Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ





1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором

 

,

 

где – единичные векторы декартовой системы координат (орты); x, y, z – координаты точки.

Средние скорость и ускорение

Средний вектор скорости

где – перемещение материальной точки за интервал времени Dt; – средние значения проекций скорости на координатные оси; Dx=x(t)–х0; Dy=y(t)–y0; Dz=z(t)–z0 – проекции перемещения материальной точки за интервал времени Dt; x0, y0, z0 – начальное положение точки в пространстве.

Среднее значение скорости:

,

где Ds – пройденный путь за интервал времени Dt=t–t0.

Средний вектор ускорения

где – приращение вектора скорости материальной точки за интервал времени Dt.

– средние значения проекций ускорения на координатные оси.

Среднее ускорение ,

где = (t)- (t0) .

Мгновенные скорость и ускорение

Мгновенная скорость

где – единичные векторы (орты осей декартовой системы координат); ; ; – проекции скорости на координатные оси.

Модуль скорости

.

Мгновенное ускорение

Модуль ускорения

.

Кинематические уравнения движения

Кинематическое уравнение движения материальной точки в векторной форме

,

где – радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени t0; – радиус-вектор в произвольный момент времени t, закон изменения скорости точки со временем.

Векторное уравнение движения эквивалентно трем скалярным:

, ,

.

Кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль оси x

x=x0+ut.

 

Кинематическое уравнение равнопеременного прямолинейного движения (a=const) вдоль оси x

x=x0+u0t+at2/2.

 

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси x



u=u0+at.

Связь скорости и ускорения

 

u2-u02=2ax.

Средние угловая скорость и ускорение

Средний вектор угловой скорости

где – приращение угла поворота за интервал времени Dt .

Средний вектор углового ускорения

где – приращение угловой скорости за интервал времени Dt.

 

Средняя угловая скорость

, где = φ(t)- φ(t0).

Среднее угловое ускорение

, где =ω(t)-ω(t0).

Мгновенные угловая скорость и ускорение

Мгновенная угловая скорость

где wz – проекция угловой скорости на ось вращения.

Угловое ускорение ,

где ez – проекция углового ускорения на ось вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с неподвижной в пространстве осью вращения.

Связь между линейными и угловыми величинами:

S=Rj; u=wR; at=ezR; an= =w2R,

где R – радиус окружности, по которой движется точка; S – длина дуги окружности; j – угол поворота, u – линейная скорость; ez – проекция углового ускорения на ось вращения; w – угловая скорость; at – тангенциальное ускорение; an – нормальное ускорение.

При постоянной угловой скорости w=2p/T, w=2pn, где Т – период (время одного полного оборота); n – частота вращения (число оборотов, совершаемых движущейся точкой в единицу времени).

 

Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки относительно неподвижной оси

где j – угол поворота; wz – проекция угловой скорости на ось вращения. Если wz=const, то j=wzt. Если угловое ускорение e=const, то где w0 – начальная угловая скорость. Угловая скорость при таком вращении

w=w0+et.

 

 

Ускорение в плоском криволинейном движении

или
,

 

где характеризует быстроту изменения модуля скорости (см. рис. 1.1);

an = - характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению ( см. рис. 1.1).

Соответствие линейных и угловых величин показано в табл.1.


Таблица №1

Линейные величины Угловые величины
S,х φ
υ ω
а e
an= an2R
ux=u0x+axt wz=w0z+ezt
2axsx=ux2–u0x2 2ezjz=wz2–w0z2

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Заряд электрона e=1,6×10-19 Кл.

Масса электрона m=9,1×10-31 кг.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с2.

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает механика как один из разделов физики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точке (частице); б) системе материальных точек; в) абсолютно твердому телу.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия "однородность и изотропность пространства'', "однородность времени"?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиусом-вектором ?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=х (t), у=у (t), z=z (t) эквивалентно заданию его в векторной форме , где х, у, z – декартовы координаты положения материальной точки, – ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения ; б) скорости ; в) ускорения . В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону где u0 и g – известные постоянные; – орт координатной оси z. Найдите скорость частицы и ее ускорение , а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы где A – известная постоянная; – орт координатной оси х. В момент времени t=0 х=x0 и ux=u0, где х0 и u0 – известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату x как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным аt и нормальным аn ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение: а) угла поворота твердого тела; б) угловой скорости ; в) углового ускорения относительно неподвижной в пространстве оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих величин?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A+Bt+Ct2+Dt3, где С=0,14 м/с2 и D=0,01 м/с3. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a=1 м/с2? Найти среднее ускорение <a> тела за этот промежуток времени.

Ответ: t=12 c, <a>=0,64 м/с2.

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l=5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью ux он брошен? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Ответ: h=1,22 м; ux=10 м/с; u=11,1 м/с; j=26012.

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью u0=15 м/с. Найти нормальное аn и тангенциальное аt ускорения камня через время t=1 с после начала движения.

Ответ: аt=5,4 м/с2; аn=8,2 м/с2.

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью u0=10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой h0=25 м брошен камень со скоростью u0=15 м/с вверх под углом a=300 к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ: t=3,16 c; l=41,1 м; u=26,7 м/с; j=610.

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением аt. Найти тангенциальное уско-рение аt точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см/с.

Ответ: аt=0,05 м/с2.

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e 3,14 рад/с2. Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение аt; г) нормальное ускорение аn; д) полное ускорение а; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: а) w=3,14 рад/с; б) u=0,314 м/c; в) at=0,314 м/c2;

г) an=0,986 м/c2; д) a=1,03 м/c2; е) a=17046.

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct2, где В=2 м/c и С=1 м/c2. Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное аt, нормальное аn и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢n=0,5 м/c2.

Ответ: u=4 м/c; at=2 м/c2; an=2 м/c2; a=2,83 м/c2.

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение аn точки,лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения аt для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=300 с вектором ее линейной скорости?

Ответ: an/at=0,58.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.4) По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x111t+C1t2 и x222t+С2t2, где А1=5 м, В1=1 м/с, С1=2 м/с2, А2=–6 м, В2=4 м/с, С2=0,8 м/с2. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти скорости u1, u2 и ускорения a1, a2 этих точек в момент времени t1=1c.

Ответ: t=1,25 c; u1=5 м/с; u2=5,6 м/с; а1=4 м/с2; а2=1,6 м/с2.

2.(1.23) Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x1=A1t+B1t2+C1t3 и x2= A2t+B2t2+C2t3 ,где B1=4 м/с2, С1= -3 м/с3, B2= -2 м/с2, С2= 1 м/с3. Определить момент времени, для которого ускорение этих точек будут равны.

Ответ: t=0,5 с.

3.(1.5) Движение материальной точки задано уравнением x=Аt+Bt2, где А=4 м/с, В=–0,05 м/с2. Определить момент времени t, в который скорость точки u=0. Найти координату x и ускорение точки a в этот момент.

Ответ: t=40 c; x=80 м; а=–0,1 м/с2.

4.(1.6) Точка движется по окружности радиусом R=2 м. Уравнение движения точки j=Аt+Bt3, где А=1 с-1, В=0,4 с-3. Определить тангенциальноеat, нормальное an и полное a ускорения точки в момент времени t=2с.

Ответ: аt=9,6 м/с2; аn=67,3 м/с2; а=68,0 м/с2.

5.(1.9) Колесо радиусом R=0,2 м вращается так, что зависимость от времени линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, дается уравнением u=At+Bt2, где А=0,06 м/с2, В=0,02 м/с3. Найти угол a, который составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t1=1 с, t2=2с после начала движения.

Ответ: a1=72,20; a2=350.

6. (1.34) Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e= 3 рад/с2. Определить радиус колеса, если через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5 м/с2.

Ответ: R=79 см.

7. На вал радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t=20 с от начала движения опустилась на h=2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для этого момента времени.

Ответ: w=2h/(Rt)=2 рад/с; e=2h/(Rt2)=0,1 рад/с2.

8.(1.66) При выстреле пуля вылетела со скоростью u0=200 м/с под углом a=600 к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема h, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: h=1531 м; S=3535 м; R=1020 м.

9.(1.69) Тело брошено со скоростью u0=20 м/с под углом a=300 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость u тела, а также его нормальное an и тангенциальное at ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние x переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте yоно окажется?

Ответ: u=17,9 м/с; an=9,72 м/с2; at=2,67 м/с2; x=26 м; y=4 м.

10.(1.73) Электроны, обладающие кинетической энергией Ек=1,6 кэВ, влетают посередине между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое минимальное напряжение Um необходимо подвести к пластинам, чтобы электроны не вышли за пределы пластин? Длина пластин l=2 см, расстояние между ними d=1 см
(1 кэВ=1,610-16 Дж).

Ответ: Um=800 В.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Скорость течения реки по ее ширине меняется по закону u=Ax2+Bх+C, где (а – расстояние от берега, b – ширина реки), A=–4 м/с, B=–A, C=0,5 м/с. На какое расстояние снесет лодку течением при переправе, если скорость ее относительно стоячей воды равна u1=2 м/с и направлена прямо к противоположному берегу? Ширина реки b=420 м.

Ответ: S=245 м.

2. В момент t=0 частица вылетает из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость изменяется со временем по закону , – начальная скорость, модуль которой u0=10 см/с, t=5 с. Найти зависимость координаты частицы от времени. Рассчитать: а) координату х частицы в моменты времени 6, 10, 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

Ответ: а) x=u0t(1–t/2t); 0,24; 0 и –4 м; б) 1,1; 9 и 11 с.

3. Радиус-вектор движущейся точки А изменяется со временем t по закону где a и b – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модули этих величин; в) зависимость от времени угла j между векторами и .

Ответ: a)

б) , a=2b;

в)

4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, изменяется по закону аn=a+bt+ct2, где a, b, c – постоянные величины. Найти тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время t1=6 c после начала движения, и полное
ускорение в момент времени t2=2/3 с, если а=1 м/с2, b=3 м/с3,
с=2,25 м/с4.

Ответ: аt=3 м/с2, s=66 м; а=5 м/с2.

5. Частица движется в плоскости xy со скоростью где , – орты осей x и y соответственно, а и b – постоянные. В начальный момент частица находилась в точке x=y=0. Найти: a) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус кривизны траектории в зависимости от координаты х.

Ответ: a) ; б) .

6. Два тела бросили одновременно: одно – вертикально вверх со скоростью u1=25 м/с, другое – под углом a=300 к горизонту со скоростью u2=30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти их относительную скорость во время движения.

Ответ: =28 м/с.

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью u0=250 м/с: первый – под J1=600 к горизонту, второй – под углом J2=450 (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Ответ: =11 с.

8. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве, по закону j=аt–bt3, где а=6 рад/с, b=2 рад/с3. Найти:
а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t=0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: a) <w>=2а/3=4 рад/с; б) <e>= =6 рад/с2.

9. При вращении махового колеса его угловое ускорение изменяется по закону e= - abw, а и b – постоянные. Найти: а) чему равна угловая скорость маховика через tc после начала притормаживания, если в момент t=0 она была равна w0? б) какой вид движения у маховика при t® ¥? в) как зависит от времени его угловое ускорение?

Ответ:

10. Твердое тело вращается с угловой скоростью =At +Bt2 , где А=0,5 рад/с2, В=0,06 рад/с3. Найти для момента t=10 с: а) модули угловой скорости и углового ускорения; б) угол между этими векторами.

Ответ: а) =8 рад/с; =1,3 рад/с; б) 170.

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.