Понятие функции, ее области определения и множества значений.

Способы задания функции

Пусть D – произвольное подмножество действительных чисел ().

Определение 5. Если каждому числу поставлено в соответствие по некоторому правилу или закону одно вполне определенное значение y = f (x), то говорят, что на множестве D определена числовая функция f.

В определении речь идет об однозначной функции. Если допускать, что каждому отвечает не одно, а несколько (или даже бесконечное множество) значений y, то функцию называют многозначной. В дальнейшем будем рассматривать однозначные функции.

Множество D называется областью определения функции f и обозначается D (f), а множество – множеством значений функции и обозначается Е (f).

Для записи функции применяются следующие обозначения: y = f (x), , .

Величина х называется независимой переменной или аргументом функции, а величина у – зависимой переменной или функцией.

Способы задания функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ задания функции состоит в том, что с помощью формулы, или нескольких формул, или уравнений устанавливается алгоритм вычисления значений функции f (x) для каждого из значений .

Под областью определения понимают множество x, при которых данная формула имеет смысл.

Табличный способ задания функции осуществляется табличным перечислением n значений аргумента и соответствующих им значений функции .

Графический способ задания функции состоит в представлении функции y = f (x) графиком в некоторой системе координат.

Определение 6. Графиком функции y = f (x) называется множество всех точек плоскости с координатами (х; f (x)), где х D (f).

Основные свойства функции

Средствами элементарной математики для функции y = f (x) с областью определения D (f) в большинстве случаев можно определить следующие характеристики:

1. Нули и знак функции.

Значения , при которых функция f обращается в нуль, называются нулями функции,т.е. нули функции являются корнями уравнения f (x)=0.

Если f (x) >0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале положительная и график функции расположен выше оси Ox.

Если f (x) <0 на некотором интервале,то говорят, что функция на этом интервале отрицательная и график функции расположен ниже оси Ox.

В нуле функции график имеет общую точку с осью Ox.

2. Четность или нечетность функции.

Определение 7. Числовая функция f называется четной (нечетной), если .

График четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида.

3. Периодичность функции.

Определение 8. Функция f называется периодической, если существует такое число Т 0, что для выполня­ются условия:

1) ;

2) f (x – Т) = f (x + Т) = f (x).

Число Т называется периодом функции.

Заметим, что если Т является периодом функции f (x), то число nT, где – также период этой функции. Если существует наименьший положительный период функции, то его называют основным периодом.

4. Интервалы возрастания, убывания функции.

Определение 9. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве Х D (f), если для любых значений таких, что < , справедливо неравенство f (x₁) < f (x₂) (f (x₁) > f (x₂)).

Возрастающие и убывающие на множестве Х функции называются монотонными функциями на этом множестве.

5. Ограниченность функции.

Определение 10. Функция y = f (x) называется ограниченной на множестве Х D (f), если существует такое число М > 0, что для выполняется: |f(x)| M.

Из определения следует, что график ограниченной функции располагается между прямыми y = M и y = – M.

Понятие обратной функции

Пусть задана функция y = f (x) с областью определения D и множеством значений E. Если каждому соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения E и множеством значений D. Функция называется обратной к функции y = f (x) и записывается: .

Справедливо: . Поэтому функции f и называются взаимно обратными.

Замечание. Функция y = f (x) имеет обратную тогда и только тогда, когда она взаимно однозначная, т.е. каждому соответствует единственный и наоборот. Отсюда следует, что любая монотонная функция имеет обратную.

Правило нахождения обратной функции для взаимно однозначной функции y = f (x):

1. Из уравнения y = f (x) выражаем ;

2. Переобозначая , получим функцию , обратную данной.

Графики взаимно обратных функций y = f (x) и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Понятие сложной функции

Пусть y = f (u) определена на множестве D, а функция определена на множестве D₁, причем для соответствующее значение . Тогда на множестве D₁ определена функция , которая называется сложной функцией от x или функцией от функции или композицией функций.

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Можно рассматривать сложные функции от любого количества промежуточных аргументов. Например, сложная функция от 2-х промежуточных аргументов выглядит так:

.

Пример. – сложная функция. Ее можно записать в виде следующей цепочки равенств:

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: