Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Закон сохранения момента импульса





Для замкнутой (изолированной) системы материальных точек и ее момент импульса остается постоянным для n взаимодействующих материальных точек.

Для замкнутой системы, состоящей из n взаимодействующих тел с осью вращения, неподвижной в пространстве,

где Ii – момент импульса i-го тела относительно оси вращения z;
wzi – проекция угловой скорости i-го тела на ту же ось до взаимодействия, а помеченные штрихом – те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел относительно неподвижной оси

где I1, I2, w1, w2 – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия, а те же величины после взаимодействия.

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого изменяется при взаимодействии

где индексом 1 и 2 помечены величины моментов импульсов и угловых скоростей до и после взаимодействия.

Работа и мощность момента силы

Работа, совершаемая внешней силой при вращении твердого тела, вокруг неподвижной оси

где Mz – проекция момента сил на неподвижную ось вращения; dj – элементарный угол поворота.

Работа постоянного момента силы M, вращающего тело вокруг неподвижной оси

A=Mj,

где j – полный угол поворота тела.

Мгновенная мощность момента силы M, развиваемая при вращении вокруг неподвижной оси

N=Mw,

где w – угловая скорость.

 

 

Кинетическая энергия вращательного движения

.

Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости:

,

где – кинетическая энергия его поступательного движения, а – кинетическая энергия вращательного движения.

Связь работы с изменением вращательной кинетической энергии

Работа момента сил, действующего на тело, идет на приращение вращательной кинетической энергии тела

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Исходя из основного закона динамики в форме , получите уравнение динамики вращательного движения для материальной точки .

2. Дайте определение момента силы и момента импульса относительно: а) точки, б) оси вращения. Каковы свойства этих физических величин? Какие у них размерности?

3. Покажите, что для системы материальных точек , где – момент импульса системы, – результирующий момент внешних сил.

4. Сформулируйте закон сохранения момента импульса для системы материальных точек, указав на его связь с изотропностью пространства. Приведите примеры сохранения момента импульса.

5. Получите уравнение моментов для материальной точки, движущейся по окружности, относительно неподвижной оси вращения: Iez=Mz.

6. Чему равен момент инерции I материальной точки относительно оси вращения?

7. Запишите уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Чему равен момент инерции I твердого тела относительно оси вращения? Является ли эта величина аддитивной?

8. Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.

9. Приведите соотношения для моментов инерции однородных тел правильной геометрической формы.

10. Запишите выражение для кинетической энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Чему равна кинетическая энергия твердого тела при плоском движении?

11. Как определить работу внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси? Чему равна мощность при вращательном движении?

12. Как приращение вращательной кинетической энергии связано с работой момента силы?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(3.9) Маховое колесо, момент инерции которого I=245 кгм2, вращается с частотой n=20 об/c. Через время t=1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

Ответ: Мтр=513 Н×м; N=600 об.

2.(3.13) На барабан радиусом R=20 см, момент инерции которого I=0,1 кг×м2, намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=0,5 кг. До начала вращения барабана высота груза над полом h0=1 м. Через какое время t груз опустится до пола? Найти кинетическую энергию Ек груза в момент удара о пол и силу натяжения нити Т. Трением пренебречь.

Ответ: t=1,1 c; Ek=0,81 Дж; T=4,1 H.

3.(3.14) Две гири с разными массами соединены нитью, перекинутой через блок, момент инерции которого I=50 кг×м2 и радиус R=20 см. Момент сил трения вращающегося блока Мтр=98,1 Н×м. Найти разность сил натяжения нити Т1–Т2 по обе стороны блока, если известно, что блок вращается с угловым ускорением e=2,36 рад/c2. Блок считать однородным диском. Нить не проскальзывает.

Ответ: T1–T2=1,08 кН.

4.(3.28) Найти линейные скорости u движения центров шара, диска и обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости h=0,5 м, начальная скорость всех тел u0=0. Сравнить найденные скорости со скоростью тела, соскальзывающего с наклонной плоскости при отсутствии трения.

Ответ: u1=2,65 м/c, u2=2,56 м/c, u3=2,21 м/c; u=3,13 м/c.

5. (3.32) Маховое колесо, момент инерции которого I=245 кгм2, вращается с частотой n=20 об/с. После того как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось, сделав N=1000 об. Найти момент сил трения Мтр и время t, прошедшее от момента прекращения действия вращающегося момента до остановки колеса.

Ответ: Мтр=308 Н×м; t=100 c.

6.(3.34) Маховое колесо начинает вращаться с угловым ускорением e=0,5 рад/c2 и через время t1=15 с после начала движения приобретает момент импульса L=73,5 кг×м2/c. Найти кинетическую энергию T колеса через время t2=20 с после начала движения.

Ответ: T=490 Дж.

7.(3.36) К ободу диска массой m=5 кг приложена касательная сила F=19,6 Н. Какую кинетическую энергию T будет иметь диск через время t=5 с после начала действия силы?

Ответ: T= 1,92 кДж.

8.(3.38) Однородный стержень длиной l =85 см подвешен к горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую скорость u надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

Ответ: u=7,1 м/c.

9.(3.40) Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой n1=10 об/мин. Человек массой m0=60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой n2 начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой. Трения в оси нет.

Ответ: n2=22 об/мин.

10.(3.42) Горизонтальная платформа массой m=80 кг и радиусом R=1 м вращается с частотой n1=20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. С какой частотой n2 будет вращаться платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от I1=2,94 кгм2 до I2=0,98 кг×м2? Считать платформу однородным диском. Трения нет.

Ответ: n2=21 об/мин.

11.(3.44) Человек массой m0=60 кг находится на неподвижной платформе массой m=100 кг. С какой частотой n будет вращаться платформа, если человек начнет движение по окружности радиусом r=5 м вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы u0=4 км/ч. Радиус платформы R=10 м. Считать платформу однородным диском, а человека - точечной массой. Трения в оси нет.

Ответ: n=0,49 об/мин.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.43) Однородный диск радиусом R=0,2 м вращается с постоянным угловым ускорением e=100 с-2 под действием силы F=100 Н, приложенной по касательной к его ободу. Определить массу m диска, если при вращении на него также действует постоянный момент силы трения Mтр=5 Н×м.

Ответ: m=7,5 кг.

2.(1.44) Однородный цилиндр начинает вращение с постоянным угловым ускорением e=0,3 с-2 и через t1=25 с после начала движения приобретает момент импульса L=75 кг×м2/с. Определить кинетическую энергию T цилиндра через t2=40 с после начала вращения.

Ответ: T=720 Дж.

3.(1.45) Диск массой m=0,8 кг и радиусом R=30 см вращается с частотой n=10 об/с. Под действием внешних сил диск останавливается. Найти работу A внешних сил.

Ответ: A=71 Дж.

4.(1.46) На обод маховика диаметром d=40 см намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m=3 кг. Определить момент инерции I маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием груза, приобрел угловую скорость w=9 с-1 в течение t=3 с после начала движения.

Ответ: I=1,84 кгм2.

5.(1.49) Стержень массой m=2 кг и длиной l =1,2 м вращается вокруг оси, проходящей через его середину, согласно уравнению j=Аt+Bt2, (А=3 с-1, В=0,2 с-2). Определить вращающий момент M, действующий на стержень.

Ответ: M=0,096 Н×м.

6.(1.50) Стержень массой m=6 кг и длиной l =1,2 м вращается в горизонтальной плоскости под действием силы F=10 Н, приложенной перпендикулярно к одному из его концов. Ось вращения вертикальна и проходит через второй конец стержня. Определить угловое ускорение e и частоту вращения n стержня через t=5 с после начала действия силы.

Ответ: e=4,17 с-2, n=3,32 об/с.

7.(1.51) Мяч массой m=200 г пролетает в горизонтальном направлении на расстоянии r=0,5 м от оси вращения неподвижной скамьи Жуковского, в центре которой стоит человек. После того, как человек поймал мяч, скамья стала вращаться с угловой скоростью w=0,05 с-1. Определить скорость пролета мяча u, если суммарный момент инерции человека и скамьи I=20 кг×м2. Трения в оси нет.

Ответ: u=10 м/с.

8.(1.53) В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках конец стержня. Стержень расположен вертикально вдоль оси вращения скамьи, которая вращается при этом с угловой скоростью w1=5 с-1. Длина стержня l =1,6 м, его масса m=4 кг. Суммарный момент инерции человека и скамьи I=7,5 кг×м2. С какой угловой скоростью w2 будет вращаться скамья, если повернуть стержень так, чтобы он занял горизонтальное положение. Трения в оси нет.

Ответ: w2=3,42 с-1.

9.(1.56) Платформа вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n1=0,5 об/с. В центре ее стоит человек и держит на вытянутых руках гири массой m=5 кг каждая. С какой частотой n2 будет вращаться платформа, если человек сожмет руки и расстояние каждой гири от оси вращения уменьшится от r1=80 см до r2=25 см? Суммарный момент инерции человека и платформы относительно оси вращения I=2,4 кг×м2.

Ответ: n2=1,45 об/с.

10.(1.57) Стержень длиной l =1,2 м и массой M=5 кг может вращаться около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. В нижний конец стержня попадает пуля массой m=20 г, летящая горизонтально со скоростью u=400 м/с, и застревает в нем. На какой угол j отклонится стержень после попадания пули?

Ответ: j=68,40.

11.(1.58) Через отверстие в горизонтальной поверхности пропущена нить длиной l 1=1,6 м. К другому концу нити прикреплен шарик массой m=50 г, который вращается с частотой n1=3 об/с, двигаясь по поверхности без трения. С какой частотой n2 будет вращаться шарик, если постепенно укоротить нить до длины l 2=0,8 м. Какую работу A совершит при этом сила, укорачивающая нить? Трения нет.

Ответ: n2=12 об/с, A=67,2 Дж.

 

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Вращение от двигателя к ведущим колесам автомобиля передается через ряд устройств, одно из которых, называемое сцеплением, позволяет в случае надобности отключить двигатель от остальных устройств. Сцепление, в принципе, состоит из двух одинаковых фрикционных накладок, прижимаемых друг к другу сильными пружинами. В автомобиле «Жигули» фрикционные накладки имеют форму колец с внутренним диаметром d1=142 мм и наружным диаметром d2=203 мм. Коэффициент трения накладки по накладке m=0,35. Найти наименьшую силу F, с которой нужно прижимать накладки, чтобы передать вращательный момент M=100 Н×м.

Ответ:

2. Тонкий стержень длиной l =1 м и массой m=0,6 кг может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной к нему, и отстоящей от центра стержня на расстояние а=0,1 м. Стержень приводится в горизонтальное положение и отпускается без толчка. Определить: а) угловое ускорение стержня e0 и силу давления F0 на ось в начальный момент времени; б) угловую скорость w и силу давления F на ось в момент прохождения стержнем положения равновесия.

Ответ: =11 рад/с2,

=5,3 Н=0,89 mg;

=4,6 рад/с,
=7,1 Н=1,21 mg.

 

3. Тело массой m брошено в начале координат под углом a к горизонту с начальной скоростью u0. Траектория полета тела лежит в плоскости x, y (см. рис. 1.7, ось z направлена на нас). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимость от времени: а) момента M силы, действующего на частицу; б) момента импульса частицы L. Оба момента рассчитывать относительно начала координат.

Ответ: ,

где – единичный вектор оси z.

4. В системе, показанной на рис. 1.8, известны масса m груза А, масса М ступенчатого шкива В, момент инерции I последнего относительно его оси и радиусы ступеней шкива R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение a груза А.

Ответ: .

5. Сплошной однородный цилиндр А массой m1 может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке В массой m2. На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу К которой приложили постоянную горизонтальную силу F (см. рис. 1.9). Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти: а) ускорение точки К; б) кинетическую энергию T этой системы через t секунд после начала движения.

Ответ:

6. Два одинаковых груза массой m подвешены в одной точке к вертикальной оси на нитях длиной l. Определить их кинетическую энергию T, если при вращении они отклонились на угол a.

Ответ: Ek=mg l sin atg a.

7. Шар и цилиндр, двигаясь с одинаковой начальной скоростью вкатываются без проскальзывания вверх по наклонной плоскости. Найти отношение высот подъема. Какое из тел поднимется выше?

Ответ: .

8. С какой скоростью должен въехать велосипедист в нижнюю точку мертвой петли радиусом R=10 м, чтобы не сорваться вниз в верхней ее точке? Масса велосипедиста с велосипедом M=90 кг, масса обоих колес m=6 кг. Трением пренебречь, момент инерции колеса рассчитывать как момент инерции обода.

Ответ: u=21,2 м/с.

9. Однородный шар массой m=5 кг скатывается без проскальзывания по наклонной плоскости, составляющий угол a=300 с горизонтом. Найти кинетическую энергию T шара через t=1,6 секунд после начала движения.

Ответ: кДж.

10. Однородный цилиндр массой m=8 кг и радиусом R=1,3 см в момент t=0 начинает опускаться под действием силы тяжести (cм. рис 1.10). Пренебрегая массой нити, найти: а) угловое ускорение цилиндра e; б) зависимость от времени мгновенной мощности N, которую развивает сила тяжести.

Ответ: а)e=2g(3R)=5×102рад/с2; б) N=2mg2(t/3).

 


2. СТО, молекулярная физика и термодинамика

 







Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.