Занятие 3. Динамика материальной точки

1. Уравнение движения материальной точки в дифференциальной форме.

2. Силы в механике. Принцип суперпозиции сил.

3. Сила, действующая на заряд в электрическом и магнитном полях.

4. Динамика материальной точки, движущейся по окружности.

Уравнение движения материальной точки в дифференциальной форме (второй закон Ньютона)

где

– импульс материальной точки массой m, движущейся со скоростью

(u<<c), где с – скорость света в вакууме;

– геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку; n – число сил, действующих на точку.

где под знаком суммы стоят проекции сил F_i на соответствующие оси координат.

а) сила гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами m и M, расположенных на расстоянии r друг от друга

где

– сила, действующая на материальную точку массой m со стороны точки массой M;

– радиус-вектор, направленный от материальной точки массой M к точке массой m; G=6,67×10^-11 Н×м²/кг² – гравитационная постоянная.

Напряженность гравитационного поля g, создаваемого массой M, определяется соотношением

где М – масса источника гравитационного поля;

– радиус-вектор точки, в которой определяется напряженность поля. У поверхности Земли g=9,8 м/с². (Совпадает по величине с ускорением силы тяжести);

где k – коэффициент упругости тела; х – смещение при деформации (растяжение x>0, сжатие x<0); F_х – проекция силы упругости;

где m – коэффициент трения; N – нормальная реакция опоры;

г) сила вязкого трения для малых скоростей движения

д) сила вязкого трения для больших скоростей движения

Силы, действующие на заряд в электрическом и магнитном полях

- сила, действующая на заряженную частицу в электрическом поле

где q – заряд частицы,

– напряженность электрического поля;

- магнитная составляющая силы Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле

где q – заряд частицы;

– скорость частицы;

– индукция магнитного поля; a – угол между векторами

Если к телу (материальной точке) приложено несколько сил, то результирующая сила, действующая на тело, находится их геометрическим сложением

Динамика материальной точки, движущейся по окружности

Уравнение динамики материальной точки, движущейся по окружности, в проекциях

где индексом t помечена проекция силы и ускорения на касательную, проведенную к траектории движения точки (см. рис. 1.1), а индексом n – проекция силы и ускорения на нормаль, восстановленную в этой же точке; m – масса тела; a_t –тангенциальное ускорение; a_n – нормальное ускорение; u – модуль линейной скорости; R – радиус окружности; w – угловая скорость движения точки.

Если на механическую систему не действуют внешние силы, либо их действие скомпенсировано, суммарный импульс системы при взаимодействиях остается неизменным

где n – количество частиц системы. При взаимодействии двух тел (n=2) для абсолютно упругого удара закон принимает вид

где m₁, m₂ – массы частиц;

– их скорости до взаимодействия;

– их скорости после взаимодействия.

(если в задаче не приводится другое значение).

1. В чём заключается основная задача ньютоновской динамики?

2. Как в динамике определяются сила

и масса m? Каковы характерные свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

3. Как строятся системы единиц в механике? Какова роль формул размерностей?

4. Что называется импульсом

материальной точки?

5. Сформулируйте законы Ньютона. Какие утверждения содержат эти законы? Какова их взаимосвязь? Дайте определение понятий "инерция'' и "инертность".

6. Какие системы отсчета называются инерциальными и неинерциальными? Являются ли инерциальными системы отсчета: а) связанная с Солнцем и звездами (гелиоцентрическая); б) жестко связанная с Землей (лабораторная)?

7. Получите из общей формулировки второго закона Ньютона

основное уравнение динамики материальной точки

8. Спроецировав уравнение динамики на оси х, у и z декартовой системы координат, получите три эквивалентных ему дифференциальных уравнения.

9. Каково содержание закона независимости действия сил? Сформулируйте принцип суперпозиции сил.

10. Введите понятие импульса силы. Объясните, почему пуля, вылетев из ружья, пробивает отверстие в стекле, не разбивая его, а надавливанием стержня на стекло этого сделать нельзя.

11. Назовите четыре типа фундаментальных взаимодействий. Какие силы рассматриваются в рамках ньютоновской механики?

12. Каковы границы применимости законов ньютоновской механики?

1.(2.16) Молекула массой m=4,65×10^-26 кг, летящая со скоростью u=600 м/c, ударяется о стенку сосуда под углом a=60⁰ к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы

, полученный стенкой за время удара.

2.(2.17) Шарик массой m=0,1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о закрепленную наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту a=30⁰. За время удара шарик получает приращение импульса, модуль которого

=1,73 кг×м/c. Какое время t пройдет от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории?

3.(2.34) Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы a=30⁰и b=45⁰ (рис. 1.2). Гири 1 и 2 одинаковой массы m₁=m₂=1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь.

4.(2.35) Решить предыдущую задачу при условии, что коэффициенты трения гирь 1 и 2 о наклонные плоскости k₁=k₂=0,1. Показать, что из формул, дающих решение этой задачи, можно получить, как частный случай, решение задачи 2.34.

5.(2.61) На рельсах стоит платформа массой m₁=10 т. На платформе закреплено орудие массой m₂=5 т, из которого производится выстрел вдоль рельсов. Масса снаряда m₃=100 кг; его начальная скорость относительно орудия u₀=500 м/с. Найти скорость u платформы в первый момент после выстрела, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью u=18 км/ч и выстрел был произведен в направлении ее движения; в) платформа двигалась со скоростью u=18 км/ч и выстрел был произведен в направлении, противоположном направлению ее движения.

6.(2.65) Граната, летящая со скоростью u=10 м/с, разорвалась на два осколка. Больший осколок, масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в прежнем направлении, но с увеличенной скоростью u₁=25 м/с. Найти скорость u₂ меньшего осколка.

7.(2.99) Камень, привязанный к веревке, равномерно вращается в вертикальной плоскости. Найти массу m камня, если известно, что разность между максимальной и минимальной силами натяжения веревки DT=10 Н.

8.(2.100) Гирька, привязанная к нерастяжимой нити длиной l =30 см, описывает в горизонтальной плоскости окружность радиусом R=15 см. С какой частотой n вращается гирька?

9.(2.103) Самолет, летящий со скоростью u=900 км/ч, делает “мертвую петлю”. Каким должен быть ее радиус R, чтобы сила реакции опоры была равна: а) пятикратной силе тяжести, действующей на летчика; б) десятикратной силе тяжести, действующей на летчика?

10.(2.147) Искусственный спутник Земли движется по круговой орбите в плоскости экватора с запада на восток. На какой высоте h от поверхности Земли должен находиться этот спутник, чтобы он был неподвижен по отношению к наблюдателю, находящемуся на поверхности Земли у экватора?

1.(1.12) Определить модуль приращения импульса Dp шарика массой m=200 г, если он двигается со скоростью u=4 м/с под углом a=30⁰ к плоскости стенки, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нее.

2.(1.13) На полу покоится тележка в виде длинной доски с легкими колесами. На одном ее конце стоит человек массой M=70 кг. С какой скоростью u будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль нее со скоростью u=1 м/с (относительно доски). Масса тележки m=25 кг, массой колес пренебречь, трение не учитывать.

3.(1.15) На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием M=25 т. Орудие стреляет вверх под углом a=30⁰ к горизонту в направлении пути. С какой скоростью u₁ покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда m=20 кг и вылетает он со скоростью u₀=600 м/с. Платформа перед выстрелом покоилась.

4.(1.35) Определить жесткость системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жесткость пружин k₁=3 кН/м и k₂=4 кН/м.

5.(1.61) Спутник движется по круговой орбите вокруг Земли на расстоянии h=3400 км от поверхности Земли. Определить скорость спутника u, нормальное ускорение a_n и период его вращения T вокруг Земли.

6.(1.65) Определить, на каком расстоянии l от центра Земли находится точка, в которой напряженность g результирующего гравитационного поля Земли и Луны равна нулю. Масса Земли в 81 раз больше массы Луны. Среднее расстояние от Земли до Луны r=38,4×10⁴км.

7.(1.72) Электрон влетает в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью u₀=10⁷ м/с, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к положительно заряженной пластине за время движения внутри конденсатора, если расстояние между пластинами d=16 мм, их длина l =60 мм, а разность потенциалов на конденсаторе U=30 В?

8.(1.74) Электрон влетает в плоский конденсатор со скоростью u₀=10⁷м/с, направленной параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составляло угол a=35⁰ с первоначальным направлением. Определить разность потенциалов между пластинами, если длина пластин l =10 см, а расстояние между ними d=2 см.

9.(1.75) Определить величину отклонения луча y на экране осциллографа, если напряжение на отклоняющих пластинах U=150 В, их длина l ₁=4 см, а расстояние между пластинами d=1 см. Расстояние от экрана до ближайшего края отклоняющих пластин l ₂=15 см. Электроны ускоряются напряжением U₀=10³ В.

10.(1.79) Электрон влетает в однородное магнитное поле с индукцией B=8p×10^-3 Тл со скоростью u=5×10⁶ м/с, направленной под углом a=30⁰ к направлению поля. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле.

1. Скорость частицы массой m, движущейся в плоскости xy, изменяется по закону

где A и B – постоянные. Найти зависимость модуля результирующей силы, действующей на частицу, от времени.

2. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения (рис. 1.3). Масса первого бруска m₁ равна 2 кг, масса второго m₂ равна 3 кг. Один из брусков толкают с силой F₀=10 Н.

а) найти силу F, с которой бруски давят друг на друга в случае, если сила F₀ приложена: к бруску 1, к бруску 2;

б) что примечательного в полученных результатах?

б) сумма результатов в случаях а и б равна F₀.

3. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной плоскости (см. рис.1.4). Масса первого бруска m₁=2 кг, масса второго m₂=3 кг. Коэффициент трения между бруском и плоскостью m₁=0,1 для первого бруска и m₂=0,2 для второго. Угол наклона плоскости a=45⁰.

а) Определить: ускорение а, с которым движутся бруски, силу F, с которой бруски давят друг на друга; б) Что происходило бы в случае m₁>m₂?

Ответ: а) а=5,8 м/с², F=0,83 Н; б) второй брусок скользил бы с большим ускорением, чем первый. В результате зазор между брусками увеличивается со временем.

4. Шарик массы m помещен в высокий сосуд с некоторой жидкостью и отпущен без толчка. При движении шарика возникает сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения:

. Найти:

а) зависимость скорости шарика u от времени t;
б) установившуюся скорость движения шарика; в) зависимость координаты x шарика от времени t. Выталкивающей силой пренебречь.

5. В установке, представленной на рис. 1.5, известны угол a наклона плоскости к горизонту и коэффициент трения m между телом m₁ и наклонной плоскостью. Массы блока и нити пренебрежимо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс m₂ к m₁, при котором тело m₂: а) начнет опускаться; б) начнет подниматься; в) будет оставаться в покое.

6. Шар массой m₁ движется со скоростью u₁ и упруго сталкивается с шаром массой m₂, который движется под углом a к траектории первого шара. На какой угол b₁ отклонится первый шар после соударения, если второй отклонился на угол b₂ по отношению к первоначальной траектории первого шара, а его скорость стала равной

7. Мотоциклист с постоянной скоростью u=20 м/с едет по окружности внутренней поверхности цилиндра, ось которого расположена вертикально. Радиус цилиндра R=4 м. Найти коэффициент трения шин мотоцикла о стенки цилиндра. Размерами мотоцикла и человека пренебречь. Ускорение свободного падения g=10 м/с².

8. Тело массой m бросили под углом к горизонту с начальной скоростью

. Спустя время t тело упало на Землю. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) приращение импульса тела

за время полета; б) среднее значение импульса <

> за время t.

9. Снаряд, выпущенный со скоростью u₀=100 м/с под углом a=45⁰к горизонту, разорвался в верхней точке О траектории на два одинаковых осколка. Один осколок упал на Землю под точкой О со скоростью u₁=97 м/с. С какой скоростью упал на Землю второй осколок? Сопротивления воздуха нет.

10. На краю покоящейся тележки массой М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки: а) одновременно; б) друг за другом. В каком случае скорость тележки будет больше и во сколько раз?

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: