Уравнения, допускающие понижение порядка

Существует три вида уравнения , которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.

1. Уравнения вида

(12)

Введем новую функцию p(x) путем замены . Тогда и получаем уравнение первого порядка . Решив его, т. е. найдя функцию p=p(x), решим затем уравнение Получим общее решение уравнения (12).

Замечание. На практике при решении уравнения (12) будем поступать иначе. Порядок в уравнении будем понижать непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения.

2. Уравнения вида

(13)

т. е. уравнение, не содержащее явно искомой функции y.

Обозначим , где – новая неизвестная функция. Тогда и уравнение (13) принимает вид

.

Пусть – общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену , получаем . Для отыскания y достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13) будет иметь вид

.

Частным случаем уравнения (13) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную x. Оно интегрируется тем же способом:

. Получается уравнение с разделяющимися переменными.

3. Уравнения вида

(14)

т. е. уравнение, не содержащее независимой переменной x.

Для понижения порядка уравнения введем новую функцию , зависящую от переменной y, полагая . Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что :

,

т. е. . После замены уравнение (14) запишется в виде:

Пусть – общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену , получаем – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, найдем общий интеграл данного дифференциального уравнения

Частным случаем уравнения (14) является уравнение

.

Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки .

Линейные дифференциальные уравнения

Второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение 12. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

(15)

где y – искомая функция, а , и – известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, b).

Если , то уравнение (15) называется линейным однородным уравнением. Если же функция не равна тождественно нулю, то уравнение (15) называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (15) относительно второй производной, то легко видеть, что оно является частным случаем уравнения и удовлетворяет условиям теоремы Коши. Поэтому для любых начальных условий (11) это уравнение имеет единственное решение задачи Коши.

Рассмотрим частный случай уравнения (15), когда функции и – постоянные величины, т. е.

Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Линейные однородные уравнения второго порядка

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка

,(16)

где p и q – вещественные числа.

Можно показать, что при определенных условиях функция , где k –некоторое число, является решением уравнения (16). Действительно, подставляя функцию и ее производные в уравнение (16), получим

Сокращая обе части этого равенства на , получаем квадратичное уравнение относительно k

. (17)

Уравнение (17) называется характеристическим уравнением для уравнения (16). Заметим, что если число является корнем уравнения (17), то функция есть решение однородного уравнения (16). Таким образом, в зависимости от корней и характе­ристического уравнения (17) получаем общее решение уравнения (16). Таким образом, справедлива следующая

Теорема 3. 1. Если корни характеристического уравнения (17) различные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

2. Если корни уравнения (17) равные действительные числа, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

;

3. Если корни уравнения (17) комплексные, т. е. , то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид

.

Неоднородные дифференциальные уравнения

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: