Перехідні процеси при стрибкоподібній зміні параметрів елементів ланцюга

Перехідні процеси виникають не тільки при підключенні та відключенні джерела енергії, але також і при зміні параметрів елементів електричного ланцюга. При цьому можливі випадки, коли застосування законів комутації має свої особливості.

Нехай маємо електричний ланцюг (рис.4.1), у якому при замиканні ключа S відбувається стрибкоподібна зміна ємності від С₁ до С₁ + С₂ = С.

Нехай у момент комутації конденсатор С₁ був заряджений до напруги U₀ = E, а конденсатор С₂ - розряджений. Після замикання ключа S диференційне рівняння ланцюга матиме такий вигляд

, або

. (4.1)

Як відомо, це рівняння має таке рішення

, (4.2)

де .

При визначенні сталої інтегрування А тут не можна скористатись умовою незмінності напруги на конденсаторах С₁ та С ₂ у момент комутації, оскільки при , , а при .

Очевидно, що у момент комутації напруга на конденсаторі повинна змінитися стрибкоподібно.

Це можливо тільки при протіканні через конденсатори С₁ та С ₂ імпульсів струму нескінченно великої амплітуди та нескінченно малої тривалості.

При цьому повинен виконуватись закон комутації у своїй найбільш загальній формі: сумарний заряд конденсаторів у момент комутації залишається незмінним

або .

Отже,

(4.3)

Таким чином, початкові умови для перехідного процесу є такими: при Підставляємо їх у рівняння (4.2)

Отже, .

Визначимо напругу на елементах електричного кола після комутації.

(2.12)

(2.13)

(2.14)

Очевидно, що залежно від співвідношення буде змінюватися величина початкового скачка напруги на індуктивності та на резисторі у момент комутації:

(2.15)

(2.16)

. (2.17)

Напруга на індуктивності у будь-який момент часу дорівнює сумі напруг на резисторах r та R₁, але має протилежний знак (рис.2.7.)

Наприклад, якщо r = R₁, то напруга на резисторах буде однаковою, а початковий скачок напруги на індуктивності буде дорівнювати 2Е.

Рис. 2.7.

При зменшенні опору r, зменшується величина початкового скачка напруги на індуктивності, але при цьому зростає стала часу розряду.

У граничному випадку, коли r = 0 (при закорочуванні RL ланцюжка) розсіювання накопиченої енергії буде тривати найдовше (). При цьому стрибок напруги на індуктивності не перевищує напругу джерела живлення Е.

При збільшенні опору r зростає стрибок напруги на індуктивності L та опорі r, а тривалість розряду зменшується. У граничному випадку, якщо r ® ¥ (при розриванні електричного кола) стрибок напруги на індуктивності L теоретично буде зростати до нескінченності.

Але реально нескінченно велика напруга виникнути не може, оскільки при збільшенні напруги між контактами, що розмикаються, внаслідок іонізації повітряного проміжка, виникає іскра або дуга. За своєю фізичною суттю вона являє собою нелінійний опір, у якому і відбувається розсіювання енергії, що була накопичена в індуктивності.

У зв’язку з викладеним вище, при відключенні пристроїв, що містять індуктивність (наприклад обмоток збудження двигунів, обмоток реле та електромагнітів), ці елементи

доцільно попередньо замкнути на малий опір r. При цьому напруга на контактах ланцюга, що розмикається, буде мати величину (Е + i×r).

В реальних пристроях в якості такого опору часто використовують діод VD, який включають зустрічно-паралельно до індуктивного елемента. При цьому напруга на ключі S в момент розмикання (рис.2.8).

3. Підключення RС ланцюжка до джерела сталої напруги (рис.2.9)

Оскільки відповідно до законів комутації напруга на конденсаторі у момент комутації не може змінюватися стрибкоподібно, в електричних ланцюгах, що містять ємність, доцільно спочатку шукати напругу на конденсаторі.

Згідно 2-у закону Кірхгофа:

.

Оскільки;,

можемо записати, що

. (2.18)

Вимушена складова напруги на конденсаторі (усталена напруга)

.

Вільна складова

і є загальним рішенням однорідного диференційного рівняння ланцюга

.

Характеристичне рівняння , має один корінь.

Таким чином

, (2.19)

де - стала часу.

Знаходимо сталу інтегрування з урахуванням початкових умов.

При t = 0, , отже . Відповідно стала інтегрування .

Таким чином, перехідна напруга на конденсаторі змінюється за законом

Очевидно, що через кожен інтервал часу огинаюча амплітуд коливання зменшується у е разів. Аналогічно до RL та RС ланцюгів величину називають сталою часу коливального контура

(3.47)

Стала часу контура та його добротність пов’язані між собою

; (3.48)

де - добротність контура.

Оскільки експонента практично затухає за час» 3 t_k, визначимо кількість повних періодів коливань контура до їх затухання

(3.49)

Таким чином, кількість періодів вільних коливань чисельно дорівнює добротності коливального контура.

Якщо R = 0 (ідеальний контур), втрати енергії відсутні. При цьому початковий запас енергії контура залишається незмінним. У цьому разі у контурі будуть відбуватися незатухаючі коливання, при яких енергія почергово переходить з L у С і навпаки.

Таким чином, характер перехідного процесу у контурі суттєво залежить від його опору втрат R. При процеси мають аперіодичний характер. При в контурі виникають коливання, кількість яких зростає при зменшенні (рис.3.17).

Такий самий характер мають процеси в контурі при підключенні його до джерела сталої напруги Е (рис.3.18). Однак, при цьому в усталеному режимі, напруга на конденсаторі (рис.3.19).

Рис. 3.19.

Такі коливання називають вільними або власними затухаючими коливаннями контура, оскільки їх частота та амплітуда залежать тільки від параметрів самого контура R, L та С.

Коливання виникають внаслідок періодичного обміну енергією між електричним полем конденсатора та магнітним полем котушки. Коливання супроводжуються втратами енергії в активному опорі контура. Тому їх амплітуда поступово спадає. Швидкість затухання коливань залежить від коефіцієнта затухання і пропорційна активному опору контура. Електричне коло, що складається з елементів R,L та С, для якого виконується умова ^, називають коливальним контуром. Частота вільних коливань контура завжди менша від резонансної частоти контура і залежить від активного опору контура R. При R ­, ¯. При R ® 0, ® .

Коливальний контур з малими втратами (, )

Дуже часто коливальні контури мають незначний опір втрат, який значно менший від хвильового опору (R - одиниці Ом, - сотні Ом).

Вказана умова різнозначна такій . У цьому випадку можемо вважати, що ; .

При цьому аналітичні вирази для струму та напруги можна спростити

(3.45)

(3.46)

Графіки струму та напруги для цього випадку мають такий вигляд

Рис. 3.16

. (2.20)

Струм в електричному колі можна знайти як

, (2.21)

або. (2.22)

Напруга на резисторі

. (2.23)

Графіки струму та напруг наведено на рис. 2.10. З графіків випливає що, характер зміни та в RC колі аналогічний характеру зміни та в RL колі, що підтверджує дуальність індуктивності та ємності, як елементів ф рис. 2.10. електричного кола.електричного кола.

Якщо в електричному колі, що розглядається, у момент комутації конденсатор С уже мав якусь початкову напругу U₀ (ненульові початкові умови) (рис.2.11), вихідне диференційне рівняння ланцюга (2.18) не зміниться. Але в наслідок зміни початкових умов зміниться стала інтегрування в рішенні цього диференційного рівняння.

Таким чином, загальне рішення рівняння, що описує напругу на ємності не зміниться

.

Однак, враховуючи, що при t = 0,,. Звідки.

Отже напруга на конденсаторі

(2.24)

Останній вираз відповідає позитивній полярності напруги на конденсаторі (вказана без дужок). Якщо ж полярність напруги U₀ буде протилежною (вказана в дужках), її треба брати зі знаком мінус. У цьому випадку

. (2.25)

Таким чином, залежно від величини та полярності початкової напруги U₀ в електричному колі буде відбуватися:

при - дозаряджання конденсатора;

- розряджання конденсатора;

- перезаряджання конденсатора;

- перехідний процес буде відсутній.

Графіки розглянутих процесів наведено на рис. 2.12.

Рис. 2.12.

Лекція 4.

4. Закорочування RC ланцюжка із зарядженим конденсатором (рис.2.13)

Цей режим можна розглядати аналогічно попереднім. Однак більш доцільно розглядати його, як окремий випадок попереднього режиму.

Як показано вище, напруга на конденсаторі у попередньому прикладі змінювалася за законом

, (2.26)

де знак перед U₀ залежить від полярності початкової напруги на конденсаторі U_0. Якщо у попередній схемі вважати, що напруга Е зменшується, то при Е ® 0 з попередньої ми одержимо схему, яку розглядаємо. Оскільки фактично це та сама схема, процеси в ній також будуть описуватись виразом (2.26), в який тільки треба підставити Е = 0.

Отже (2.27)

Таким чином, у момент комутації, струм в електричному колі стрибкоподібно зростає до величини І₀ = U₀/R, а потім поступово спадає за експоненційним законом (рис.2.14).

Рис. 2.14

процесів у контурі: в інтервалі (0... t₁) швидкість зростання струму зменшується, а тривалість розряду конденсатора зростає).

При зменшенні L – навпаки. При L ® 0 характер процесів наближається до характеру процесів в RC ланцюзі.

1. Граничний випадок аперіодичного процесу (, ).

Для цього випадку корені характеристичного рівняння є кратними (однакові) і теорему розкладання використати не можна. Використовуючи інші підходи можна показати, що струм та напруги будуть визначатися наступними виразами:

(3.40)

(3.41)

(3.42)

Не зважаючи на зовсім інший вигляд аналітичних виразів, ніж у попередньому випадку, форма струмів та напруг буде аналогічна аперіодичному режиму, тобто і у цьому випадку має місце аперіодичний розряд конденсатора.

Таким чином, умова є граничною умовою існування у контурі аперіодичного процесу. Найменший опір втрат контура, при якому ще має місце аперіодичний процес, називають критичним опором контура .

2. Коливальний процес розряду конденсатора (, ).

Якщо активний опір контура менший від критичного ( ) характер процесів суттєво змінюється.

Корені характеристичного рівняння стають комплексними, причому завжди це буде пара комплексно-спряжених коренів.

За допомогою теореми розкладання і подальших перетворень можна показати, що струм у контурі буде змінюватись за таким законом

(3.43)

де - частота вільних коливань контура.

(3.44)

де - початкова фаза коливань.

Таким чином, струм контура та напруга конденсатора являють собою коливання з частотою , амплітуда яких з часом зменшується за експоненційним законом .

Лекція 10.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: