|
Предел и непрерывность функции двух переменныхМногие явления, происходящие в природе, экономике, общественной жизни нельзя, описать с помощью функции одной переменной. Например, рентабельность предприятия зависит от прибыли, основных и оборотных фондов. Для изучения такого рода зависимостей и вводится понятие функции нескольких переменных. В данной лекции рассматриваются функции двух переменных, так как все основные понятия и теоремы, сформулированные для функций двух переменных, легко обобщаются на случай большего числа переменных. Пусть B – множество упорядоченных пар действительных чисел Определение 1 Если каждой упорядоченной паре чисел Например, формула Пару чисел Значение функции Совокупность всех точек Например, область определения функции Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть Определение 2 Число Обозначается предел следующим образом: Пример 1 Найти предел Решение. Введем обозначение
Определение 3 Функция Функция Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например, функция Пример 2 Найти точки разрыва функции Решение. Данная функция не определена в тех точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т. е. в точках, где
2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал.
Пусть задана функция двух переменных
Аналогично, фиксируя аргумент
Величина
Определение 4 Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначается частная производная так: Таким образом, по определению 4 имеем:
Частные производные функции Пример 3 Найти частные производные функций: 1) Решение: 1 Чтобы найти
Аналогично, считая
2
Определение 5 Полным дифференциалом функции
При нефиксированных
Пример 4 Найти полный дифференциал функции Решение. Так как
Частные производные Определение 6 Частными производными второго порядка функции Частных производных второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:
Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции
Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции Пример 5 Найти частные производные второго порядка функции Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:
3 Экстремум функции нескольких переменных.
Определение 7 Точка Точки минимума и максимума функции Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция Теорема 2 (достаточное условие экстремума).Пусть функция При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему: 1 Найти частные производные первого порядка: 2 Решить систему уравнений 3 Найти частные производные второго порядка: 4 Вычислить значения частных производных второго порядка в каж- дой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума. 5 Найти экстремумы функции. Пример 6 Найти экстремумы функции Решение: 1 Находим частные производные
2 Для определения критических точек решаем систему уравнений:
Из первого уравнения системы находим:
откуда
Находим значения y, соответствующие значениям
Таким образом, имеем две критические точки: 3 Находим частные производные второго порядка:
4 Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки
Так как В точке 5 Находим значение функции в точке
Лекция 7 НеоПРЕДЕЛЕННЫЙ иНТЕГРАЛ План
1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных неопределенных интегралов. 2 Основные методы интегрирования.
Ключевые понятия
1 Первообразная и неопределенный интеграл.
Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции Определение 1 Функция
Теорема: если функция Определение 2 Множество всех первообразных функций Таким образом:
где C – произвольная постоянная. Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию. Пример 1 Проверить, что Решение. Продифференцируем результат интегрирования:
Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.
![]() ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|