|
|
Основные методы интегрированияНепосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием. При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»): 1. 2. 3. Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Пусть требуется вычислить интеграл
Формула (2) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x. Иногда целесообразно выбирать подстановку
Другими словами, формулу (2) можно применять справа налево. Интегрирование по частям. Пусть u = u (x) и v = v (x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда
или
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям. 1. Интегралы вида 2. Интегралы вида 3. Интегралы вида
Рациональные дроби Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. всякая дробь вида
Определение 4. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. n < m; в противном случае (если Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):
где Так как интегрирование многочлена не представляет затруднений, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. Определение 5. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:
Здесь A, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь
где Для нахождения коэффициентов разложения (4), чаще всего применяют методы неопределенных коэффициентов и частных значений. Метод неопределенных коэффициентов Суть метода такова: в правой части равенства (4) приведем дроби к общему знаменателю Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях x этих многочленов были равны. Учитывая это приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему m линейных уравнений для нахождения m неизвестных коэффициентов Метод частных значений При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x, можно придать переменной x несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби Замечание. Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать x ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях x.
  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, который не является табличным. Сделаем подстановку 
, откуда 
На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:
(2)
, тогда
Интегрируя это равенство, получим
(3)
к вычислению интеграла 
, который может оказаться более простым, чем исходный.
, где 
– многочлен степени n, а k – некоторое число. Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить 
и применить формулу (3) n раз.
где 
(a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.
) рациональная дробь называется неправильной.
– многочлен-частное (целая часть) дроби 
; 
– остаток (многочлен степени n < m).
не имеет действительных корней, т. е. 
, где 
, можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:
(4)
– некоторые действительные числа.
и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену 
.
.