Занятие 4. Работа. Законы сохранения

1. Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

2. Связь работы с изменением кинетической энергии.

3. Связь работы с убылью потенциальной энергии.

6. Закон сохранения полной механической энергии.

7. Задачи на совместное применение законов сохранения энергии и импульса.

Работа постоянной и переменной силы. Мощность.

Работа, совершаемая силой

при перемещении тела по произвольной траектории между точками 1 и 2

где

– элементарное перемещение; a – угол между векторами

В случае постоянной силы

=const выражение для работы имеет вид

где

– перемещение тела между точками 1 и 2; F_s – проекция силы на направление перемещения; a – угол между векторами

где dA – элементарная работа, совершаемая за интервал времени dt.

Связь работы с изменением кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии тела

где m – масса тела; u – скорость, р – импульс тела, индексом 1 и 2 помечены начальное и конечное значение кинетической энергии.

Потенциальная энергия – это энергия взаимного расположения тел или частей тела, убыль которой равна работе, совершаемой потенциальными (консервативными) силами над телом в силовом поле

где индексом 1 и 2 помечены начальное и конечное значение потенциальной энергии.

Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия точечных или сферически симметричных тел

где G – гравитационная постоянная; m₁ и m₂ – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между центрами масс.

Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном гравитационном поле (поле силы тяжести)

где m – масса тела; g – ускорение свободного падения; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии.

Потенциальная энергия упруго деформированного тела

где k – коэффициент упругости тела; x – смещение при деформации тела.

Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке силового поля, связаны соотношением

где

– единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное)

Для консервативной системы полная механическая энергия остается постоянной

где E – полная механическая энергия системы.

Совместное применение законов сохранения энергии и импульса

к прямому центральному удару шаров дает соотношения:

- для скорости движения шаров после неупругого удара

- для скорости движения шаров после абсолютно упругого удара

где m₁ и m₂ – массы шаров, а u₁ и u₂ – их скорости до удара.

1. Какими фундаментальными свойствами пространства и времени обусловлены законы сохранения?

2. Какие силы называются внешними, внутренними? Какие системы материальных точек называются замкнутыми, незамкнутыми? Может ли система вести себя как замкнутая в одном определенном направлении?

3. Покажите, что для системы материальных точек

, где

– импульс системы;

– результирующая всех внешних сил.

4. Что называется центром масс системы материальных точек и каковы его свойства?

5. Сформулируйте закон сохранения импульса для системы материальных точек, указав на его связь с однородностью пространства. Приведите примеры проявления закона сохранения импульса, сохранения проекции импульса.

6. Дайте определение: а) механической работы А; б) мощности N. Каковы свойства этих физических величин? В каких единицах они измеряются?

7. Какие силы называются консервативными, неконсервативными? Какие поля являются потенциальными, непотенциальными?

8. Получите выражение для кинетической энергии движущейся мaтериальной точки. Выведите формулу для потенциальной энергии: а) тела, поднятого над землей; б) упругодеформированной пружины.

9. Для каких систем тел справедлив закон сохранения механической энергии и как он формулируется? Укажите на его связь с однородностью времени.

10. Какое взаимодействие называется ударом? Приведите примеры абсолютно упругого и неупругого ударов.

11. Какими законами сохранения определяется соотношение между начальным и конечным состоянием тел, участвующих в соударении?

12. В какие виды энергии может переходить кинетическая энергия соударяющихся тел? Позволяют ли законы сохранения определить, что происходит в процессе соударения?

1.(2.44) Найти работу A, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость движения тела массой m=1 т от u₁=2 м/с до u₂=6 м/с на пути S=10 м. На всем пути действует сила трения F_тр=2 Н.

2.(2.50) Камень падает с некоторой высоты без начальной скорости в течение времени t=1,43 с. Найти кинетическую E_k и потенциальную U энергии камня в средней точке пути. Масса камня m=2 кг.

3. (2.57) Тело массой m=3кг, имея начальную скорость u₀=0, скользит по наклонной плоскости высотой h=0,5 м и длиной склона l =1 м и приходит к основанию наклонной плоскости со скоростью u=2,45 м/c. Найти коэффициент трения m тела о плоскость и количество теплоты Q, выделившееся при трении.

4.(2.67) Конькобежец массой M=70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m=3 кг со скоростью u=8 м/с. На какое рассстояние s откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед m=0,02?

5.(2.68) Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросает в горизонтальном направлении камень массой m=2 кг. Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент после бросания ее скорость была u=0,1 м/с. Масса тележки с человеком M=100 кг. Найти кинетическую энергию E_k брошенного камня через время t=0,5 с после начала его движения.

6.(2.80) Пуля, летящая горизонтально, попадает в шар, подвешенный на невесомом жестком стержне, и застревает в нем. Масса пули в 1000 раз меньше массы шара. Расстояние от центра шара до точки подвеса стержня l =1 м. Найти скорость u пули, если известно, что стержень с шаром отклонился от удара пули на угол a=10⁰.

7.(2.80) Стальной шарик массой m=20 г, падая с высоты h₁=1 м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту h₂=81 см. Найти импульс p, полученный плитой за время удара, и количество теплоты Q, выделившейся при ударе.

8.(2.110) Акробат прыгает в сетку с высоты Н=8 м. На какой предельной высоте h над полом надо натянуть сетку, чтобы акробат не ударился о пол при прыжке? Известно, что сетка прогибается на h₀=0,5 м, если акробат прыгает в нее с высоты H₀=1 м.

9.(2.118) Гиря массой m=0,5 кг, привязанная к резиновому шнуру длиной l ₀, описывает в горизонтальной плоскости окружность. Частота вращения гири n=2 об/c. Угол отклонения резинового шнура от вертикали a=30⁰. Жесткость шнура k=0,6 кН/м. Найти длину l ₀ нерастянутого резинового шнура.

10.(2.123) Льдина площадью поперечного сечения S=1 м² и высотой h=0,4 м плавает в воде. Какую работу A нужно совершить, чтобы полностью погрузить льдину в воду?

1.(1.18) Шар массой m=4 кг движется со скоростью u=1,5 м/с и сталкивается с покоящимся шаром массой M=6 кг. Определить работу A по деформации шара. Удар считать неупругим, центральным.

2.(1.19) Шар массой M=4 кг движется со скоростью u=2 м/c и сталкивается с покоящимся шаром массой m=3 кг. Определить скорости шаров u₁ и u₂ после удара. Удар считать упругим, прямым, центральным.

3.(1.21) Шар массой M=3 кг сталкивается с покоящимся шаром меньшей массы и теряет при этом 45% первоначальной кинетической энергии. Определить массу m меньшего шара. Удар считать упругим, прямым, центральным.

4.(1.22) Два шара массами M=2 кг и m=1 кг подвешены в одной точке на нитях длиной l =0,8 м так, что шары соприкасаются между собой. Шар меньшей массы отклоняют на угол a=45⁰ и отпускают. Определить высоты h₁ и h₂, на которые поднимутся шары после соударения: 1) если удар упругий, 2) удар неупругий.

5.(1.24) Деревянный шарик массой m=0,1 кг падает вертикально вниз с высоты h=3 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления (отношение скорости тела после удара к скорости тела до удара) при ударе шарика об пол равен 0,5. Найти: 1) высоту h, на которую поднимется шарик после удара об пол; 2) количество теплоты Q, которое выделится при ударе; 3) приращение импульса Dp, полученное шариком при ударе.

6.(1.25) Ящик массой m=25 кг соскальзывает по идеально гладкому лотку длиной l =2 м на неподвижную тележку с песком и застревает в нем. Тележка с песком массой M=80 кг может свободно (без трения) перемещаться по рельсам в горизонтальном направлении. Определить скорость u тележки, если лоток наклонен под углом a=30⁰ к горизонту.

7.(1.27) Из ствола автоматического пистолета вылетает пуля массой m=15 г со скоростью u=100 м/с. Затвор пистолета массой M=200 г прижимается к стволу пружиной, жесткость которой k=30 кН/м. На какое расстояние l отойдет затвор после выстрела? Считать, что пистолет жестко закреплен.

8.(1.28) Определить работу A растяжения двух соединенных последовательно пружин с жесткостями k₁=300 Н/м и k₂=200 Н/м, если первая пружина при этом растянулась на x₁=3 см.

9.(1.32) Если на верхний конец вертикально расположенной пружины положить груз, то она сожмется на x₀=4 мм. На сколько сожмет пружину тот же груз, упавший на конец пружины с высоты h=10 см?

10.(1.34) Налетев на пружинный буфер, вагон массой M=15 т, движущийся со скоростью u=0,5 м/с, остановился, сжав пружину на x=10 см. Определить жесткость k пружины буфера.

1. Тонкая стальная цепочка с очень мелкими звеньями, имеющая длину l =1 м и массу m=10 г, лежит на горизонтальном столе. Цепочка вытянута в прямую линию, перпендикулярно к краю стола. Конец цепочки свешивается с края стола. Когда длина свешивающейся части составляет h=0,275 части всей длины, цепочка начинает соскальзывать со стола вниз. Считая цепочку однородной по длине, найти: а) коэффициент трения m между цепочкой и столом; б) работу А сил трения цепочки об стол за время соскальзывания; в) скорость u цепочки в конце соскальзывания.

2. Тело массой m брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью u₀. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) мгновенную мощность Р(t), развиваемую при полете тела, приложенной к нему силой; б) значение мощности Р в вершине траектории; в) среднее значение мощности <Р_под> за время подъема тела; г) среднее значение мощности <Р_пол> за время полета (точка бросания и точка падения находятся на одном уровне).

3. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы вниз (см. рис. 1.6). На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно? Радиус сферы равен R. Сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Для определения коэффициента трения можно воспользоваться установкой, представляющей собой вогнутую цилиндрическую поверхность с нанесенными градусными метками. Тело устанавливают на поверхность цилиндра так, чтобы радиус, проведенный в его центр тяжести, составлял с вертикалью угол a, после чего тело отпускают и оно начинает скользить поперек образующей цилиндра. Как определить коэффициент трения, если сила нормального давления значительно больше центробежной силы? Угол подъема тела, прошедшего положение равновесия, равен b.

5. Два шара претерпевают центральный неупругий удар. До удара шар массой m₂ – неподвижен, шар массой m₁ – движется с некоторой скоростью. Какая часть h первоначальной кинетической энергии теряется при ударе, если: а) m₁=m₂; б) m₁=0,1m₂;
в) m₁=10m₂.

6. Водометный двигатель катера забирает воду из реки и выбрасывает ее со скоростью u=10 м/с относительно катера назад. Масса катера M=1000 кг. Масса ежесекундно выбрасываемой воды постоянна и равна m_t=10 кг/с. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определить: а) скорость катера u спустя время t=1 мин после начала движения; б) какой предельной скорости u_max может достичь катер?

7. Кинетическая энергия частицы, движущейся по окружности радиусом R, зависит от пройденного пути s по закону T=as², где a – постоянная. Найти модуль силы, действующей на частицу, в зависимости от s.

8. Небольшое тело массой m медленно втащили на горку, действуя силой F, которая в каждой точке направлена по касательной траектории. Найти работу этой силы, если высота горки h, длина ее основания l и коэффициент трения m.

9. Частица массой m₁ испытала упругое столкновение с покоившейся частицей массой m₂. Какую относительную часть кинетической энергии потеряла налетающая частица, если: а) она отскочила под прямым углом к своему первоначальному направлению движения; б) столкновение лобовое.

10. Какой минимальной скоростью должен обладать нейтрон массой m, чтобы при неупругом столкновении с покоившимся ядром массой М увеличить его внутреннюю энергию на DЕ.

11. Снаряд, летящий со скоростью u=500 м/с, разрывается на три одинаковых осколка так, что кинетическая энергия системы увеличивается в h=1,5 раза. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков?

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: