Основные правила дифференцирования

Теорема 1Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют производные в точке х, то функции u ± v, uv, также имеют производные в этой точке, причем:

1)

2)

3) ;

4)

Теорема 2 (производная сложной функции). Если функция g(x) имеет производную в точке х₀, а функция f (у) имеет производную в точке у₀ =
= g(x₀), то сложная функция f (g(x)) имеет производную в точке х₀

или .

Таблица основных производных

1) с' = 0, с R;

2) х' =1;

3) (х^α)' = αx^α-1, α R;

4) (а^х)' = а^х lnа, 0 < a ¹ 1;

5) (e^x)' = e^x;

6) 0 < a ¹ 1, х > 0;

7) х > 0;

8) (sin x)' = cos x;

9) (cos x)' = – sin x;

10) Z;

11) Z;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 3Найти уравнения касательной и нормали к графику функции f (x)= 3х² + 4 в точке х₀ = 2.

Решение.Найдем производную функции f (x): f¢(x) = 6х.

Для того чтобы составить уравнения касательной и нормали (5) и (6), необходимо найти значения функции и ее производной в точке х₀ = 2:

f (2) = 3 × 2² + 4 = 16;

f ' (2) = 6 × 2 = 12.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

у = 12 (х – 2) + 16,

уравнение нормали:

Ответ: у = 12 (х – 2) + 16,

Пример 4Найти производные функций.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение

а) ;

б) ;

в) ;

г)

(вначале взяли производную степенной функции, затем производную sin 8x, а в конце производную 8х).

Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков

Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е. выражение, которое легко логарифмируется, а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)^v(x).

Пример 5Найти производные функции:

а) ;

б) .

Решение:

а) прологарифмируем функцию у:

Находим производную левой и правой частей данного выражения, учитывая, что :

б) прологарифмируем степенно-показательную функцию (степенно-показательная функция – это функция, у которой функциями являются и основание и показатель степени):

.

Находим производную левой и правой частей данного выражения:

;

Определение 6Функция называется заданной неявно, если она представлена в виде уравнения

F(x; y) = 0,

т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится, учитывая, что у – функция. Например, .

Пример 6Найти производную функции, заданной неявно уравнением:

Решение.Дифференцируем обе части уравнения:

Þ

Определение 7Второй производной от функции у = f (x) называется производная от ее первой производной у'= f¢(x). Обозначается вторая производная следующим образом: у'', f '', Аналогично определяются производные третьего и более высоких порядков. Например, производная сотого порядка обозначается как у⁽¹⁰⁰⁾ или .

Пример 7Найти производные функции

Решение:

у' = 20х⁴ + 4х;

у'' = 80х³ + 4;

у''' = 240х²;

у⁽⁴⁾ =

у⁽⁵⁾ = 480;

у⁽⁶⁾ = 0.

Лекция 4 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

План

1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Ключевые понятия

Правило Лопиталя.

Дифференциал функции.

Раскрытие неопределенностей.

Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя

При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности следующих видов:

Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х₀. Тогда:

1Если то , при условии, что последний предел существует.

2Если то ,
при условии, что последний предел существует.

Следовательно, если мы имеем неопределенности воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример 1:

а) ;

б) ;

в)

так как (первый замечательный предел).

Рассмотрим остальные неопределенности:

1) . Пусть , тогда , т. е. мы свели данную неопределенность к или , после чего можно применять правило Лопиталя;

2) , тогда ;

3) . Данные неопределенности также сводятся к неопределенностям или . Для этого можно воспользоваться формулой

Так, если то получаем неопределенность (так как , после чего можно получить или (смотри выше).

Пример 2

а)

;

б)

.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Определение 1Функция f (х) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где А R, a(Δх) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Δх при Δх → 0, т.е. .

Теорема: для того, чтобы функция f (x) была дифференцируемой
в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала производная f¢(x₀) = А.

Следовательно, из формулы (1) имеем

. (2)

Определение 2Функция (от Dх) есть главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х₀. Эту главную линейную часть приращения функции f (x) и называют дифференциалом функции f (x) в точке х₀ и обозначают

(3)

В частности, для f (x) = х имеем

Следовательно, из формулы (3) получаем:

. (4)

Выясним геометрический смысл дифференциала (см. рисунок):

ВД = ВС + СД; ВД = ВС = Ð А =
= , так как АВ = , Ð А = .

Следовательно, из уравнения (2) имеем СД = α( ).

Таким образом, ВС =

Следовательно, с геометрической точки зрения, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х₀, при приращении аргумента .

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1) ;

2) ;

3)

Пример 3Найти дифференциалы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Заметим, что dx = d(x + c), с R, d(ax + в) = adx Þ dx =

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для х, близких к х₀. Так, отбросив бесконечно малую функцию в формуле (2), получаем

. (5)

Пример 4Вычислить приближенно:

а) ; б) .

Решение.Воспользуемся формулой (5):

а) ;

х₀ = 64, = 0,05;

Следовательно,

Заметим, что ;

б)

Þ

Заметим, что

Лекция 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

План

1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции.

2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба.

3 Асимптоты графика функции.

4 Общая схема построения графика функции.

Ключевые понятия

1 Локальные экстремумы функции.
Достаточные условия экстремума функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х₀ – внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х₀) окрестность точки х₀. В точке х₀ функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х₀).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х₀ локальный минимум, если существует такая окрестность U(х₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х₀).

Определение 1Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [а; b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х₁, х₃ – точки локального минимума, х₂, х₄ – локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a; b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума
(в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке
[a; b]), точка х = х₃ – соответственно точка глобального минимума.

Из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х₀ следует, что f '(x₀) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, т. е. если в точке х₀ – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f '(x₀) = 0. Точки х₀, в которых f '(x₀) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным условием для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1 у = х³; у' = 3х²; у'(0) = 0, но
в точке х₀ = 0 нет экстремума.

Определение 2Критическими точками, т.е. точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a; b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х₀ = 0:

f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум».

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀. Тогда:

1) если (1)

то в точке х₀ – локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х₀ – локальный минимум.

Пример 2 Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

Þ х² –1 = 0 Þ х₁ = –1, х₂ = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)		(0; 1)		(1; +¥)
у'	+		–	–	–		+
у		–2		–

max min

То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке
х₁ = –1, равный у_max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х₂ = 1,
у_min (1) = 2.

Определение 3Функция называется n раз непрерывно-дифферен-цируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 0, 1, 2, …).

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀ – стационарная точка
(f '(х₀) = 0), в которой f ''(х₀) > 0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f ''(х₀) < 0, то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.

Пример 3 Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х₁ = –1, х₂ = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Далее найдем значения второй производной в стационарных точках:

Þ в точке х₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

Þ в точке х₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая:
1) производная равна нулю; 2) производная не существует; 3) производная равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость.
Точка перегиба

Пусть функция f (х) задана на интервале (a; b) и х₁, х₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х₁; f (х₁)) и В (х₂; f (х₂)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой.Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).

Определение 4Функция f (х) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a; b), а £ х₁ < х₂ £ b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х),

" х Î [х₁; х₂] Ì (a; b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Определение 5Функция f (х) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых точек х₁, х₂ Î (a; b), а £ х₁ < х₂ £ b хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х),

" х Î [х₁; х₂] Ì (a; b):

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и:

1) f ''(х) > 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вниз;

2) f ''(х) < 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вверх.

Точка х₀ называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х₀, что для всех х Î (х₀ – d, х₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х₀, х₀ + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х₀, т. е. точка х₀ – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х₀ функция f (х) меняет характер выпуклости:

х₀ – d х₀ х₀ + d

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х₀ производную f '' и х₀ – точка перегиба, то f '' (х₀) = 0.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f ''(х) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f (х).

Пример 4 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х³.

Решение: у' = 3х²; у'' = 6х = 0 Þ х₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х₀ = 0 функция у = х³ имеет перегиб:

Пример 5 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек, подозрительных на перегиб, нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

Асимптоты графика функции

Определение 6Прямая х = х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х₀–0) или f (х₀ + 0) равен бесконечности.

Пример 6 Найти вертикальные асимптоты функций:

а) б) в)

Решение. В нашем случае вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х₀, где х₀ – точка, в которой функция не определена:

а) х = 3 – вертикальная асимптота функции (действительно, );

б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции (действительно, ;

);

в) х = 0 – вертикальная асимптота функции (действительно, ).

Определение 7Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если f (х) = kx + b + α(х), , т.е. если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.

Теорема 6 Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

(3)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет соответствующих наклонных асимптот.

Пример 7 Найти наклонные асимптоты функции

Решение. Найдем пределы (3). Пусть х ® +¥, тогда:

следовательно, k = 1;

следовательно, b = 0.

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту
у = kx + b = 1 х + 0 = х при х ® +¥. Аналогично можно показать, что прямая у = х будет наклонной асимптотой и при х ® – ¥.

Ответ: у = х – наклонная асимптота при х ® ± ¥.

Пример 8 Найти асимптоты функции .

Решение:

а) функция неопределена в точках х₁ = –1, х₂ = 1. Прямые х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, ;

;

б) у = kx + b. Пусть х ® +¥, тогда:

Следовательно, у = 2х + 1 – наклонная асимптота данной функции при х ® +¥. Эта же прямая будет наклонной асимптотой и при х ® – ¥.

Ответ: х₁ = –1, х₂ = 1 – вертикальные, у = 2х + 1 – наклонная асимп-тоты.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: