|
Основные правила дифференцированияТеорема 1 Если функции u = u (x) и v = v (x) имеют производные в точке х, то функции u ± v, uv, 1) 2) 3) 4) Теорема 2 (производная сложной функции). Если функция g (x) имеет производную в точке х 0, а функция f (у) имеет производную в точке у 0 = или
Таблица основных производных 1) с' = 0, с 2) х ' =1; 3) (хα)' = αxα-1, α 4) (ах)' = ах ln а, 0 < a ¹ 1; 5) (ex)' = ex; 6) 7) 8) (sin x)' = cos x; 9) (cos x)' = – sin x; 10) 11) 12) 13) 14) 15) Пример 3 Найти уравнения касательной и нормали к графику функции f (x)= 3 х 2 + 4 в точке х 0 = 2. Решение. Найдем производную функции f (x): f¢ (x) = 6 х. Для того чтобы составить уравнения касательной и нормали (5) и (6), необходимо найти значения функции и ее производной в точке х 0 = 2: f (2) = 3 × 22 + 4 = 16; f ' (2) = 6 × 2 = 12. Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у = 12 (х – 2) + 16, уравнение нормали: Ответ: у = 12 (х – 2) + 16, Пример 4 Найти производные функций. а) б) в) г) Решение а) б) в) г)
Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков
Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е. выражение, которое легко логарифмируется, а также для нахождения производной степенно-показательной функции u (x) v ( x ). Пример 5 Найти производные функции: а) б) Решение: а) прологарифмируем функцию у: Находим производную левой и правой частей данного выражения, учитывая, что б) прологарифмируем степенно-показательную функцию
Находим производную левой и правой частей данного выражения:
Определение 6 Функция называется заданной неявно, если она представлена в виде уравнения F (x; y) = 0, т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится, учитывая, что у – функция. Например, Пример 6 Найти производную функции, заданной неявно уравнением: Решение. Дифференцируем обе части уравнения: Þ Определение 7 Второй производной от функции у = f (x) называется производная от ее первой производной у '= f¢ (x). Обозначается вторая производная следующим образом: у '', f '', Пример 7 Найти производные функции Решение: у ' = 20 х 4 + 4 х; у '' = 80 х 3 + 4; у ''' = 240 х 2; у (4) = у (5) = 480; у (6) = 0.
Лекция 4 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
План 1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя. 2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Ключевые понятия
Правило Лопиталя. Дифференциал функции. Раскрытие неопределенностей.
Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя
При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности следующих видов: Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х0. Тогда: 1 Если 2 Если Следовательно, если мы имеем неопределенности Пример 1: а) б) в) так как Рассмотрим остальные неопределенности: 1) 2) 3) Так, если Пример 2 а)
б)
2 Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Определение 1 Функция f (х) называется дифференцируемой в точке х 0, если ее приращение в этой точке можно представить в виде
где А Теорема: для того, чтобы функция f (x) была дифференцируемой Следовательно, из формулы (1) имеем
Определение 2 Функция
В частности, для f (x) = х имеем Следовательно, из формулы (3) получаем:
Выясним геометрический смысл дифференциала (см. рисунок): ВД = ВС + СД; ВД = Следовательно, из уравнения (2) имеем СД = α( Таким образом, ВС =
Следовательно, с геометрической точки зрения, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х 0, при приращении аргумента Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций: 1) 2) 3) Пример 3 Найти дифференциалы функций: а) б) в) г) д) Заметим, что dx = d (x + c), с Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для х, близких к х 0. Так, отбросив бесконечно малую функцию в формуле (2), получаем
Пример 4 Вычислить приближенно: а) Решение. Воспользуемся формулой (5): а) х 0 = 64,
Следовательно, Заметим, что б) Þ Заметим, что
Лекция 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
План 1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции. 2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба. 3 Асимптоты графика функции. 4 Общая схема построения графика функции. Ключевые понятия
1 Локальные экстремумы функции.
Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х 0 – внутренняя точка множества Х. Обозначим через U (х 0) окрестность точки х 0. В точке х 0 функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U (х 0) точки х 0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х 0). Аналогично: функция f (х) имеет в точке х 0 локальный минимум, если существует такая окрестность U (х 0) точки х 0, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х 0). Определение 1 Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции. Пусть функция f (х) определена на отрезке [ а; b ] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью. Проиллюстрируем данные выше определения: На рисунке точки х 1, х 3 – точки локального минимума, х 2, х 4 – локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума. Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f (х) на отрезке [ a; b ]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума Из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х 0 следует, что f ' (x 0) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, т. е. если в точке х 0 – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f ' (x 0) = 0. Точки х 0, в которых f ' (x 0) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным условием для существования локального экстремума в этой точке.
Определение 2 Критическими точками, т.е. точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a; b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х 0 = 0:
Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум». Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U (x 0) точки х 0. Тогда: 1) если то в точке х 0 – локальный максимум; 2) если то в точке х 0 – локальный минимум. Пример 2 Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию Решение. Найдем стационарные точки функции: Þ х 2 –1 = 0 Þ х 1 = –1, х 2 = 1. Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:
max min То есть функция Определение 3 Функция называется n раз непрерывно-дифферен-цируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 0, 1, 2, …). Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х 0 – стационарная точка Пример 3 Исследовать на экстремум функцию Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную Найдем вторую производную данной функции: Далее найдем значения второй производной в стационарных точках:
Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая:
2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость.
Пусть функция f (х) задана на интервале (a; b) и х 1, х 2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х 1; f (х 1)) и В (х 2; f (х 2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у (х). Определение 4 Функция f (х) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых точек х 1, х 2 Î (a; b), а £ х 1 < х 2 £ b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), " х Î [ х 1; х 2] Ì (a; b):
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх. Определение 5 Функция f (х) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых точек х 1, х 2 Î (a; b), а £ х 1 < х 2 £ b хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х), " х Î [ х 1; х 2] Ì (a; b):
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и: 1) f ''(х) > 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вниз; 2) f ''(х) < 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вверх. Точка х 0 называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х 0, что для всех х Î (х 0 – d, х 0) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х 0, х 0 + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х 0, т. е. точка х 0 – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х 0 функция f (х) меняет характер выпуклости:
х 0 – d х 0 х 0 + d Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х 0 производную f '' и х 0 – точка перегиба, то f '' (х 0) = 0. Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х 0 и при переходе через точку х 0 производная f ''(х) меняет знак, то точка х 0 является точкой перегиба функции f (х).
Решение: у' = 3 х 2; у'' = 6 х = 0 Þ х 0 = 0 – точка, подозрительная на перегиб. В точке х 0 = 0 функция у = х 3 имеет перегиб:
Пример 5 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции
Асимптоты графика функции
Определение 6 Прямая х = х 0 называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х 0–0) или f (х 0 + 0) равен бесконечности. Пример 6 Найти вертикальные асимптоты функций: а) Решение. В нашем случае вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х 0, где х 0 – точка, в которой функция не определена: а) х = 3 – вертикальная асимптота функции б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции
в) х = 0 – вертикальная асимптота функции Определение 7 Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если f (х) = kx + b + α(х), Теорема 6 Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:
Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет соответствующих наклонных асимптот. Пример 7 Найти наклонные асимптоты функции Решение. Найдем пределы (3). Пусть х ® +¥, тогда: следовательно, k = 1; следовательно, b = 0. Таким образом, функция Ответ: у = х – наклонная асимптота при х ® ± ¥. Пример 8 Найти асимптоты функции Решение: а) функция неопределена в точках х 1 = –1, х 2 = 1. Прямые х 1 = –1, х 2 = 1 – вертикальные асимптоты данной функции. Действительно,
б) у = kx + b. Пусть х ® +¥, тогда: Следовательно, у = 2 х + 1 – наклонная асимптота данной функции при х ® +¥. Эта же прямая будет наклонной асимптотой и при х ® – ¥. Ответ: х 1 = –1, х 2 = 1 – вертикальные, у = 2 х + 1 – наклонная асимп-тоты.
![]() ![]() Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... ![]() ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|