GfВведение в математический анализ

GfВведение в математический анализ

План

Множества. Понятие функции, ее области определения и множества значений. Способы задания функции. Основные свойства функции. Понятие обратной, сложной функции. Приложение функций в экономике.

Числовые последовательности. Предел последовательности. Число е, применение в экономике (формулы сложных и непрерывных процентов).

Предел функции. Замечательные пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы функций. Непрерывность функций, классификация точек разрыва.

Множества

Понятие множества считается первоначальным, неопределенным.

Определение 1. Под множеством будем понимать совокупность каких-либо объектов произвольной природы.

Объекты или предметы, из которых состоят множества, называются элементами множества.

Множества обозначают прописными латинскими буквами А, В, …, X, У, …, а элементы множества – строчными латинскими буквами а, b, …, x, y, ….

Если элемент x является элементом множества А, то пишут , если y не является элементом множества А, то пишут .

Определение 2. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Æ.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества. Например, запись А= {1, 2, 3} означает, что множество состоит из элементов 1, 2 и 3; запись означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) отрицательных чисел.

Определение 3. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

Обозначается .

Определение 4. Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Равенство множеств А и В обозначается .

Операции над множествами

1. Объединением множеств А и В называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежит хотя бы одному из множеств А или В.

.

2. Пересечением множеств А и В называется множество , содержащее те и только те элементы, которые принадлежат обоим множествам одновременно.

.

3. Разностью множеств А и В называется множество , содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

.

4. Декартовым произведением множеств А и В называется множество , содержащее всевозможные упорядоченные пары (x,y), где , .

.

Замечание. Если А = В, то называется декартовым квадратом и обозначается , т.е. .

Пример. Рассмотрим числовые множества:

1. N= {1, 2, 3, …, n, …} – множество натуральных чисел;

2. Z= { …, –2, –1, 0, 1, 2, …, } – множество целых чисел;

3. Q= – множество рациональных чисел;

4. R – множество действительных чисел.

Между этими множествами существует соотношение: .

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.

Основные свойства функции

Средствами элементарной математики для функции y = f (x) с областью определения D (f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1. Нули и знак функции.

Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции,т.е. нули функции являются корнями уравнения f (x)=0.

Если f (x) >0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.

Если f (x) <0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.

В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.

2. Четность или нечетность функции.

Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодичность функции.

Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что для выполня­ются условия:

1) ;

2) f (x – Т) = f (x + Т) = f (x).

Число Т называется периодом функции.

Заметим, что если Т является периодом функции f (x), то число nT, где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом.

4. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Х D (f), если для любых значений таких, что < , справедливо неравенство f (x₁) < f (x₂) (f (x₁) > f (x₂)).

Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.

5. Ограниченность функции.

Определение 10. Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве Х D (f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)| M.

Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми y = M и y = – M.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f (x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f (x) и записывается: .

Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.

Замечание. Функция y = f (x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.

Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f (x):

1. Из уравнения y = f (x) выражаем ;

2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.

Графики взаимно обратных функций y = f (x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Понятие сложной функции

Пусть y = f (u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D₁, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:

.

Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:

Числовые последовательности

Определение 11. Числовая последовательность – функция натурального аргумента, т.е. функция вида .

Числовая последовательность обозначается: или , или .

Числа называются членами последовательности, нижний индекс означает номер элемента. Число называется n-м или общим членом последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Так как последовательность является числовой функцией, то к ней применимо большинство понятий, справедливых для числовых функций (ограниченность, монотонность и др.).

Определение 12. Пусть и – две числовые последовательности. Суммой, разностью, произведением и отношением этих последовательностей называются числовые последовательности , члены которых образованы по правилу: .

Предел последовательности

Определение 13. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех n > N члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут:

Таким образом,

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.

Неравенство равносильно неравенству .

Определение 14. Интервал вида , где называется - окрестностью или просто окрестностью точки а числовой оси.

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых n > N, попадут в -окрестность точки.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а содержатся почти все члены этой последовательности, а вне окрестности может оказаться лишь конечное их число.

Теорема 1. Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами:

1. сходящаяся последовательность может иметь только один предел;

2. сходящаяся последовательность ограничена (обратно: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится);

3. если последовательности и сходятся к числам a и b соответственно, т. е. , то

.

Определение 15. Последовательность называется бесконечно большой, если

При этом последовательность называется положительной бесконечно большой, если и отрицательной бесконечной большой, если .

Определение 16. Последовательность называется бесконечно малой, если

Число е, применение в экономике

Определение 17. Числом е (число Эйлера) называется пре­дел , где 2,71828… – иррациональное число.

К использованию числа e приводит анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и так далее. Число e используется так же при решении экономических задач.

Процентом P называется сумма, выплачиваемая за использование предоставленных средств . Тогда величина , выраженная в процентах, называется процентной ставкой. По истечению установленного срока накопленная сумма составит:

где называется удельной процентной ставкой. Если в дальнейшем на накопленную сумму процент не начисляется, то процент называется простым, а накопленная сумма через n лет составит

Процент называется сложным, если на очередной период процент начисляется на всю накопленную сумму . В этом случае, накопленная за Т лет сумма , определяется по формуле

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Задача. Пусть вклад денежных единиц положен в банк под p процентов годовых. Найти размер вклада через Т лет при условии, что начисление процентов производится n раз в год.

Решение. В результате одноразового начисления процентов величина вклада станет равной

где – процент начисления за часть года.

За год проценты на вклад будут начислены n раз. Воспользовавшись формулой сложных процентов, получим величину вклада через год:

Через T лет величина вклада окажется равной

Предположив, что , получим величину вклада при непрерывном начислении процентов:

Зависимость величины вклада от времени имеет экспоненциальный характер.

Формула завышает вклад по сравнению с тем, который рассчитан по формуле сложных процентов.

Предел функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Дадим определение конечного предела функции y = f (x) при на языке последовательностей (по Гейне).

Определение 18. Число A называется пределом функции y = f (x)в точке , если для любой последовательности точек (), сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается: .

Таким образом,

Геометрический смысл предела функции означает, что для всех x, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Из определения 18 следует, что функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Замечание. Определение 18 предела функции y = f (x) для случая, когда аргумент перепишется в виде:

Дадим еще одно определение конечного предела функции при на языке «» (по Коши).

Определение 19. Число A называется пределом функции y = f (x)в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Таким образом, .

Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.

Геометрический смысл определения конечного предела состоит в следующем: для любой -окрестности точки А найдется -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции y = f (x) попадут в -окрестность точки А, т.е. точки графика функции y = f (x)будут заключены в полосе .

Замечание. Для случая, когда аргумент в определении 19 вместо пишут , т.е.

Если , то пишут , если , то пишут .

Теорема 2. Если функции f (x) и g (x) в точке имеют конечные пределы, т.е. , то

.

Эта теорема верна для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Теорема 3. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки), и для всех х () из этой окрестности выполняется: и , тогда .

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел:

Следствия.

1. Второй замечательный предел:

или

.

Следствия.

В частности, при a = e имеем

В частности, при a = e имеем

План

Определение производной. Геометрический и физический смысл производной. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Правила дифференцирования функций. Дифференцирование сложной и обратной функций. Таблица производных основных элементарных функций. Производная неявной и параметрически заданной функций.

Определение и геометрический смысл дифференциала, приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Производные высших порядков явно заданной функции, неявно и параметрически заданной функций. Дифференциалы высших порядков.

Основные теоремы дифференциального исчисления. Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя. Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций.

Исследование функций с помощью производных: условия возрастания и убывания функции. Понятие экстремума. Выпуклость графика функции и точки перегиба. Асимптоты графика функции.

Применение производных в экономике.

Определение производной

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестности точки . Если фиксированное значение аргумента получает приращение (положительное или отрицательное, и также принадлежит окрестности точки ), то приращение функции определяется выражением

Определение 1. Производной функции у = f (x)в произвольной фиксированной точке называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная функции у = f (x)в точке обозначается:

Таким образом,

(1)

Производная функции у = f (x)в произвольной точке x обозначается:

При каждом конкретном числовом значении x производная функции у = f (x)(если она существует при данном x) есть некоторое число. Значениям переменной x ставятся в соответствие определенные значения переменной . Следовательно, производная данной функции есть некоторая функция аргумента x.

Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Таблица производных основных элементарных функций

Для вычисления производных нужно знать лишь правила дифференцирования и формулы дифференцирования основных элементарных функций.

Формула Тейлора

Пусть функция f имеет в некоторой окрестности точки производные до n -го порядка включительно. Тогда для любой точки х из этой окрестности имеет место равенство:

где называется остаточным членом. В курсе математического анализа доказывается, что . Такой остаточный член называется остаточным членом в форме Пеано. Тогда последнее равенство можно переписать в виде:

(11)

Полученная формула разложения функции по степеням с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Тейлора.

В частности, при формула (11) примет вид:

(12)

Формула разложения функции по степеням x с остаточным членом в форме Пеано называется формулой Маклорена.

Таким образом, поведение любой n раз дифференцируемой функции в окрестности точки (в частности, ) можно описать многочленом достаточно точно, а при со сколь угодно высокой степенью точности.

Понятие экстремума

Определение 5. Точка называется точкой максимума (минимума) функции y = f (x), если существует такая окрестность точки , что для всех x () из этой окрестности выполняется неравенство .

Значение функции в точке максимума (минимума) функции называется максимумом (минимумом) данной функции.

Максимум (минимум) функции называется экстремумом этой функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.

Теорема 7 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f (x) непрерывна в некоторой окрест­ности точки и имеет в этой точке экстремум, то ее произ­водная в этой точке равна нулю или не существует.

Точки, в которых производная функции y = f (x) обращается в нуль или не существует, называются критическими точками или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная функции y = f (x) обращается в нуль, называются стационарными.

Теорема 8 (достаточное условие экстремума). Пусть – критическая точка непрерывной функции y = f (x). Если при переходе через точку меняет свой знак с «+» на «–», то – точка максимума; если при переходе через точку меняет свой знак с «–» на «+», то – точка минимума.

Замечание. Экстремум функции называется также локальным экстремумом, в отличие от глобального экстремума – наибольшего (наименьшего) значения, которое функция может принимать в области ее определения. Чтобы найти глобальный экстремум функции y = f (x), заданный на отрезке [ a; b ], нужно сравнить значения f (a), f (b) с ее значениями в точках возможного экстремума на [ a; b ] и выбрать наибольшее (наименьшее) из них.

Асимптоты графика функции

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограни­ченно приближается точка кривой при неограниченном уда­лении ее от начала координат.

Асимптоты могут быть вертикальными и наклонными (горизонтальными).

Определение 8. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности, т.е. или .

Очевидно, что непрерывные на R функции вертикальных асимптот не имеют; такие асимптоты существуют только в точках разрыва второго рода функции y = f (x).

Определение 9. Прямая y = kx + b называется наклонной (если k =0 – горизонтальной) асимптотой графика функции y = f (x) при (), если функцию f (x) можно представить в виде , где .

Теорема 11. Для того чтобы график функции y = f (x) имел наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:

. (13)

Замечание. При нахождении наклонных асимптот графика функции возможны следующие случаи: 1) оба предела (13) существуют и не зависят от знака бесконечности, тогда прямая y = kx + b называется двусторонней асимптотой; 2) оба предела (13) существуют, но при и при они различны, тогда имеем две односторонние наклонные асимптоты; 3) если хотя бы один из пределов (13) не существует, то наклонных асимптот нет.

План

Определение функции нескольких переменных, область определения. Некоторые виды функций нескольких переменных (функция полезности, функция Кобба-Дугласа). Линии уровня. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции нескольких переменных.

Частные производные первого и высших порядков. Полный дифференциал, его применение к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков. Производная по направлению, градиент функции.

Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области. Условный экстремум.

Метод наименьших квадратов. Функции нескольких переменных в задачах экономики.

Линии уровня

Определение 3. Линией уровня функции z = f (x; y) называ­ется множество всех точек плоскости Oxy, в которых функция z принимает постоянное значение, то есть f (x; y)= С, где С – постоянная.

Число С в этом случае называется уровнем.

Линия уровня может быть получена при пересечении графика функции z = f (x, y) с плоскостью z = С, параллельной плоскости Oxy. Затем эту линию следует спроектировать на плоскость Oxy.

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов относится к методам аппроксимации, или приближенного восстановления функции по известным ее значениям в ряде точек. В экономической практике часто требуется представить наблюдаемые (измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При этом предполагается, что вид функциональной зависимости известен и требуется определить только параметры этой зависимости.

Пусть в ходе исследования (например, покупательского спроса) получена следующая таблица, где x – аргумент (цена товара), а y – функция (количество товара):

x				…
y				…

Требуется по этим табличным данным получить функциональную зависимость (кривую спроса). Предположим, что функциональная зависимость линейная: y=ax+b.

Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение параметров a, b этих зависимостей из условия минимума суммы квадратов отклонений:

для линейной зависимости

Тогда из условий получаются формулы для определения коэффициентов линейной зависимости:

План

Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям.

Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей.

Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: