Принцип локального равновесия

Рассмотрим простую одномерную систему, скажем, нагревательное устройство – длинную трубчатую печь малого диаметра и длиной L >> r, где r – радиус печи. Пусть секция нагревателей печи, расположенная слева (рис. 4.1), включена и производит нагрев воздуха внутри печи. Секция нагревателей правой части печи отключена, поэтому воздух справа не греется. Тогда через некоторое время после начала опыта в печи за счёт процесса теплопереноса установится некоторое стационарный уровень нагрева в каждой части печи: очевидно, что слева (x = 0, см. рис.4.1) нагрев будет наибольшим, а справа (x = L) – наименьшим. Предположим, мы имеем датчик с прибором, который позволяет измерять температуру (термопара), и будем вносить этот датчик в различные зоны печи, расположенные на заданном расстоянии x от левого края печи (x = 0), и фиксировать показания температуры. По мере продвижения к значению x = L показания будут уменьшаться и точки на графике будут располагаться все ниже. Какую температуру мы здесь измеряем? Измерения относятся к той точке x, в которую помещена термопара, но значит ли это, что мы измеряем температуру в точке? Видимо, нет: надо учесть, что сама термопара имеет некоторый размер δx, который много меньше длины всего нагревательного устройства - поэтому мы лишь условно говорим, что измерение производится в «точке», однако сам спай измерительной термопары не точечный, пусть для примера δx = 1 мм.

Рис.4.1. Измерение температуры в длинной трубчатой печи с неоднородным

Если размер L достаточно большой, - скажем, 1 м, - то последовательное измерение температуры на каждом миллиметре длины печи позволяет построить плавную зависимость температуры от расстояния. Вместе с тем, каждая «точка» на этой зависимости имеет некоторый объём, т.е. ей соответствует определённый объём газа внутри печи. Сделаем оценку количества молекул в «точке» - считая, что диаметр r = 1 см, объём

В таком объёме газа при нормальных условиях содержится 8∙10¹⁸ молекул. Таким образом, рссматриваемая неравновесная система состоит из большого количества «физических точек» в измерениях, каждая из которых достаточно велика, чтобы рассматривать её как отдельную сложную систему.

Для построения зависимости температуры от координаты, которая является описанием данной неравновесной системы, нам потребовалось провести реальные измерения с максимально возможной для нашего метода точностью. При этом сам факт измерения температуры в «физической точке» опирается на предположение, что температура внутри этой точки меняется настолько мало, что её можно считать постоянной - но тогда «физические точки» неравновесной системы можно считать самостоятельными термодинамическими системами и применять к ним все законы «нормальной» равновесной термодинамики. Таким образом, можно сформулировать некоторый принцип, позволяющий использовать законы «нормальной» термодинамики для неравновесных систем - это принцип локального равновесия: любая неравновесная макроскопическая система может быть разбита на части, малые по сравнению с самой этой системой, но содержащие очень большое количество частиц (элементов), где каждая из малых частей системы в любой момент времени находится в состоянии равновесия и характеризуется своими температурой, давлением, энтропией. Таким образом, в соответствии с принципом локального равновесия, к разбиению на малые части предъявляются следующие требования:

1. Части должны быть достаточно малыми, т.е. δx << L – это требование позволяет использовать методы математического анализа при описании процессов в неравновесной системе, состоящей из «физических точек».

2. Части должны содержать большое количество частиц, т.е. δx >> d, где d – межатомное (межмолекулярное) расстояние. Это требование предполагает возможность описания процессов в «физической точке» с помощью термодинамических законов, которые пригодны для сложных систем, состоящих из большого числа элементов.

3. Есть ещё одно требование, которое содержится в принципе локального равновесия, связанное с возможностью изменения параметров неравновесной системы не только в пространстве, но и во времени: время релаксации (время восстановления равновесного состояния) в «физической точке» t _рел (малой части системы, которая должна в любой момент времени находится в равновесии) должно быть намного меньше характеристического времени изменения внешних параметров системы τ, т.е. t _рел << τ.

Оценки применимости принципа локального равновесия показывают, что он пригоден почти для всех задач, которые возникают при анализе неравновесных систем и процессов: например, его можно использовать без ограничения для областей II и III диаграммы Бокштейна, а в некоторых случаях и для области IV.

Принцип локального равновесия позволяет локально использовать для описания неравновесных систем уравнения классической термодинамики. Как это осуществляется?

Во-первых, вместо термодинамических параметров для всей системы вводятся плотности этих параметров, т.е. значения параметров в единице объёма системы (в «физической точке») при следующем переходе, аналогичным переходу в механике сплошной среды (что также позволяет объединить эти два подхода в моделировании):

Внутренняя энергия U [Дж] → Плотность внутренней энергии u [Дж/м³],

Энтальпия H [Дж] → Плотность энтальпии h [Дж/м³],

Энергия Гиббса G [Дж] → Плотность энергии Гиббса g [Дж/м³],

Энтропия S [Дж/К] → Плотность энтропии s [Дж/м³К]

Такой переход даёт возможность записать основное уравнение неравновесной термодинамики – уравнение Гиббса, объединяющее 1-ое и 2-е начала термодинамики через плотности термодинамических параметров неравновесной системы:

где dv = (δx)³ – объём «физической точки», то есть элемента неравновесной термодинамической системы, μ_i и c_i – химический потенциал и концентрация i –го компонента системы в данной точке.

Для неравновесной системы все величины, входящие в уравнение Гиббса, являются функциями координат в заданный момент времени. Поэтому, во-вторых, для нахождения значения какой-либо экстенсивной термодинамической величины, то есть для всей системы, надо просуммировать её значения по всему объему системы V – тогда, например, энтальпия системы H равна:

В-третьих, термодинамические параметры в неравновесных системах зависят не только от координат, но и от времени - чтобы учесть эту зависимость при анализе неравновесных процессов, необходимо использовать величины, которые имеют размерности скоростей изменения параметров. Эти величины в физике тоже известны - это потоки через разные поверхности: в частности, потоки энергии I_Q, имеющие размерность Дж/м²с, или потоки вещества I_i (поток i –го компонента) с размерностью кг/м²с. Потоки, проходящие через сложную неравновесную систему, носят название термодинамических потоков, а причины, вызывающие их возникновение, естественно называют термодинамическими силами и обозначают X_j, где индекс j указывает, что данная термодинамическая сила является причиной возникновения j- го потока.

В-четвёртых, учёт сохранения энергии и вещества в неравновесной системе должен включать в себя зависимости от координат и времени соответствующих плотностей (потоков, концентраций c_i) для каждого компонента системы - этой цели служат балансовые уравнения, которые называются уравнениями непрерывности (неразрывности). Например, для частных случаев распространения тепловой энергии и i -го компонента вещества уравнения непрерывности имеют вид:

Данная форма записи уравнений непрерывности соответствует отсутствию источников энергии и вещества в данной системе, когда изменение их плотностей происходит только вследствие потоков системы.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: