Классический метод анализа переходных процессов

Классический метод анализа переходных процессов в линейных схемах с сосредоточенными параметрами основан на решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ДУ).

Как известно из математики, общее решение линейного неоднородного ДУ с постоянными коэффициентами вида:

равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного ДУ [решению этого уравнения при = 0].

Любые соответствующие функции Х(t) ток или напряжение в схеме после коммутации могут быть представлены как сумма свободной или и принужденной или составляющих:

или

.

Общее решение характеризует свободные процессы в схеме, то есть процессы в отсутствие внешних источников энергии. Характер этих процессов не зависит от вида внешних воздействий, а определяется только параметрами пассивных элементов.

Частное решение определяет принужденный режим работы. То есть характеризует установившийся режим, зависящий от внешних источников энергии.

Функция или определяется порядком и коэффициентами однородного ДУ, точнее порядком и коэффициентами соответствующего ему характеристического уравнения. В простейших случаях порядок ДУ определяется количеством реактивных элементов, входящих в схему после коммутации.

Характеристическое уравнение – это функция параметра –оператора р, имеющая вид:

.

Она формируется из ДУ с нулевой правой частью путем замены функции Х(t) на 1, а функции на р^m, где .

При трех действительных неравных корнях р₁ ≠ p₂ ≠p₃ характеристического уравнения функция имеет вид:

,

где А₁, А₂, А₃ – постоянные интегрирования.

При двух комплексно – сопряженных корнях p₁ = − δ + jω₀ и p₂ = − δ − jω₀

характеристического уравнения функция имеет вид:

,

где δ – коэффициент затухания;

ω₀ и ν – соответственно угловая частота и начальная фаза свободных
колебаний;

А – постоянная интегрирования.

В случае, если А₁ ≠ А₂ =А₃ = 0, что имеет место в случае ДУ первого порядка, функция имеет вид:

.

Все изложенное справедливо в отношении функции при замене на нее функции .

Рассмотрим подробно переходные процессы в схемах первого порядка, то есть в схемах, описываемых ДУ первого порядка. Для решения этой задачи необходимо определить три составляющих: постоянную интегрирования А₁ из начальных условий, корень p₁ характеристического уравнения из его решения и принужденную составляющую или искомой функции, которая определяется расчетом принужденного режима при t → ∞, когда переходные процессы завершатся.

Начальные условия. Независимые начальные условия

Начальные условия – это все токи и напряжения, а также их производные в момент коммутации. Если принять за момент коммутации , то начальные условия следующие: и так далее. Начальные условия делятся на независимые и зависимые. начальные условия, которые подчиняются законам коммутации, − это независимые начальные условия (ННУ), то есть это только .

Поскольку не могут измениться скачком, их можно определить в схеме до коммутации, а затем перенести в схему после коммутации

для момента коммутации.

Алгоритм определения ННУ

1. Изображаем схему до коммутации.

2. Если в схеме до коммутации включен источник постоянного сигнала, то есть Е = соnst или I₀ = соnst, то необходимо перейти к эквивалентной схеме по постоянному току (рис. 5.6):

=

=

Рис. 5.6

3. В полученной схеме любым удобным методом определяем i_L(0) и u_С(0).

4. Если в схеме до коммутации включен источник гармонического сигнала, то необходимо перейти к комплексной схеме замещения:

.

В полученной комплексной схеме любым удобным методом определить

и перейти к гармонической функции:

.

5. Определить значение гармонической функции при t = 0, то есть .

Если в схеме до коммутации источник отключен, то любое ННУ нулевое, то есть ННУ всегда вещественное число, так как это значение тока или напряжения в момент времени, оно не может быть комплексным.

Пример 33. Определить ННУ в схеме (рис. 5.7):

Рис. 5.7

Рис. 5.8

Пример 34. Для схемы рис. 5.9 определить ННУ, если Е = соnst,
известны R₁, R₂. Нужно найти .

Рис. 5.9

Изображаем схему до коммутации (рис. 5.10).

Рис. 5.10

Так как источник Е = соnst, переходим к эквивалентной схеме по постоянному току (рис. 5.11).

Рис. 5.11

В схеме имеет место один ток I, который можно определить из уравнения по II закону Кирхгофа. Напряжение на емкости равно напряжению на сопротивлении R₂, так как они включены параллельно. Можно записать:

.

Итак, .

Пример 35.

Рис. 5.12

В качестве ННУ будем определять .

1. изображаем схему до коммутации (рис. 5.13).

Рис. 5.13

2. Поскольку в схеме включен источник гармонического сигнала, переходим к комплексной схеме замещения (рис. 5.14).

Рис. 5.14

3. Определяем комплексное амплитудное значение тока индуктивности из уравнения по II закону Кирхгофа:

;

= 10 · (100 + j100)⁻¹ = 10 · (141 )⁻¹ = 0,07 А.

4. Переходим от комплексного амплитудного значения тока индуктивности к гармонической функции :

= 0,07sin(100t − ) А.

5. Определяем значение тока индуктивности при t = 0:

= 0,07sin(100·0 − ) = − 0,05 А.

Итак, = − 0,05 А.

Зависимые начальные условия

К зависимым начальным условиям (ЗНУ) относятся все напряжения и токи, кроме и , в момент коммутации. Например, по условию задачи необходимо определить ток емкости. Искомым ЗНУ будет .

Иногда ЗНУ не нужны для решения задачи, если по условию задачи необходимо найти ННУ.

Алгоритм определения ЗНУ

1. Начинаем со схемы после коммутации.

2. Составляем систему уравнений по II закону Кирхгофа во временной области.

3. Полагаем t = 0 и подставляем в систему уравнений из п. 2.

4. В полученную по п. 3 систему подставляем ранее найденные ННУ.

5. Решаем полученную систему относительно искомого ЗНУ, предварительно выразив напряжения на активных сопротивлениях через токи .

Пример 36. Определить в следующей схеме (рис. 5.15):

Рис. 5.15

Схема после коммутации имеет вид (рис. 5.16):

Рис. 5.16

По II закону Кирхгофа для такой схемы справедливо уравнение:

Полагаем t = 0, , ННУ для этой задачи = 0, тогда , но

Итак,

Пример 37. Определить в следующей схеме (рис. 5.17).

Рис. 5.17

Схема после коммутации имеет вид (рис. 5.18):

Рис. 5.18

По I закону Кирхгофа можно составить одно уравнение:

.

По II закону Кирхгофа можно составить два уравнения, так как в схеме две главные ветви:

Полагая t = 0, получим:

где е(0) = 10sin(100t + ) = 5 В.

ННУ , так как до коммутации источник был отключен. Выражения и подставляем в систему уравнений по II закону Кирхгофа:

Таким образом систему из трех уравнений решаем относительно трех неизвестных.

Из первого уравнения имеем .

Вычитаем третье уравнение из второго:

Учитывая, что и R₁ = R₂, получим:

или .

Итак, .

В более сложных схемах система уравнений по законам Кирхгофа может оказаться более высокого порядка. В этих случаях её решение занимает много времени. Есть другой путь её решения.

Рассмотрим схему в момент коммутации сразу после коммутации. Индуктивность в этой схеме заменена источником тока, величина которого равна току индуктивности в момент коммутации, то есть ННУ i_L(0) (рис. 5.19).

=

Рис. 5.19

Емкость в схеме после коммутации заменена источником напряжения (э.д.с.), величина которого равна напряжению на емкости в момент коммутации, то есть ННУ u_С(0) (рис. 5.20).

Рис. 5.20

Очевидно, что при нулевых ННУ, то есть при или , источники исключаются из схемы: означает, что ток источника тока равен нулю, источник заменяется обрывом (рис. 5.21); означает, что напряжение источника равно нулю, источник заменяется коротко замкнутым соединением (рис. 5.22)

= =

Рис. 5.21

= =

Рис. 5.22

Полученную схему можно решать любым методом: МКТ, МУП, по формулам разброса.

Пример 38. Рассмотрим еще раз схему примера 37. Поскольку ННУ ,
то в момент коммутации в месте включения индуктивности будет
обрыв (рис. 5.23). Необходимо определить напряжение на полюсах
обрыва:

Рис. 5.23

По II закону Кирхгофа для контура:

,

Поскольку , то

5·(100+100)⁻¹ = 0,025 А,

0,025·100 = 2,5 В.

Пример 39. Определить в следующей схеме (рис. 5.24):

Рис. 5.24

ННУ .

Схема после коммутации имеет вид (рис. 5.25):

		R2
				R2

Рис. 5.25

= –5 · 100⁻¹ = –0,05 А.

Итак, i_С(0) = – 0,05 А.

Пример 40. Определить i₁(0) после коммутации в следующей схеме (рис. 5.26):

Рис. 5.26

Начинаем со схемы до коммутации, чтобы определить ННУ (рис. 5.27,а).

Поскольку в схеме до коммутации включен источник постоянной э.д.с., переходим к эквивалентной схеме по постоянному току (рис. 5.27,б):

а) б)

Рис. 5.27

10·100⁻¹ = 0,1 А.

Сопротивление R₂ закорочено индуктивностью.

Для определения ЗНУ i₁(0) переходим к схеме после коммутации (рис.5.28,а). Включаем источник тока I₀ = i_L(0) = 0,1 А (рис. 5.28,б).

а) б)

Рис. 5.28

Из схемы после коммутации для t = 0 видно, что ток i₁(0) равен току источника I₀, следовательно:

i₁(0) = i_L(0) = 0,1 А.

5.5. Составление характеристического уравнения
и определение его корней

Для определения свободной составляющей искомого тока или напряжения необходимо составить соответствующее характеристическое уравнение. Есть несколько способов решения этой задачи. Рассмотрим два из них.

Алгоритм первого способа

1. Воспроизводим схему после коммутации.

