Применение функций в экономике

В экономике наиболее часто используются следующие функции:

1. Функция полезности – зависимость полезности, т.е. результата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности) этого действия;

2. Производственная функция – зависимость результата производственной деятельности от обусловивших его факторов;

3. Функция выпуска – зависимость объема производства от наличия или потребления ресурсов;

4. Функцияиздержек – зависимость издержек производства от объема продукции;

5. Функции спроса, потребления и предложения – зависимость объема спроса, потребления и предложения на отдельные товары или услуги от различных факторов (например, цены, дохода и т. д.);

и другие.

Числовые последовательности

Определение 11. Числовая последовательность – функция натурального аргумента, т.е. функция вида .

Числовая последовательность обозначается: или , или .

Числа называются членами последовательности, нижний индекс означает номер элемента. Число называется n-м или общим членом последовательности, а формула называется формулой общего члена последовательности.

Так как последовательность является числовой функцией, то к ней применимо большинство понятий, справедливых для числовых функций (ограниченность, монотонность и др.).

Определение 12. Пусть и – две числовые последовательности. Суммой, разностью, произведением и отношением этих последовательностей называются числовые последовательности , члены которых образованы по правилу: .

Предел последовательности

Определение 13. Число а называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число , что для всех n > N члены этой последовательности удовлетворяют неравенству .

В этом случае говорят, что последовательность имеет предел и пишут:

Таким образом,

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не имеющая конечного предела, – расходящейся.

Неравенство равносильно неравенству .

Определение 14. Интервал вида , где называется - окрестностью или просто окрестностью точки а числовой оси.

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если для любой -окрестности точки а найдется натуральное число N, что все значения , для которых n > N, попадут в -окрестность точки.

Ясно, что чем меньше , тем больше число N, но в любом случае внутри -окрестности точки а содержатся почти все члены этой последовательности, а вне окрестности может оказаться лишь конечное их число.

Теорема 1. Сходящиеся последовательности обладают следующими свойствами:

1. сходящаяся последовательность может иметь только один предел;

2. сходящаяся последовательность ограничена (обратно: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится);

3. если последовательности и сходятся к числам a и b соответственно, т. е. , то

.

Определение 15. Последовательность называется бесконечно большой, если

При этом последовательность называется положительной бесконечно большой, если и отрицательной бесконечной большой, если .

Определение 16. Последовательность называется бесконечно малой, если

Число е, применение в экономике

Определение 17. Числом е (число Эйлера) называется пре­дел , где 2,71828… – иррациональное число.

К использованию числа e приводит анализ таких процессов, как рост народонаселения, распад радия, размножение бактерий и так далее. Число e используется так же при решении экономических задач.

Процентом P называется сумма, выплачиваемая за использование предоставленных средств . Тогда величина , выраженная в процентах, называется процентной ставкой. По истечению установленного срока накопленная сумма составит:

где называется удельной процентной ставкой. Если в дальнейшем на накопленную сумму процент не начисляется, то процент называется простым, а накопленная сумма через n лет составит

Процент называется сложным, если на очередной период процент начисляется на всю накопленную сумму . В этом случае, накопленная за Т лет сумма , определяется по формуле

Рассмотрим задачу о непрерывном начислении процентов.

Задача. Пусть вклад денежных единиц положен в банк под p процентов годовых. Найти размер вклада через Т лет при условии, что начисление процентов производится n раз в год.

Решение. В результате одноразового начисления процентов величина вклада станет равной

где – процент начисления за часть года.

За год проценты на вклад будут начислены n раз. Воспользовавшись формулой сложных процентов, получим величину вклада через год:

Через T лет величина вклада окажется равной

Предположив, что , получим величину вклада при непрерывном начислении процентов:

Зависимость величины вклада от времени имеет экспоненциальный характер.

Формула завышает вклад по сравнению с тем, который рассчитан по формуле сложных процентов.

Предел функции

Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .

Дадим определение конечного предела функции y = f (x) при на языке последовательностей (по Гейне).

Определение 18. Число A называется пределом функции y = f (x)в точке , если для любой последовательности точек (), сходящейся к (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции сходится к А.

Обозначается: .

Таким образом,

Геометрический смысл предела функции означает, что для всех x, достаточно близких к точке , соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Из определения 18 следует, что функция не может иметь двух различных пределов в одной точке.

Замечание. Определение 18 предела функции y = f (x) для случая, когда аргумент перепишется в виде:

Дадим еще одно определение конечного предела функции при на языке «» (по Коши).

Определение 19. Число A называется пределом функции y = f (x)в точке , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать такое положительное число , что для всех х, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Таким образом, .

Определения предела функции в точке по Гейне и по Коши эквивалентны.

Геометрический смысл определения конечного предела состоит в следующем: для любой -окрестности точки А найдется -окрестность точки , что для всех из этой -окрестности соответствующие значения функции y = f (x) попадут в -окрестность точки А, т.е. точки графика функции y = f (x)будут заключены в полосе .

Замечание. Для случая, когда аргумент в определении 19 вместо пишут , т.е.

Если , то пишут , если , то пишут .

Теорема 2. Если функции f (x) и g (x) в точке имеют конечные пределы, т.е. , то

.

Эта теорема верна для любого конечного числа слагаемых и сомножителей.

Следствие 1. .

Следствие 2. .

Теорема 3. Пусть функции определены в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки), и для всех х () из этой окрестности выполняется: и , тогда .

Замечательные пределы

1. Первый замечательный предел:

Следствия.

1. Второй замечательный предел:

или

.

Следствия.

В частности, при a = e имеем

В частности, при a = e имеем

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: