ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Положение материальной точки в пространстве задается радиус-вектором

,

где – единичные векторы декартовой системы координат (орты); x, y, z – координаты точки.

Средние скорость и ускорение

Средний вектор скорости

где – перемещение материальной точки за интервал времени Dt; – средние значения проекций скорости на координатные оси; Dx=x(t)–х₀; Dy=y(t)–y₀; Dz=z(t)–z₀ – проекции перемещения материальной точки за интервал времени Dt; x₀, y₀, z₀ – начальное положение точки в пространстве.

Среднее значение скорости:

,

где Ds – пройденный путь за интервал времени Dt=t–t₀.

Средний вектор ускорения

где – приращение вектора скорости материальной точки за интервал времени Dt.

– средние значения проекций ускорения на координатные оси.

Среднее ускорение ,

где = (t)- (t₀).

Мгновенные скорость и ускорение

Мгновенная скорость

где – единичные векторы (орты осей декартовой системы координат); ; ; – проекции скорости на координатные оси.

Модуль скорости

.

Мгновенное ускорение

Модуль ускорения

.

Кинематические уравнения движения

Кинематическое уравнение движения материальной точки в векторной форме

,

где – радиус-вектор материальной точки в начальный момент времени t₀; – радиус-вектор в произвольный момент времени t, закон изменения скорости точки со временем.

Векторное уравнение движения эквивалентно трем скалярным:

, ,

.

Кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения материальной точки вдоль оси x

x=x₀+ut.

Кинематическое уравнение равнопеременного прямолинейного движения (a=const) вдоль оси x

x=x₀+u₀t+at²/2.

Скорость точки при равнопеременном движении вдоль оси x

u=u₀+at.

Связь скорости и ускорения

u²-u₀²=2ax.

Средние угловая скорость и ускорение

Средний вектор угловой скорости

где – приращение угла поворота за интервал времени Dt.

Средний вектор углового ускорения

где – приращение угловой скорости за интервал времени Dt.

Средняя угловая скорость

, где = φ(t)- φ(t₀).

Среднее угловое ускорение

, где =ω(t)-ω(t₀).

Мгновенные угловая скорость и ускорение

Мгновенная угловая скорость

где w_z – проекция угловой скорости на ось вращения.

Угловое ускорение ,

где e_z – проекция углового ускорения на ось вращения.

Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными векторами, их направления совпадают с неподвижной в пространстве осью вращения.

Связь между линейными и угловыми величинами:

S=Rj; u=wR; a_t=e_zR; a_n= =w²R,

где R – радиус окружности, по которой движется точка; S – длина дуги окружности; j – угол поворота, u – линейная скорость; e_z – проекция углового ускорения на ось вращения; w – угловая скорость; a_t – тангенциальное ускорение; a_n – нормальное ускорение.

При постоянной угловой скорости w=2p/T, w=2pn, где Т – период (время одного полного оборота); n – частота вращения (число оборотов, совершаемых движущейся точкой в единицу времени).

Кинематическое уравнение вращательного движения материальной точки относительно неподвижной оси

где j – угол поворота; w_z – проекция угловой скорости на ось вращения. Если w_z=const, то j=w_zt. Если угловое ускорение e=const, то где w₀ – начальная угловая скорость. Угловая скорость при таком вращении

w=w₀+et.

Ускорение в плоском криволинейном движении

или
,

где характеризует быстроту изменения модуля скорости (см. рис. 1.1);

a_n = - характеризует быстроту изменения вектора скорости по направлению (см. рис. 1.1).

Соответствие линейных и угловых величин показано в табл.1.

Таблица №1

Линейные величины	Угловые величины
S,х	φ
υ	ω
а	e
an=	an=ω2R
ux=u0x+axt	wz=w0z+ezt
2axsx=ux2–u0x2	2ezjz=wz2–w0z2

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Заряд электрона e=1,6×10^-19 Кл.

Масса электрона m=9,1×10^-31 кг.

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с².

ВОПРОСЫ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Что изучает механика как один из разделов физики?

2. Почему при изучении реальных физических явлений и объектов приходится использовать модельные представления и абстрагированные понятия? Дайте определение: а) материальной точке (частице); б) системе материальных точек; в) абсолютно твердому телу.

3. Каково содержание понятий пространства и времени в классической механике? Что означают понятия "однородность и изотропность пространства'', "однородность времени"?

4. Какие существуют способы описания движения материальной точки? Что представляет собой система отсчета, система координат? Что называется радиусом-вектором ?

5. Покажите, что задание кинематического закона движения в координатной форме х=х (t), у=у (t), z=z (t) эквивалентно заданию его в векторной форме , где х, у, z – декартовы координаты положения материальной точки, – ее радиус-вектор. Каковы преимущества векторного описания движения?

6. Дайте определение кинематических величин: а) перемещения ; б) скорости ; в) ускорения . В каких единицах измеряются эти величины? Как ориентированы векторы скорости и ускорения относительно траектории и друг друга?

7. Частица движется по закону где u₀ и g – известные постоянные; – орт координатной оси z. Найдите скорость частицы и ее ускорение , а также их проекции и как функции времени.

8. Ускорение движущейся частицы где A – известная постоянная; – орт координатной оси х. В момент времени t=0 х=x₀ и u_x=u₀, где х₀ и u₀ – известные постоянные (начальные условия). Найдите проекцию скорости и координату x как функции времени.

9. Какое движение абсолютно твердого тела называется: а) поступательным; б) вращательным? Приведите примеры таких движений.

10. Что называется тангенциальным а_t и нормальным а_n ускорениями? Чему они равны? От чего зависит угол между векторами скорости и полного ускорения движущейся материальной точки?

11. Какие векторы называют аксиальными? Дайте определение: а) угла поворота твердого тела; б) угловой скорости ; в) углового ускорения относительно неподвижной в пространстве оси вращения. В каких единицах измеряются эти величины?

12. Колесо вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через его центр масс. Обладает ли любая точка на ободе тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит: а) с постоянной угловой скоростью; б) с постоянным угловым ускорением? Изменяются ли при этом модули этих величин?

ЗАДАЧИ ГРУППЫ А

1.(1.25) Зависимость пройденного телом пути s от времени t дается уравнением s=A+Bt+Ct²+Dt³, где С=0,14 м/с² и D=0,01 м/с³. Через какое время t после начала движения тело будет иметь ускорение a=1 м/с²? Найти среднее ускорение <a> тела за этот промежуток времени.

Ответ: t=12 c, <a>=0,64 м/с².

2.(1.27) Камень, брошенный горизонтально, упал на землю через время t=0,5 с на расстоянии l =5 м по горизонтали от места бросания. С какой высоты h брошен камень? С какой скоростью u_x он брошен? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит вектор скорости камня с горизонтом в точке его падения на землю.

Ответ: h=1,22 м; u_x=10 м/с; u=11,1 м/с; j=26⁰12^’.

3.(1.30) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=15 м/с. Найти нормальное а_n и тангенциальное а_t ускорения камня через время t=1 с после начала движения.

Ответ: а_t=5,4 м/с²; а_n=8,2 м/с².

4.(1.31) Камень брошен горизонтально со скоростью u₀=10 м/с. Найти радиус кривизны R траектории камня через время t=3 с после начала движения.

Ответ: R=305 м.

5.(1.39) С башни высотой h₀=25 м брошен камень со скоростью u₀=15 м/с вверх под углом a=30⁰ к горизонту. Какое время t камень будет в движении? На каком расстоянии l от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью u он упадет на землю? Какой угол j составит траектория движения камня с горизонтом в точке его падения на землю?

Ответ: t=3,16 c; l =41,1 м; u=26,7 м/с; j=61⁰.

6.(1.49) Вентилятор вращается с частотой n=900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N=75 об. Какое время t прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t=10 c.

7.(1.52) Точка движется по окружности радиусом R=20 см с постоянным тангенциальным ускорением а_t. Найти тангенциальное уско-рение а_t точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки u=79,2 см/с.

Ответ: а_t=0,05 м/с².

8.(1.55) Колесо радиусом R=10 см вращается с угловым ускорением e 3,14 рад/с². Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения: а) угловую скорость w; б) линейную скорость u; в) тангенциальное ускорение а_t; г) нормальное ускорение а_n; д) полное ускорение а; е) угол a, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ: а) w=3,14 рад/с; б) u=0,314 м/c; в) a_t=0,314 м/c²;

г) a_n=0,986 м/c²; д) a=1,03 м/c²; е) a=17⁰46^’.

9.(1.57) Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени дается уравнением s=A–Bt+Ct², где В=2 м/c и С=1 м/c². Найти линейную скорость u точки, ее тангенциальное а_t, нормальное а_n и полное а ускорения через время t=3 с после начала движения, если известно, что при t¢=2 с нормальное ускорение точки а¢_n=0,5 м/c².

Ответ: u=4 м/c; a_t=2 м/c²; a_n=2 м/c²; a=2,83 м/c².

10.(1.64) Во сколько раз нормальное ускорение а_n точки,лежащей на ободе вращающегося колеса, больше ее тангенциального ускорения а_t для того момента, когда вектор полного ускорения точки составляет угол a=30⁰ с вектором ее линейной скорости?

Ответ: a_n/a_t=0,58.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ Б

1.(1.4) По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x₁=А₁+В₁t+C₁t² и x₂=А₂+В₂t+С₂t², где А₁=5 м, В₁=1 м/с, С₁=2 м/с², А₂=–6 м, В₂=4 м/с, С₂=0,8 м/с². В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы? Найти скорости u₁, u₂ и ускорения a₁, a₂ этих точек в момент времени t₁=1c.

Ответ: t=1,25 c; u₁=5 м/с; u₂=5,6 м/с; а₁=4 м/с²; а₂=1,6 м/с².

2.(1.23) Кинематические уравнения движения двух материальных точек имеют вид x₁=A₁t+B₁t²+C₁t³ и x₂= A₂t+B₂t²+C₂t³,где B₁=4 м/с², С₁= -3 м/с³, B₂= -2 м/с², С₂= 1 м/с³. Определить момент времени, для которого ускорение этих точек будут равны.

Ответ: t=0,5 с.

3.(1.5) Движение материальной точки задано уравнением x=Аt+Bt², где А=4 м/с, В=–0,05 м/с². Определить момент времени t, в который скорость точки u=0. Найти координату x и ускорение точки a в этот момент.

Ответ: t=40 c; x=80 м; а=–0,1 м/с².

4.(1.6) Точка движется по окружности радиусом R=2 м. Уравнение движения точки j=Аt+Bt³, где А=1 с^-1, В=0,4 с^-3. Определить тангенциальноеa_t, нормальное a_n и полное a ускорения точки в момент времени t=2с.

Ответ: а_t=9,6 м/с²; а_n=67,3 м/с²; а=68,0 м/с².

5.(1.9) Колесо радиусом R=0,2 м вращается так, что зависимость от времени линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, дается уравнением u=At+Bt², где А=0,06 м/с², В=0,02 м/с³. Найти угол a, который составляет вектор полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t₁=1 с, t₂=2с после начала движения.

Ответ: a ₁=72,2⁰; a₂=35⁰.

6. (1.34) Колесо вращается с постоянным угловым ускорением e= 3 рад/с². Определить радиус колеса, если через t=1с после начала движения полное ускорение колеса a=7,5 м/с².

Ответ: R=79 см.

7. На вал радиусом R=10 см намотана нить, к концу которой привязана гиря. Двигаясь равноускоренно, гиря за t=20 с от начала движения опустилась на h=2 м. Найти угловую скорость и угловое ускорение вала для этого момента времени.

Ответ: w=2h/(Rt)=2 рад/с; e=2h/(Rt²)=0,1 рад/с².

8.(1.66) При выстреле пуля вылетела со скоростью u₀=200 м/с под углом a=60⁰ к горизонту. Определить наибольшую высоту подъема h, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: h=1531 м; S=3535 м; R=1020 м.

9.(1.69) Тело брошено со скоростью u₀=20 м/с под углом a=30⁰ к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость u тела, а также его нормальное a_n и тангенциальное a_t ускорения через t=1,5 с после начала движения. На какое расстояние x переместится за это время тело по горизонтали и на какой высоте yоно окажется?

Ответ: u=17,9 м/с; a_n=9,72 м/с²; a_t=2,67 м/с²; x=26 м; y=4 м.

10.(1.73) Электроны, обладающие кинетической энергией Е_к=1,6 кэВ, влетают посередине между пластинами плоского конденсатора параллельно им. Какое минимальное напряжение U_m необходимо подвести к пластинам, чтобы электроны не вышли за пределы пластин? Длина пластин l =2 см, расстояние между ними d=1 см
(1 кэВ=1,610^-16 Дж).

Ответ: U_m=800 В.

ЗАДАЧИ ГРУППЫ С

1. Скорость течения реки по ее ширине меняется по закону u=Ax²+Bх+C, где (а – расстояние от берега, b – ширина реки), A=–4 м/с, B=–A, C=0,5 м/с. На какое расстояние снесет лодку течением при переправе, если скорость ее относительно стоячей воды равна u₁=2 м/с и направлена прямо к противоположному берегу? Ширина реки b=420 м.

Ответ: S=245 м.

2. В момент t=0 частица вылетает из начала координат в положительном направлении оси х. Ее скорость изменяется со временем по закону , – начальная скорость, модуль которой u₀=10 см/с, t=5 с. Найти зависимость координаты частицы от времени. Рассчитать: а) координату х частицы в моменты времени 6, 10, 20 с; б) моменты времени, когда частица будет находиться на расстоянии 10 см от начала координат.

Ответ: а) x=u₀t(1–t/2t); 0,24; 0 и –4 м; б) 1,1; 9 и 11 с.

3. Радиус-вектор движущейся точки А изменяется со временем t по закону где a и b – постоянные, и – орты осей x и y. Найти: а) уравнение траектории точки; б) зависимости от времени скорости , ускорения и модули этих величин; в) зависимость от времени угла j между векторами и .

Ответ: a)

б) , a=2b;

в)

4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом R=4 м, изменяется по закону а_n=a+bt+ct², где a, b, c – постоянные величины. Найти тангенциальное ускорение точки, путь, пройденный точкой за время t₁=6 c после начала движения, и полное
ускорение в момент времени t₂=2/3 с, если а=1 м/с², b=3 м/с³,
с=2,25 м/с⁴.

Ответ: а_t=3 м/с², s=66 м; а=5 м/с².

5. Частица движется в плоскости xy со скоростью где , – орты осей x и y соответственно, а и b – постоянные. В начальный момент частица находилась в точке x=y=0. Найти: a) уравнение траектории частицы y(x); б) радиус кривизны траектории в зависимости от координаты х.

Ответ: a) ; б) .

6. Два тела бросили одновременно: одно – вертикально вверх со скоростью u₁=25 м/с, другое – под углом a=30⁰ к горизонту со скоростью u₂=30 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти их относительную скорость во время движения.

Ответ: =28 м/с.

7. Из пушки выпустили последовательно два снаряда со скоростью u₀=250 м/с: первый – под J₁=60⁰ к горизонту, второй – под углом J₂=45⁰ (азимут один и тот же). Найти интервал времени между выстрелами, при котором снаряды столкнутся друг с другом.

Ответ: =11 с.

8. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве, по закону j=аt–bt³, где а=6 рад/с, b=2 рад/с³. Найти:
а) средние значения угловой скорости и углового ускорения за промежуток времени от t=0 до остановки; б) угловое ускорение в момент остановки тела.

Ответ: a) <w>=2а/3=4 рад/с; б) <e>= =6 рад/с².

9. При вращении махового колеса его угловое ускорение изменяется по закону e= - abw, а и b – постоянные. Найти: а) чему равна угловая скорость маховика через t_c после начала притормаживания, если в момент t=0 она была равна w₀? б) какой вид движения у маховика при t® ¥? в) как зависит от времени его угловое ускорение?

Ответ:

10. Твердое тело вращается с угловой скоростью =At +Bt² , где А=0,5 рад/с², В=0,06 рад/с³. Найти для момента t=10 с: а) модули угловой скорости и углового ускорения; б) угол между этими векторами.

Ответ: а) =8 рад/с; =1,3 рад/с; б) 17⁰.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: