|
|
Основы интегрального исчисленияПлан Первообразная функции и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы интегрирования: непосредственное интегрирование, метод подстановки, интегрирование по частям. Рациональные дроби. Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических функций. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Определенный интеграл. Основные свойства определенного интеграла. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница. Основные методы вычисления определенного интеграла (замена переменной, интегрирование по частям). Геометрические приложения определенного интеграла. Некоторые приложения определенного интеграла в экономике. Несобственные интегралы (интегралы с бесконечными пределами интегрирования, интегралы от неограниченных функций). Первообразная функции и неопределенный интеграл В интегральном исчислении основной задачей является нахождение функции y = f (x) по ее известной производной Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на интервале (a, b), если для любого Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [ a, b ] функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную F (x). В дальнейшем будем рассматривать непрерывные на отрезке функции. Теорема 2. Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b), то множество всех первообразных задается формулой F (x)+ С, где С – постоянное число. Доказательство. Функция F (x)+ С является первообразной функции f (x), так как Пусть Ф (x) – другая, отличная от F (x) первообразной функции f (x), т. е.
а это означает, что
где С – постоянное число. Следовательно, Определение 2. Множество всех первообразных функций F (x)+ С для функции f (x) называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом Таким образом, по определению
В формуле (1) f (x) называется подынтегральной функцией, f (x) dx – подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции. Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство кривых
Основные свойства неопределенного интеграла Рассмотрим свойства неопределенного интеграла, вытекающие из его определения. 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
Доказательство. Пусть
2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной:
Доказательство. Действительно, 3. Постоянный множитель a (
4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
5. Если F (x) – первообразной функции f (x), то
Доказательство. Действительно, 6 (инвариантность формул интегрирования). Любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной:
где u – дифференцируемая функция.
Таблица основных неопределенных интегралов Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, то большинство из приводимых формул может быть получено обращением соответствующих формул дифференцирования. Другими словами, таблица основных формул интегрирования получается из таблицы производных элементарных функций при обратном ее чтении (справа налево). Приведем таблицу основных неопределенных интегралов. (Отметим, что здесь, как и в дифференциальном исчислении, буква u может означать как независимую переменную (u = x), так и функцию от независимой переменной (u = u (x)).)
Интегралы 1–12 называются табличными. Некоторые из приведенных выше формул таблицы интегралов, не имеющие аналога в таблице производных, проверяются дифференцированием их правых частей.
  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...  Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
.
выполняется равенство: 
или 
.
.
. Тогда 
имеем
,
.
(1)
знаком неопределенного интеграла.
(каждому числовому значению С соответствует определенная кривая семейства). График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой. Они не пересекаются между собой и не касаются друг друга. Через каждую точку плоскости проходит только одна интегральная кривая. Все интегральные кривые получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси Оy.
и 
.
) можно выносить за знак неопределенного интеграла:
