Занятие 6. Специальная теория относительности

1. Элементы специальной теории относительности.

6. Основной закон релятивистской динамики материальной точки.

В специальной теории относительности (СТО) рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси y,y¢ и z,z¢ сонаправлены, а относительная скорость u₀ "штрихованной" системы координат К¢ относительно "нештрихованной" К направлена вдоль общей оси xx¢ (рис. 2.1).

Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

где l ₀– длина стержня в системе координат К¢, относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси x¢; l – длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью u₀; с – скорость плоской электромагнитной волны в вакууме.

где Dt₀– интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы К¢, измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); Dt – интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К.

где u_x¢, u_y¢, u_z¢ – компоненты скорости тела относительно системы К¢; u₀ – переносная скорость (скорость системы К¢ относительно К), u_x, u_y, u_z– компоненты абсолютной скорости тела (скорость тела относительно лабораторной системы К). В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.

Из приведенных формул можно получить соотношения для скоростей в системе К¢, выраженные через скорости в системе К:

где m₀– масса покоя; b – скорость частицы, выраженная в долях скорости света (b=u/c).

где T – кинетическая энергия частицы; m₀c²=E₀ – ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света и классической, если u<<c.

Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской

9. При неупругом столкновении релятивистских частиц с массой m₁и m₂ выполняются два закона сохранения:

б) закон сохранения релятивистского импульса

Изменение массы системы на

соответствует изменению энергии системы на

и наоборот.

Протон – ядро атома водорода, положительный заряд которого численно равен заряду электрона.

Нейтрон – элементарная нейтральная частица, входящая в состав сложных ядер.

a – частица (ядро атома гелия) состоит из двух протонов и двух нейтронов.

Мезон – нестабильная элементарная частица.

Дейтрон (дейтон) – ядро тяжелого изотопа водорода - дейтерия, содержит один протон и один нейтрон.

1. В чем заключается механический принцип относительности? В чем состоит ограниченность этого принципа?

2. Как записываются преобразования Галилея? Каким образом вводятся понятия движущейся К' (штрихованной) и неподвижной К (лабораторной) систем отсчета?

3. На основе преобразований Галилея: а) укажите относительные и инвариантные свойства пространства и времени; б) сравните показания движущихся и неподвижных часов; длины движущегося и неподвижного стержня. Получите правило сложения скоростей в нерелятивистской механике.

4. Покажите связь закона инерции с принципом относительности Галилея. Какие величины ньютоновской динамики инвариантны?

5. Сформулируйте постулаты специальной теории относительности (СТО) Эйнштейна. В чем отличие первого постулата СТО от принципа относительности в механике? Отличаются ли постулаты об общих свойствах пространства и времени в СТО от соответствующих классических?

6. В чем заключается проблема одновременности в релятивистской физике?

7. Как в СТО определяется "длина движущегося тела"? Что называется: собственной длиной; лоренцевым сокращением?

8. Запишите преобразования Лоренца. Покажите, что преобразования Галилея являются частным случаем преобразований Лоренца.

9. Рассмотрите следствия из преобразований Лоренца: относительность одновременности, сокращение масштаба, замедление времени.

10. Получите на основе преобразований Лоренца релятивистский закон сложения скоростей.

11. Запишите релятивистское выражение: а) для массы; б) для импульса; в) для кинетической энергии. Каковы особенности основного уравнения релятивистской динамики?

12. Каково содержание закона E=mc² (с – скорость света в вакууме)?

1.(17.1) При какой относительной скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составляет 25%?

2.(17.2) Какую скорость должно иметь движущееся тело, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?

3.(17.5) Мезон, входящий в состав космических лучей, движется со скоростью, составляющей 95% скорости света. Какой промежуток времени по часам земного наблюдателя соответствует одной секунде "собственного времени" мезона?

4.(17.9) До какой энергии можно ускорить частицы в циклотроне, если относительное увеличение массы частицы не должно превышать 5%? Задачу решить для: 1) электронов, 2) протонов, 3) дейтонов.

5.(17.10) Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его скорость составила 95% скорости света?

6.(17.12) Найти скорость мезона, если его полная энергия в
10 раз больше энергии покоя.

7.(17.18) Масса движущегося электрона вдвое больше его массы покоя. Найти кинетическую энергию электрона.

8.(17.19) Какому изменению массы соответствует изменение энергии на 4,19 Дж?

1.(1.81) a-частица имеет импульс P=2,7×10^-19 кгм/с. Какую кинетическую энергию нужно дополнительно сообщить a-частице, чтобы ее релятивистский импульс увеличился вдвое?

2.(1.82) Ядро гелия, обладая кинетической энергией 50 Мэв, при торможении потеряло половину этой энергии. Во сколько раз изменился релятивистский импульс ядра в результате торможения?

3.(1.83) Найти величину ускоряющей разности потенциалов, пройдя которую, протон будет иметь такую же массу, что и альфа-частица с кинетической энергией 1000 Мэв.

4.(1.84). Масса движущегося протона в два раза превышает его массу покоя. Найти полную и кинетическую энергию этого протона.

5.(1.85) Определить скорость, при которой релятивистский импульс частицы в два раза превышает ее ньютоновский импульс.

6.(1.86) До каких значений энергии можно ускорять частицы в циклотроне, чтобы увеличение масс частиц не превышало 10%? Решение провести для электронов и протонов.

7.(1.87) При движении протона произошло увеличение его релятивистского импульса в 3 раза. Во сколько раз изменилась его релятивистская масса, если начальный импульс протона р = 2,2×10^-19 кгм/с?

8.(1.88) Найти при какой скорости, выраженной в долях скорости света, релятивистская масса любой частицы в 3 раза больше ее массы покоя?

9.(1.89) Электрон движется со скоростью 0,6 с (с – скорость света). Какую работу необходимо совершить, чтобы увеличить скорость электрона до 0,8 с? Сравнить результат со значением, полученным для нерелятивистского случая.

10.(1.90) Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергия составляет две трети от энергии покоя.

1. Найти собственную длину стержня, если в лабораторной системе отсчета его скорость v=c/2, длина l =1,00 м и угол между ним и направлением движения Q=45⁰.

2. В системе К¢ находится квадрат, две стороны которого параллельны оси х. Определить острый угол j между его диагоналями в системе К, если система К¢ движется относительно К со скоростью u₀=0,95 c. Скорость направлена вдоль осей ОХ и ОХ^’.

3. Две частицы, движущиеся в лабораторной системе отсчета по одной прямой с одинаковой скоростью V=3c/4, попали в неподвижную мишень с интервалом времени Dt=50 нс. Найти собственное расстояние между частицами до попадания в мишень.

4. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями V₁=0,6 c и V₂=0,9 c по прямой, совпадающей с осью X. Определить их относительную скорость движения u₁₂в двух случаях: 1) частицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях.

5. Частица с массой покоя m₀в момент t=0 начинает движение под действием постоянной силы F. Найти зависимость от времени t скорости частицы и пройденного ею пути.

6. Частица с массой покоя m₀движется вдоль оси x К-системы по закону

, где a – некоторая постоянная, с – скорость света, t – время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета. Ответ: F=m₀c²/a.

7. Пучок релятивистских частиц с кинетической энергией Т падает на абсолютно поглощающую мишень. Сила тока в пучке I, заряд и масса покоя каждой частицы e, m₀соответственно. Оценить силу давления пучка на мишень и выделяющуюся в мишени мощность.

8. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета: одна со скоростью u₁=с/3, направленной по оси x, а другая – со скоростью u₂=2с/3, направленной по оси y. Найти: 1) результирующую скорость движения u в лабораторной системе отсчета; 2) их относительную скорость движения u.

9. Релятивистская частица с кинетической энергией Т=m₀c²
(m₀– масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу m налетающей частицы; 2) релятивистскую массу m¢ и массу покоя m₀¢ составной частицы; 3) кинетическую энергию составной частицы.

Примечание: для решения задачи воспользоваться теоретическими положениями п.9.

10. В системе K¢ покоится тонкостенный кубик, ребра которого совпадают с осями системы K¢. В кубике содержится идеальный газ. Найти скорость системы K¢, при которой концентрация газа, с точки зрения наблюдателя, покоящегося относительно системы K, будет больше на 25%, чем в системе K¢.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: