|
|
Уравнения, допускающие понижение порядкаСуществует три вида уравнения 1. Уравнения вида
Введем новую функцию p (x) путем замены Замечание. На практике при решении уравнения (12) будем поступать иначе. Порядок в уравнении будем понижать непосредственно путем последовательного интегрирования данного уравнения. 2. Уравнения вида
т. е. уравнение, не содержащее явно искомой функции y. Обозначим
Пусть
Частным случаем уравнения (13) является уравнение
не содержащее также и независимую переменную x. Оно интегрируется тем же способом:
3. Уравнения вида
т. е. уравнение, не содержащее независимой переменной x. Для понижения порядка уравнения введем новую функцию
т. е.
Пусть
Частным случаем уравнения (14) является уравнение
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки
Линейные дифференциальные уравнения Второго порядка с постоянными коэффициентами Определение 12. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
где y – искомая функция, а Если Рассмотрим частный случай уравнения (15), когда функции
Уравнение такого вида называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные уравнения второго порядка Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
где p и q – вещественные числа. Можно показать, что при определенных условиях функция
Сокращая обе части этого равенства на
Уравнение (17) называется характеристическим уравнением для уравнения (16). Заметим, что если число Теорема 3. 1. Если корни характеристического уравнения (17) различные действительные числа, т. е.
2. Если корни уравнения (17) равные действительные числа, т. е.
3. Если корни уравнения (17) комплексные, т. е.
Неоднородные дифференциальные уравнения   Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
, которые при помощи замены переменной (искомой функции) сводятся к уравнениям первого порядка.
(12)
. Тогда 
и получаем уравнение первого порядка 
. Решив его, т. е. найдя функцию p = p (x), решим затем уравнение 
Получим общее решение уравнения (12).
(13)
, где 
– новая неизвестная функция. Тогда 
.
– общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену 
, получаем 
. Для отыскания y достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (13) будет иметь вид
.
. Получается уравнение 
с разделяющимися переменными.
(14)
, зависящую от переменной y, полагая 
. Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что 
:
,
. После замены уравнение (14) запишется в виде:
– общее решение полученного дифференциального уравнения первого порядка. Сделав обратную замену 
, получаем 
– дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируя его, найдем общий интеграл данного дифференциального уравнения
.
.
(15)
, 
и 
– известные функции, непрерывные на некотором интервале (а, b).
, то уравнение (15) называется линейным однородным уравнением. Если же функция 
не равна тождественно нулю, то уравнение (15) называется линейным неоднородным уравнением. Если разрешить уравнение (15) относительно второй производной, то легко видеть, что оно является частным случаем уравнения 
и 
,(16)
, где k –некоторое число, является решением уравнения (16). Действительно, подставляя функцию 
и ее производные 
в уравнение (16), получим
, получаем квадратичное уравнение относительно k
. (17)
является корнем уравнения (17), то функция 
есть решение однородного уравнения (16). Таким образом, в зависимости от корней 
и 
характеристического уравнения (17) получаем общее решение уравнения (16). Таким образом, справедлива следующая
, то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид
;
, то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид
;
, то общее решение однородного дифференциального уравнения (16) имеет вид
.