ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ – ВЗГЛЯД СО СТОРОНЫ

Катастрофы и анализ структурной устойчивости

Запишем динамическую модель произвольной системы в общем виде

где

- вектор состояния (внутренние параметры),

- управляющие (внешние) параметры. Исследуя поведение системы, мы прежде всего определяли стационарные состояния

и тем или иным способом анализировали, будет ли система оставаться в данном стационарном состоянии или покидает его, т.е. изучали устойчивость стационарных состояний. Кроме того, мы говорили, что при изменении одного или нескольких управляющих параметров прежнее стационарное состояние может терять устойчивость - это означало, что происходит неравновесный переход, то есть система переходит в другую фазу (образование или разрушение диссипативных структур, переход к турбулентности и т.д.). С точки зрения динамической модели, это означает, что перестраивается фазовый портрет системы, то есть система теряет структурную устойчивость – происходит бифуркация: вспомним, например ангармонический осциллятор или соответствующие химические реакции. Можно рассмотреть и более сложные случаи, когда меняются сразу два или более управляющих параметра - тогда задачу надо исследовать в многомерном пространстве управляющих параметров системы одной переменной (внутреннего параметра), размерность которой равна сумме числа управляющих параметров и переменных (например, при двух параметрах вместо точки бифуркации появляется линия бифуркаций), поэтому задача определения структурной устойчивости в системах, содержащих несколько переменных и управляющих параметров, сильно усложняется и быстро теряет наглядность.

Исследование динамических моделей в пространстве как внутренних, так и внешних параметров является предметом теории катастроф. Катастрофами называются скачкообразные изменения (внезапный ответ системы) при плавном изменении внешних условий, причём ими могут быть как равновесные фазовые превращения, так и неравновесные (динамические) фазовые переходы. В теории катастроф исследуются только градиентные системы, общую модель которых можно схематически представить в виде следующих уравнений:

При этом стационарные (равновесные) состояния определяются условием:

Французский математик Р.Тома доказал теорему, согласно которой для общего числа параметров (внутренних и управляющих) k 5 потенциальная функция системы

путём гладкой замены переменных может быть приведена к некоторой канонической форме. Разберём два примера исследования нарушений структурной устойчивости в простых системах, потенциал которых уже приведен к канонической форме:

Пример 1. Рассмотрим систему с одним управляющим параметром, потенциал которой можно выразить в форме:

где a – единственный управляющий параметр. Такого типа потенциал мы уже рассматривали для случая нелинейных химических систем. Форма этого потенциала при изменении параметра a качественно меняется, что показано на рис.10.1:

Рис.10.1. Задача с одним управляющим параметром в теории катастроф - форма потенциала.

Найдём параметры катастрофы, т.е. скачкообразного изменения формы потенциала, и вид сответствующего бифуркационного множества, для чего требуется определить прежде геометрическое место точек стационарного состояния на плоскости параметров q – a: dV/dq = q² + a = 0. Полученное уравнение описывает геометрическое место особых (стационарных) бифуркационных точек (точек, соответствующих решению полученного уравнения): видно, что оно имеет решение только в отрицательной полуплоскости, а в правой (положительной) полуплоскости особых точек нет (см. рис.10.2). В точке a = 0 происходит переход от отсутствия решений сразу к двум решениям, которую поэтому называют двукратно-вырожденной. Из вида потенциала (рис.10.1) следует, что положение двукратно-вырожденной точки находят решением уравнения d²V/dq²= 0, откуда q = 0 и a = 0. Эта особая двукратно-вырожденная бифуркационная точка и представляет собой искомое бифуркационное множество в пространстве управляющего параметра a (рис.10.2б), при этом в системе имеется катастрофа складки, в соответствии с формой стационарных состояний в простанстве одного параметра a:

Рис.10.2. Катастрофа типа «складка»: а – геометрическое место особых (стационарных) точек, б – диаграмма решений и точка бифуркации.

Пример 2. Рассмотрим задачу с двумя управляющими параметрами, при этом

потенциал системы может быть преведён к виду:

где a и b – управляющие параметры. Построим стационарную поверхность в пространстве параметров q – a – b, для чего решим стационарное уравнение:

Внешний вид поверхности равновесия (стационарности), определяемый этим уравнением, показан на рис. 10.3:

Рис.10.3. Катастрофа типа «сборки» в двухпараметрической задаче: а – поверхность равновесия в пространстве параметров; б – бифуркационное множество (сепаратриса) на плоскости a – b.

Предположим, что в системе присутствует катастрофа - проверим это, определив вид геометрического места двукратно-вырожденных особых точек в прастранстве параметров a – b, для чего решим соответствующее уравнение:

Подставив полученное значение а в уравнение стационарной (равновесной) поверхности, получим b = 2q². Таким образом, система уравнений

определяет положение бифуркационного множества на плоскости управляющих параметров a – b – в данном случае множество представляет собой линию, которая называется сепаратрисой, состоящую из двух симметрично расположенных ветвей, каждая из которых разделяет на плоскости параметров области с разным типом потенциала. Точка соединения ветвей сепаратрисы носит название трёхкратно-вырожденной особой точки, поскольку её положение определяется уравнением (как видно, она находится в начале координат):

откуда q = 0 и a = b = 0. Катастрофа канонической формы потенциала в данном примере, видимо, также из-за внешнего сходства поверхности равновесия с портновской сборкой носит название катастрофы сборки.

Итак, если система градиентная, то с помощью теории катастроф легко исследовать структурную устойчивость системы - найти точки, линии или поверхности бифуркационного множества, а значит, определить, где (при каких значениях управляющих параметров) расположена граница, разделяющая различные фазы (состояния) системы. Для этого прежде надо привести потенциал системы к каноническому виду и определить все n-кратно-вырожденные особые точки (n = 1,2…k, где k – общее количество параметров системы).

Итак, что надо сделать, чтобы исследовать в общем случае поведение неравновесной нелинейной системы? Несмотря на многообразие неравновесных процессов и сложность реальных систем, предыдущее рассмотрение показало, что возможен некоторый единый подход, позволяющий в ряде случаев получить интересующие нас данные относительно поведения нелинейных систем - этот подход можно попытаться выразить в виде краткого алгоритма, один из возможных вариантов которого мы приводим ниже:

1. Необходимо построить динамическую модель исследуемой системы, то есть представить динамику системы в виде дифференциальных уравнений по возможности так, чтобы число независимых уравнений было не меньше числа независимых переменных (внутренних параметров).

2. Решая стационарные уравнения, нужно определить особые точки, которые соответствуют стационарным или равновесным состояниям.

3. Если модель описывается градиентной системой уравнений, можно исследовать устойчивость стационарных состояний по форме потенциала или путём линейного анализа устойчивости (можно использовать локальный критерий Гурвица, см. приложение 1); если полное число переменных не более пяти можно, воспользоваться методами теории катастроф, а для неградиентных систем следует использовать глобальный критерий Ляпунова (см. приложение).

При анализе динамических моделей химических реакций мы молчаливо предполагали, что диффузия в реакционной зоне может осуществляться достаточно быстро – тогда подвод и отвод компонентов (реагентов) не лимитирует стадию химического реагирования, и система остаётся однородной, то есть гомогенной. Однако диффузию можно считать мгновенной только при высоких температурах или в специальных объектах, в которых есть каналы ускоренной диффузии, обычно же скорость диффузии заметно влияет на кинетику химических реакций, причём это относится не только к химическим системам: аналогичные явления имеют место в непрерывных средах, в которых под влиянием внешних воздействий происходят диссипативные процессы. Среды, в которых процессы диссипации зависят от процессов переноса, называются активными.

Чтобы изучить диссипативные процессы и возможные состояния активных сред, построим упрощённую модель среды: разобьём непрерывную среду на элементы и будем считать, что внешнее воздействие рассредоточено, т.е. каждый элемент можно считать отдельной системой, подверженной воздействию. Тогда запишем динамическую модель для отдельного элемента в привычном виде:

Так как элементы связаны между собой, то следует учесть наличие потоков J_q, соответствующих типу взаимодействия между элементами (поток тепла, поток вещества, поток зарядов и т.д.), тогда динамическое уравнение примет следующий вид:

Для среды, в которой присутствуют потоки диффузионного типа, полученное уравнение приобретёт вид:

где D – коэффициенты переноса (коэффициенты диффузии), которые не зависят от пространственных координат.

Отклик среды на внешнее воздействие будет зависеть от характера процессов, происходящих в каждом элементе, т.е. от вида функции F_j и от интенсивности внутренних взаимодействий, мерой которых являются коэффициенты переноса. Разберем поведение активных сред, содержащих два типа элементов (функций F_j), которые соответствуют наиболее часто встречающимся на практике активным средам.

Бистабильной называется среда, которая состоит из элементов, имеющих по два устойчивых (стабильных) стационарных состояния, причём переход из одного состояния в другое осуществляется жёстким возбуждением - элементы такой среды называются бистабильными, или триггерными.

Представим себе, что элемент среды – ячейка, в которой происходит процесс горения. При горении выделяется тепло, имеется теплообмен с соседними ячейками. Модель процесса горения, протекающего в ячейке, описывается уравнением теплопроводности:

где Q(T) – теплота горения (Дж/с); С – теплоемкость; γ – коэффициент теплообмена; Т₁ – температура окружающей среды.

Рис.11.1. Вид динамической функции F(T) для ячейки горения.

Схема работы ячейки горения. Ячейка горения имеет три стационарных состояния (рис.11.1): Т₁ – горение отсутствует, Т₃ – устойчивое горение, когда тепловыделение равно теплоотводу, и Т₂ – появляется как математическое следствие двух устойчивых стационарных состояний при Т₁ и Т₃ (вспомним, что устойчивость стационарных состояний можно определить по знаку тангенса угла наклона функции F(T) в особых точках).

Элемент среды может быть подвержен двум типам жёсткого внешнего воздействия: его можно перевести из состояния Т₁ в состояние Т₃ (т.е. зажечь) и из состояния Т₃ в состояние Т₁ (т.е. погасить). Оба воздействия носят характер жесткого возбуждения.

Если учесть взаимодействие таких ячеек, то уравнение теплопроводности следует записать следующим образом:

где

- коэффициент теплопроводности. Полученное уравнение является модельным для бистабильной среды, содержащей в качестве элементов ячейки горения.

Рассмотрим химический процесс, состоящий из двух звеньев:

Кинетическая модель этого процесса имеет вид

и носит название модели Шлегля. Рассматриваемая реакция протекает в каждом элементе распределённой среды реагентов. С учетом массопереноса между элементами среды модель следует записать следующим образом:

где Х – координата, вдоль которой распространяется взаимодействие элементов среды. Функция F(x) имеет 3 стационарных состояния и геометрически выглядит также, как F(Т) для ячейки горения. Реакцию можно жестким возбуждением запустить, подав в реакционную зону количество реагента х, большее некоторого порогового значения, или остановить, выведя весь реагент х из реакционной зоны.

Запишем общий для рассмотренных трёх случаев вид модели бистабильной среды:

Обозначим стационарные состояния модели следующим образом: q₁ и q₃ – устойчивые, а q₂ – неустойчивое стационарное состояние. Рассмотрим поведение бистабильной среды при наложении на нее внешнего возбуждения. Предположим, что стационарное состояние q₁ является более устойчивым, чем состояние q₃, тогда подверженные внешнему воздействию элементы среды будут стремиться к состоянию q₁ и потянут за собой своих соседей - по среде пройдёт волна перехода q₃ → q₁, которая называется волной переключения.

Рассмотрим распространение волны вдоль оси х. В уравнении заменим переменную t на

где с – скорость распространения волны переключения, t – время. Тогда

. Введём граничные условия:

что означает, что сначала вся система была в состоянии q ₃, а в конце перешла в состояние q₁, которое устойчивее. Уравнение среды в новых переменных запишется так:

Введем потенциал

, тогда уравнение среды примет вид:

Полученное уравнение по форме совпадает с уравнением движения частицы в потенциальном поле V с вязким трением, пропорциональным скорости (роль которой играет

). Переведём обозначения на язык механики: D (коэффициент диффузии) – это «масса частицы», с (скорость волны переключения) – «динамическая вязкость», q – «пространственная координата»,

- время. Адекватность динамических уравнений, как известно, свидетельствует о подобии явлений - поэтому, проследив, как будет двигаться частица, попробуем сделать выводы о поведении бистабильной среды.

Если «вязкое трение» отсутствует, т.е. с=0, то величина

- энергия «частицы». Тогда «частица», получив жёсткое возбуждение, достаточное для преодоления потенциального барьера при q₂, падая вниз, проскочит яму при q₁ и поднимется вверх по склону горы на уровень, соответствующий запасу её энергии, а затем станет двигаться обратно и опять перескочит потенциальный барьер, вернувшись в положение q₃ (см. рис.11.2):

Рис.11.2. К вопросу определения скорости волны переключения.

Если значение вязкости с велико, то частица под действием возбуждения не сможет проскочить потенциальный барьер и перейти в состояние q₁ – она застрянет на склоне. Существует единственное значение вязкости с = с₀, при котором частица, получив жёсткое возбуждение, попадает из q₃ в состояние q₁: при с₀ потеря энергии на трение должна быть в точности равна разности потенциала в точках q₁ и q₃

. Это значение с₀ и определяет скорость волны переключения.

Скорость волны переключения с₀ определяется только характеристиками среды, а не величиной внешнего воздействия. С уменьшением

с₀ убывает, при

волна пойдёт в другую сторону. Для произвольного вида функции F(q) нет аналитических способов расчета с₀. В частном случае, если F(q) представляет собой полином третьей степени, имеем:

Рассмотрим поведение активной среды в зависимости от начальных условий. Допустим, что в начальный момент времени среда неоднородна, т.е. часть ее находится в состоянии q₁, а часть – в q₃. Проследим за эволюцией начального состояния, при этом рассмотрим несколько основных случаев.

1. Начальное состояние среды незначительно отклонено от одного из стационарных состояний (см. рис. 11.3а). Тогда со временем вся среда переходит в ближайшее стационарное состояние.

2. Часть среды находится в состоянии q₁, часть – в состоянии q₃. Граница будет двигаться так, чтобы во всей системе установилось более устойчивое стационарное состояние (рис.11.3б).

3. Любое другое начальное состояние можно получить как комбинацию случаев 1 и 2 (рис.11.3в). Всегда в среде происходит релаксация к одному из стационарных состояний. Поэтому две столкнувшиеся волны гасят друг друга – аннигилируют.

4. Малые возмущения среды стремятся рассосаться (рис.11.3г), т.к. нахождение среды в одном стационарном состоянии оказывается энергетически более выгодным. Если начальное состояние не соответствовало наиболее устойчивому (т.е. состоянию с более глубоким минимумом потенциала), то, создав достаточно большое возмущение, её можно перевести в последнее.

Рис.11.3. Эволюция начальных распределений в бистабильной среде: а – случай 1, б – случай 2, в – случай 3, г – случай 4 (образование критического зародыша).

При анализе поведения среды обнаруживается аналогия с фазовыми превращениями первого рода. Пусть фазы соответствуют состояниям q₁ и q₃. Фаза q₁ отвечает абсолютному минимуму потенциала - при фазовых превращениях 1 рода это означает, что фаза стабильна. Состояние q₃ отвечает локальному минимуму потенциала и соответствует метастабильной фазе в равновесии. Образовавшийся зародыш стабильной фазы достаточно большого размера начинает расти и дает начало двум разбегающимся волнам переключения (фронт кристаллизации, например), после чего вся среда переходит в стабильное состояние. Критический размер зародыша определяется, как и в кинетике фазовых превращений, из баланса двух факторов: уменьшения (термодинамического) потенциала системы при переходе в более устойчивое состояние и наличия возмущения, которое повышает потенциал. Если оба состояния равнозначны (

), то возможно стационарное сосуществование двух фаз с плоским переходным слоем (аналог границы зерна в поликристалле), несмотря на то, что это повышает энергию системы. Когда размер системы много больше толщины переходного слоя, система может разбиться на произвольное количество областей – доменов, соответствующих разным фазам.

Среды, в которых возможно распространение одиночных волн, называются возбудимыми.

Рассмотрим вновь ячейку горения. Предположим, что в ней присутствует ингибитор, т.е. вещество, ухудшающее условия горения. Тогда тепловой эффект горения будет зависеть не только от температуры Т, но и от концентрации ингибитора - c_in (чем больше c_in, тем меньше Q). В этом случае имеем следующую модель процесса горения:

Если концентрация ингибитора не меняется в процессе горения, т.е. c_in играет роль внешнего параметра, среда остается бистабильной. При малых значениях c_in и Т > T₁ (см. рис.11.4) в среде распространяется волна зажигания; при тех же условиях, если c_in велико, в среде распространяется волна гашения.

Иначе среда реагирует на внешнее воздействие, если ингибитор выделяется в процессе горения, а затем уходит в окружающую среду. Зададим скорость изменения концентрации ингибитора без учета его диффузии в виде

где – характеристическое время релаксации, которое велико по сравнению с временем перехода от холодного состояния к горячему;

- равновесная концентрация ингибитора для данной температуры, монотонно растет с ростом Т.

Уравнение для ингибитора вместе с моделью среды описывает одиночную волну (уединенный бегущий импульс см. рис.11.4)?:

Рис.11.4. Распространение волны в возбудимой среде: а – изменение температуры в волне; б – изменение концентрации ингибитора в волне.

Действительно, при загорании происходит резкий рост температуры – это фронт импульса, волна загорания. Затем происходит постепенное накопление ингибитора, и температура снижается, пока не опустится до предельного значения, при котором ещё возможно горение: Т = Т₂. - тогда наступает резкий спад температуры, т.е. так называемая волна гашения, и состояние среды возвращается к исходному. Концентрация ингибитора меняется плавно, без скачков, что является следствием большого времени релаксации .

ПРИЛОЖЕНИЕ. Дополнительные темы: Устойчивость систем с n переменными. Критерии устойчивости. Функция Ляпунова.

Обобщим результаты, полученные для систем с одной и двумя переменными, на системы с произвольным количеством переменных:

Так же, как и раньше, определим стационарные значения q_j⁽^s⁾ из уравнений

Далее по установленной схеме придадим каждой из переменных возмущения

, подставим их в динамические уравнения, разложим динамические функции в ряд вблизи выбранной особой точки и оставим только линейные члены ряда. Получим систему из n обыкновенных дифференциальных уравнений, которую в сокращенной матричной форме можно записать в следующем виде:

Для нахождения p₁ – p_n запишем характеристическое уравнение этой системы:

Полученное алгебраическое уравнение n –ой степени в некоторых частных случаях (приведенное кубическое, биквадратное и т.д.) можно решить, найдя значения всех n корней. Однако общие выводы относительно устойчивости системы можно сделать, и не решая данного уравнения, используя общие свойства решений:

- если действительные части всех (!) корней p_i меньше нуля Re p_i < 0, то отклонения со временем затухают, т.е. соответствующая особая точка (стационарное состояние) устойчива;

- если хотя бы один из корней имеет Re p_i > 0, то все возмущения будут со временем неограниченно возрастать, т.е. особая точка неустойчива;

- если некоторые из корней имеют нулевую действительную часть, то система совершает периодические движения вблизи особой точки с неизменной амплитудой – это маргинальная устойчивость, как аналог не асимптотической устойчивости вблизи центра для систем с двумя переменными (иногда её называют безразличной устойчивостью).

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: