Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов, основанное на приведении подынтегрального выражения к табличной форме и использовании свойств неопределенного интеграла, называется непосредственным интегрированием.

При сведении данного интеграла к табличному часто используются следующие преобразования дифференциала (операция «подведения под знак дифференциала»):

1.

2.

3.

Интегрирование подстановкой (заменой переменной). Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т.е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл , который не является табличным. Сделаем подстановку , откуда На основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

(2)

Формула (2) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t назад к переменной x.

Иногда целесообразно выбирать подстановку , тогда

Другими словами, формулу (2) можно применять справа налево.

Интегрирование по частям.

Пусть u = u (x) и v = v (x) – функции, имеющие непрерывные производные. Тогда Интегрируя это равенство, получим

или

(3)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. Она дает возможность свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым, чем исходный.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида , где – многочлен степени n, а k – некоторое число. Чтобы найти эти интегралы, достаточно положить и применить формулу (3) n раз.

2. Интегралы вида где – многочлен степени n. Чтобы найти эти интегралы, нужно применить формулу (3), принимая за u функцию, являющуюся множителем при .

3. Интегралы вида (a, b – числа). Они вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Рациональные дроби

Определение 3. Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. всякая дробь вида

Определение 4. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. n < m; в противном случае (если ) рациональная дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной рациональной дроби (это представление достигается путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов):

где – многочлен-частное (целая часть) дроби ; – остаток (многочлен степени n < m).

Так как интегрирование многочлена не представляет затруднений, то интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей.

Определение 5. Простейшей дробью называется правильная рациональная дробь одного из следующих четырех типов:

Здесь A, a, p, q, M, N – действительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней, т. е.

Теорема 3. Всякую правильную рациональную дробь , где , можно единственным образом разложить на сумму простейших дробей:

(4)

где – некоторые действительные числа.

Для нахождения коэффициентов разложения (4), чаще всего применяют методы неопределенных коэффициентов и частных значений.

Метод неопределенных коэффициентов

Суть метода такова: в правой части равенства (4) приведем дроби к общему знаменателю и приравняем многочлен, получившийся в числителе, многочлену .

Для тождественного равенства двух многочленов необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях x этих многочленов были равны. Учитывая это приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества. Имеем систему m линейных уравнений для нахождения m неизвестных коэффициентов .

Метод частных значений

При нахождении неопределенных коэффициентов вместо того, чтобы сравнивать коэффициенты при одинаковых степенях x, можно придать переменной x несколько частных значений (по числу неопределенных коэффициентов) и получить таким образом систему уравнений относительно неопределенных коэффициентов. Особенно выгодно применять этот метод в случае, когда корни знаменателя рациональной дроби просты и действительны. Тогда оказывается удобным последовательно полагать x равным каждому из корней знаменателя.

Замечание. Иногда для нахождения неопределенных коэффициентов удобно применять комбинацию указанных выше методов, т. е. придавать x ряд частных значений и приравнивать коэффициенты при некоторых степенях x.

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: