Геометрические приложения определенного интеграла

1. Рассмотрим на плоскости Oxy криволинейную трапецию, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [ a, b ] функцией y = f (x), снизу отрезком [ a, b ] и по бокам вертикальными прямыми x = a, x=b.

Величина площади криволинейной трапеции, равна определенному интегралу от функции y = f (x) на отрезке [ a, b ]:

2. Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f (x) и g (x) соответственно, непрерывными на отрезке [ a, b ], то площадь S, криволинейной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f (x) и g (x):

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [ a, b ] функцией y = f (x). Объем этого тела вращения определяется формулой:

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси Oy, то, выражая x через y как обратную функцию, получаем аналогичным образом формулу для объема тела вращения:

Некоторые приложения определенного интеграла в экономике

Рассмотрим экономические задачи, в которых придется воспользоваться умением брать интегралы.

Найти дневную выработку P за рабочий день продолжительностью 8 часов, если производительность труда в течение дня меняется по эмпирической формуле

где t – время в часах,

– размерность производительности (объем продукции в час),

– размерность времени (ч). Эта формула вполне отражает реальный процесс работы: производительность сначала растет, достигая максимума в середине рабочего дня при t= 4 ч, а затем падает.

Решение. Полагая, что производительность меняется в течение дня непрерывно, т. е. p является непрерывной функцией аргумента t на отрезке [0, 8], дневную выработку P можно выразить определенным интегралом:

где

– множитель, имеющий размерность единицы продукции. Если бы в течении всего дня работа велась ритмично и с максимальной производительностью то дневная выработка составила бы или примерно на 21% больше.

Выпуска оборудованияприпостоянномтемпе роста.

Производство оборудования некоторого вида характеризуется темпом роста его выпуска, где средний темп роста выпуска оборудования

причем

– прирост выпуска этого оборудования за промежуток времени

, а y – уровень его производства за единицу времени на момент времени t. Найдем общее количество оборудования, произведенного к моменту времени t, полагая, что K – известная постоянная величина (единицей времени является год) и в начальный момент времени t= 0 уровень ежегодного производства оборудования составлял

Решение. Будем считать, что y является непрерывной функцией от времени t. Перейдем к пределу при

в равенстве (13):

Интегрируем это равенство в пределах от 0 до t, получаем

Суммарное количество оборудования, выпущенного за промежуток времени t, находится по формуле

Например, при K =0,05 (5% ежегодного темпа роста) общее количество оборудования, выпущенного за 10 лет, составит

Причем уровень производства за указанный период времени увеличится почти на 65%.

При введении понятия определенного интеграла предполагалось, что выполняются следующие условия: 1) пределы интегрирования a и b являются конечными; 2) подынтегральная функция f (x) на отрезке [ a, b ] непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода. В этом случае определенные интегралы называются собственными. Если хотя бы одно из указанных условий не выполняется, то интегралы называются несобственными. При этом определение определенного интеграла (5) теряет смысл.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (первого рода).

Определение 6. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x) на промежутке называется предел . Обозначается .

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от непрерывной функции f (x) на промежутке :

Если пределы в правых частях формул (14), (15) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы называются сходящимися, если не существуют или бесконечны, – то расходящимися.

Аналогично вводится несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования от непрерывной функции f (x) на промежутке :

Интеграл (16) называется сходящимся, если оба предела существуют и конечны. Если хотя бы один из пределов не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Интегралы (14) – (16) называются также несобственными интегралами первого рода.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x = a, y =0 и бесконечно вытянутая вдоль оси Ox, имеет конечную площадь S. Аналогичная геометрическая интерпретация имеет место для сходящихся несобственных интегралов (15) и (16).

Несобственный интеграл от неограниченных функций (второго рода).

Пусть функция неограниченна на конечном промежутке , причем .

Определение 7. Несобственным интегралом от функции f (x) непрерывной на промежутке и имеющей бесконечный разрыв в точке x = b, или несобственным интегралом второго рода называется предел интеграла при :

Аналогично если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке x = a, то полагают

Если же функция f (x) имеет разрыв второго рода в некоторой точке , то

Если пределы в правых частях формул (17) – (19) существуют и конечны, то соответствующие несобственные интегралы от разрывной функции в точках a, b, и с называются сходящимися, в противном случае – то расходящимися.

С геометрической точки зрения сходящийся несобственный интеграл второго рода означает, что фигура ограниченная кривой , прямыми x = a, x = b и бесконечно вытянутая вдоль оси Oy при , имеет конечную площадь S.

Общие сведения о дифференциальных уравнениях.

Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Линейные уравнения. Уравнения Я. Бернулли.

Дифференциальные уравнения второго порядка (основные понятия, теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 2-го порядка). Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Линейные однородные уравнения второго порядка. Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Применение дифференциальных уравнений в задачах экономики.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: