа, 1984.

2. Попов В.П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 1985.

3. Гинзбург С.Г. Методы решения задач по переходным процессам в электрических цепях. – М.: Высшая школа, 1967.

4. Кублановский Я.С. Переходные процессы. – М.: Энергия, 1974.

5. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники //Под ред.. П.А. Ионкина. – М.: Энергоатомиздат, 1982.

 

Лекція 13 51

ємностях визначають енергетичний стан електричного ланцюга, ці величини називають змінними стану.

У загальному випадку система диференційних рівнянь першого порядку відносно змінних стану, приведена до нормальної форми, має такий вигляд

 

, (4.28)

де - вектор-стовбець змінних стану;

- вектор-стовбець, що містить р елементів, де р - кількість зовнішніх джерел енергії, що діють в електричному ланцюзі;

- матриці коефіцієнтів, що враховують вклад внутрішніх та зовнішніх джерел енергії в баланс струмів та напруг.

Після рішення системи (4.28) і визначення вектора змінних стану , струми та напруги інших елементів (вектор вихідних величин ) можна визначити використовуючи розраховані змінні стану

. (4.29)

Фізичний смисл матриць та той самий, що і матриць та . Сукупність рівнянь (4.28) та (4.29) називають рівняннями стану системи.

Для рішення рівнянь стану існують аналітичні методи, які дають можливість одержати рішення у загальному вигляді. Однак у цьому випадку, як і в розглянутих вище методах, необхідно визначити корені характеристичного рівняння, що для електричних ланцюгів високого порядку (n ³ 3) є досить трудомісткою задачею. Тому при аналітичних розрахунках цей метод, у порівнянні з іншими, не має переваг. Переваги метода змінних стану найповніше розкриваються при чисельних розрахунках на комп’ютері. Для рівнянь стану системи розроблено велику кількість програм чисельного інтегрування. Ці програми відрізняються як складністю алгоритмів, що застосовуються, так і точністю результатів, що може бути досягнута. Тому розрахунок перехідних процесів методом змінних стану зводиться до використання стандартного математичного забезпечення комп’ютерів.

Таким чином, в усіх випадках, коли виникають труднощі при одержанні рішення диференційного рівняння в аналітичному вигляді, застосовують чисельні методи розв’язання диференційних рівнянь за допомогою комп’ютера.

Розглянемо приклад формування рівнянь стану електричного ланцюга.

Приклад. Сформуємо рівняння стану для електричного ланцюга, схема якого наведена на рис. 4.15. Очевидно, що змінними стану цього ланцюга є струм індуктивності iL та напруга на ємності uC. У загальному випадку для складання рівняння стану необхідно задати позитивні напрямки струмів та напруг і сформувати рівняння відповідно до законів Кірхгофа.

За ІІ – м законом Кірхгофа

.

Рис. 4.15. Відповідно до І-го закону Кірхгофа

.

 

Враховуючи, що , одержуємо що

50 РОЗДІЛ ІV. Особливі випадки розрахунку перехідних процесів

Аналогічно реакцію електричного кола на дію на його вході одиничної імпульсної напруги або струму d(t) називають імпульсною характеристикою g(t).

З урахуванням (4.24) можна сказати, що імпульсна характеристика RL кола

 

. (4.26)

Таким чином перехідна та імпульсна характеристики описують реакцію електричного кола на найпростіші вхідні дії: одиничну стрибкоподібну та одиничну імпульсну функції. Знаючи ці реакції, можна робити певні висновки про найважливіші властивості, характеристики та параметри електричного ланцюга в цілому. Тому визначення перехідних та імпульсних характеристик є важливим етапом при аналізі електричних ланцюгів.

Лекція 13.

 

Метод змінних стану

При дослідженні перехідних процесів аналітичними методами математичною моделлю електричного ланцюга найчастіше є диференційне рівняння n - го порядку

. (4.27)

При чисельних методах розрахунку з використанням комп’ютерів, більш зручною математичною моделлю є система диференційних рівнянь 1-го порядку відносно струмів індуктивностей та напруг на ємностях. Оскільки саме струми індуктивностей та напруги на

 

Лекція 1 3

РОЗДІЛ І. Загальні відомості про перехідні процеси

Лекція 1.

 

Методика розрахунку

 

Розрахунок перехідних процесів класичним методом складається з таких етапів.

1. Для схеми електричного ланцюга, що виник після комутації, на основі 1-го та 2-го законів Кірхгофа складаються алгебраїчні та диференційні рівняння, які описують миттєві значення струмів та напруг в елементах ланцюга. Найчастіше заданими величинами є зовнішні джерела енергії, а також схема та параметри елементів ланцюга; невідомими є струми у гілках ланцюга або напруги на його елементах.

2. Для того, щоб знайти струм у к –тій гілці, з одержаної системи рівнянь послідовно виключають усі струми, крім струму . В результаті одержуємо одне диференційне рівняння, яке містить тільки струм та його похідні до n –го порядку (2.1) , (2.1)

або .

Порядок диференційного рівняння визначається структурою ланцюга та характером його елементів. Вільний член містить у собі джерела енергії, що діють у ланцюзі. Коефіцієнти залежать від параметрів елементів ланцюга R, L та C.

3. Шукають розв’язання диференційного рівняння як суму двох складових

,

де - струм перехідного режиму;

- вимушений (усталений) струм;

- вільний струм.

4. Вимушену (усталену) складову знаходять будь-яким методом, що розглядався у курсі «Лінійні електричні ланцюги».

5. Для знаходження вільної складової треба знайти n коренів характеристичного рівняння

(2.2)

 

 

Лекція 12 47

Існує ще три форми інтегралу Дюамеля, які одержують з 1-ї форми шляхом чисто математичних перетворень.

2. ; (4.14)

3. ; (4.15)

4. . (4.16)

Форму інтеграла Дюамеля вибирають з урахуванням простоти та зручності проведення обчислень.

Наприклад, якщо в діючій напрузі u(0) = 0 – використовують 1-у або 2-у форму. Якщо шукають струм в індуктивності або напругу на ємності при нульових початкових умовах , у цьому випадку зручно використовувати 3-ю та 4-у форми інтеграла Дюамеля.

 

Рис. 2.19

 

Перехідний струм (рис. 2.19) побудовано як алгебраїчну суму вимушеної та вільної складових

Якщо у момент комутації t = 0 в індуктивності протікав початковий струм , то згідно (2.37) при підключення напруги перехідний процес буде відсутній і в електричному колі зразу буде мати місце усталений режим.

Якщо початкові умови були нульовими ( ), перехідний струм у ланцюзі описується рівнянням

(2.38)

Очевидно, що якщо підключення здійснювати у момент, коли виконується умова (тобто ), то перехідний процес також буде відсутнім, оскільки вільна складова дорівнює нулю. У той же час, коли виконується умова , початкове значення вільного струму буде максимальним і перехідний процес буде найбільш інтенсивним.

 

 

Рис. 2.20

 

20 РОЗДІЛ ІІ. Розрахунок перехідних процесів класичним методом

 

Саме для цього випадку побудовано графік перехідного процесу та двох його складових (рис. 2.20). Як випливає з графіка у момент t1 перехідний струм досягає свого максимального значення . Якщо вільний струм затухає повільно (t - велике) може досягти величини .

Таку можливість треба обов’язково враховувати при підключення RL ланцюга до джерела синусоїдальної напруги.

 

2. Підключення синусоїдальної EPC до ланцюга (рис. 2.21)

 

Нехай у момент часу t = 0 на ланцюг починає діяти напруга

 

. (2.39)

Диференційне рівняння ланцюга:

(2.40)

Вимушена напруга на конденсаторі, а також вимушений струм в електричному колі співпадають з усталеними значеннями. Використовуючи закон Ома для ланцюгів синусоїдального струму можна показати, що усталений струм в електричному колі

,

де - модуль повного опору електричного кола;

- фазовий зсув між струмом та прикладеною напругою.

Усталена напруга на конденсаторі відстає від струму на кут .

Отже,

.

Враховуючи, що , можемо записати

. (2.41)

Оскільки однорідне рівняння RC ланцюга не залежить від діючої напруги, аналогічно розглянутим вище прикладам можемо записати

, (2.42)

де .

Вважаючи у загальному випадку початкові умови ненульовими (нехай у момент t = 0 на конденсаторі була напруга U0) знайдемо сталу інтегрування

, звідки

 

Лекція 8 33

вимушений режим, розташовані на уявній осі. Якщо корені р51 та р52 розташовані в правій півплощині (s > 0), такий ланцюг називають нестійким. Напруга та струм у ньому повинні були б необмежено зростати. В лінійних ланцюгах це неможливо. В реальних ланцюгах зростання струмів та напруг буде обмежуватись за рахунок нелінійних характеристик елементів. При цьому корені характеристичного рівняння зміщуються на уявну вісь або у початок системи координат.

 

 

Лекція 9.

 

Теорема розкладання

Найчастіше зображення функції x(t) являє собою раціональний дріб

 

, (3.16)

де та є поліномами, найбільші ступені яких відповідно дорівнюють m та n, причому m < n (для реальних електричних ланцюгів ця умова завжди виконується). Будемо вважати, що дріб є не скорочуваним, і многочлен не має кратних коренів, а також коренів, які співпадають з коренями . У цьому разі такий дріб можна розкладати на суму найпростіших дробів

(3.17)

де р1, р2,..., рn – корені многочлена Н(р).

Для визначення коефіцієнтів Аk домножимо обидві частини рівності на (р - рk) і припустимо, що р = рk. У цьому випадку справа одержуємо Аk, а зліва – невизначеність виду , розкривши яку, одержимо

Отже

(3.18)

Оскільки , оригінал функції Х(р) можемо знайти з такого виразу

  (3.19)

 

Ця рівність є математичним записом теореми розкладання.

Теорему розкладання можна використовувати при будь-яких початкових умовах і вона широко застосовується на практиці.

 

Можливі види коренів полінома

1. Якщо один з коренів полінома , наприклад р1 = 0, експоненційний член і відповідний член розкладання буде являти собою сталу величину

 

Лекція 6 23

Розділ III. Розрахунок перехідних процесів операторним методом

Лекція 6.

 

Таблиця оригіналів та їх зображень

Таблиця 3.1

  Оригінал Зображення
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. t
12. d(t)  

 

Зауважимо, що з урахуванням того, що розмірність оператора р [сек-1], зображення тих функцій часу, що є безрозмірними, буде мати розмірність [сек].

 

 

26 РОЗДІЛ ІIІ. Розрахунок перехідних процесів операторним методом

Лекція 7.

 

Кафедра промислової електроніки

 

 

К О Н С П Е К Т Л Е К Ц І Й

з дисципліни

«Теорія електричних кіл»

Частина ІІІ – Перехідні процеси.

 

Київ 2011 р

Ромашко В.Я. Конспект лекцій з дисципліни „Теорія електричних кіл”, частина ІІІ – Перехідні процеси. Для Студентів спеціальності 7.090803 – Електронні системи, для усіх форм навчання. – К.: НТУУ-КПІ, 2004, 52 с.

 

Я ПОЧУВ – І ЗАБУВ

Я ЗАПИСАВ – І ЗАПАМ’ЯТАВ

Я ЗРОБИВ – І НАВЧИВСЯ

 

 

Лекції для всіх, конспект для кожного.

© Ромашко В.Я.

Конспект лекцій. 2004

Лекція 13 53

використовувати усі методи розрахунку, які розроблені для електричних ланцюгів сталого струму. При збільшенні порядку диференційного рівняння електричного ланцюга, трудомісткість розрахунків зростає, але не так швидко, як у класичному методі.

Недоліки. Необхідність переходу від оригіналів до зображень і навпаки. Оскільки розрахунок ведеться в області зображень, поки не здійснено перехід від зображень до оригіналів, фізичний смисл протікаючих процесів оцінити важко.

3. Метод змінних стану. Переважно використовується для розрахунку перехідних процесів чисельними методами з використанням комп’ютерів.

 

При розгляді перехідних процесів ми вважали, що перехідний процес виникає або при нульових початкових умовах, або після закінчення попереднього перехідного процесу, коли в електричному ланцюзі має місце усталений режим.

В той же час, в реальних електричних та електронних пристроях, дуже часто мають місце режими, при яких чергова комутація відбувається у момент часу, коли перехідний процес, що виникає в результаті попередньої комутації, ще не закінчився. При цьому, після чергової комутації, починається новий перехідний процес. Якщо в електричному ланцюзі відбувається багатократна комутація ключових елементів, причому тривалість інтервалів між комутаціями менша від тривалості виникаючих перехідних процесів, буде мати місце послідовність незавершених перехідних процесів, яка називається багатоступінчатим перехідним процесом. Такі процеси будуть розглянуті у наступній частині нашого курсу.

 

52 РОЗДІЛ ІV. Особливі випадки розрахунку перехідних процесів

 

(4.30)

Приводячи систему (4.30) до нормальної форми одержуємо

(4.31)

або в матричній формі

. (4.32)

В результаті розв’язання системи диференційних рівнянь (4.32) визначаємо змінні стану iL та uC. Якщо нас цікавить, наприклад, струм навантаження iR2 та струм ємності іC, виразимо їх через змінні стану

,

або у матричній формі

. (4.33)

Таким чином, матричні рівняння (4.32) та (4.33) є рівняннями стану електричного ланцюга, схема якого наведена на рис. 4.15. Аналогічно (4.33) можна одержати систему для розрахунку інших струмів та напруг електричного ланцюга.

 

 







ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.