2. Исключаем источники энергии, заменяя их внутренними сопротивлениями (рис. 5.29):

= =

Рис. 5.29

3. Определяем комплексные сопротивления реактивных элементов

Х_С = (jωС)⁻¹ и Х_L = jωL. Затем заменяем в них параметр jω на оператор ρ, в результате чего получаем операторные сопротивления (Сρ)⁻¹ и Lρ.

4. Разрываем ветвь с реактивным элементом (Сρ)⁻¹ или Lρ и определяем входное операторное сопротивление Z_вх(ρ) относительно полюсов разрыва.

5. Приравниваем Z_вх(ρ) к нулю, получаем характеристическое уравнение, решение которого является его корнем (корнями).

В схемах первого порядка корень всегда один, а в схемах второго порядка их два.

Пример 41. Определить корень характеристического уравнения в следующей
схеме (рис. 5.30):

		С = 100 мкФ, R1 = R2 = 100 Ом.

Рис. 5.30

Воспроизводим схему после коммутации (рис. 5.31,а). Исключаем источник э.д.с., заменив его внутренним сопротивлением R_ВН = 0 (рис. 5.31,б). заменяем емкость С ее операторным сопротивлением (Сρ)⁻¹ и разрываем ветвь, в которую она включена (рис. 5.31,в, 5.31,г).

а) б) в) г)

Рис. 5.31

Сворачиваем схему относительно полюсов разрыва. Сопротивления R₁ и R₂ включены параллельно, поэтому их можно заменить эквивалентным сопротивлением R_ЭКВ, определяемым равенством:

R_ЭКВ = R₁ · R₂ · (R₁ + R₂)⁻¹.

Теперь емкость и эквивалентное сопротивление R_ЭКВ включены последовательно, поэтому операторное входное сопротивление Z_вх(ρ) относительно полюсов разрыва определится:

Z_вх(ρ) = (Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ.

Приравнивая его к нулю, получаем характеристическое уравнение:

(Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ = 0.

Корень ρ₁ характеристического уравнения определится:

ρ₁ = − (С·R_ЭКВ)⁻¹ = − [100·10⁻⁶·100·100·(100+100)⁻¹]⁻¹ = −200 c⁻¹.

В тех случаях, когда схема после коммутации сложная, простыми преобразованиями получить значение Z_вх(ρ) крайне затруднительно.

В этих случаях алгоритм определения корней характеристического уравнения сводится к следующему.

Также, как и ранее, составляем схему после коммутации, исключаем источник энергии, заменяя его внутренним сопротивлением. Далее возможны два пути. Если в сложной семе преобразовать соединение "звезда – треугольник" или "треугольник – звезда" так, чтобы сложную схему преобразовать в простую, то остается в силе первый алгоритм. Сворачиваем все активные сопротивления в эквивалентные, составляем характеристическое уравнение вида:

(Сρ)⁻¹ + R_ЭКВ = 0, если в схеме емкость,

Lρ + R_ЭКВ = 0, если в схеме индуктивность.

Его решение дает корень вида:

Второй путь – любым методом составить систему уравнений в операторной форме, причем чем меньше уравнений, тем легче будет с ней далее работать. Далее необходимо составить определитель системы и приравнять его к нулю: Δ(ρ) = 0. Полученное уравнение будет характеристическим, а его решение и будет его корнем (корнями).

Пример 42. Определить корень характеристического уравнения в следующей
схеме (рис. 5.32):

Рис. 5.32

Рис. 5.33

Рис. 5.34

В эквивалентной схеме соединение элементов простое, то есть параллельно – последовательное. Сопротивления R₄ и R₅₆ включены параллельно - общие узлы "1" и "4":

.

Сопротивления R₁ и R₃₆ также включены параллельно - общие узлы "1" и "2":

.

Теперь эквивалентная схема принимает вид (рис. 5.35):

:

Рис. 5.35

Сопротивления заменяем эквивалентным сопротивлением:

.

В итоге получаем эквивалентную схему (рис. 5.36)

Рис. 5.36

Приравняв его к нулю, получим характеристическое уравнение:

Lρ + R₂ + = 0.

Его корень ρ₁ определится:

ρ₁ = −R_ЭКВ·L⁻¹,

где R_ЭКВ = + R₂.

Для решения задачи вторым способом в качестве исходной берем схему до преобразования активных сопротивлений. Для этой схемы составим в операторной форме систему уравнений по МКТ.

Рис. 5.37

Контуры желательно выбрать таким образом, чтобы реактивный элемент (в данном случае элемент Lρ) входил только в собственное сопротивление контура и не входил в общее (рис. 5.38). Тогда выкладки будут проще.

Рис. 5.38

.

Раскрыв определитель , получим характеристическое уравнение в виде:

Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение приводится к виду:

,

совпадающему по структуре с корнем характеристического уравнения в первом варианте.

Принужденная составляющая

Принужденная составляющая i_ПР(t) или u_ПР(t) исследуемого тока или напряжения определяется из расчета схемы после коммутации в установившемся режиме при t → ∞, когда переходные процессы завершились.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: