Основные правила дифференцирования

Теорема 1 Если функции u = u (x) и v = v (x) имеют производные в точке х, то функции u ± v, uv, также имеют производные в этой точке, причем:

1)

2)

3) ;

4)

Теорема 2 (производная сложной функции). Если функция g (x) имеет производную в точке х ₀, а функция f (у) имеет производную в точке у ₀ =
= g (x ₀), то сложная функция f (g (x)) имеет производную в точке х ₀

или .

Таблица основных производных

1) с' = 0, с R;

2) х ' =1;

3) (х^α)' = αx^α-1, α R;

4) (а^х)' = а^х ln а, 0 < a ¹ 1;

5) (e^x)' = e^x;

6) 0 < a ¹ 1, х > 0;

7) х > 0;

8) (sin x)' = cos x;

9) (cos x)' = – sin x;

10) Z;

11) Z;

12) ;

13) ;

14) ;

15) .

Пример 3 Найти уравнения касательной и нормали к графику функции f (x)= 3 х ² + 4 в точке х ₀ = 2.

Решение. Найдем производную функции f (x): f¢ (x) = 6 х.

Для того чтобы составить уравнения касательной и нормали (5) и (6), необходимо найти значения функции и ее производной в точке х ₀ = 2:

f (2) = 3 × 2² + 4 = 16;

f ' (2) = 6 × 2 = 12.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид:

у = 12 (х – 2) + 16,

уравнение нормали:

Ответ: у = 12 (х – 2) + 16,

Пример 4 Найти производные функций.

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение

а) ;

б) ;

в) ;

г)

(вначале взяли производную степенной функции, затем производную sin 8 x, а в конце производную 8 х).

Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков

Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е. выражение, которое легко логарифмируется, а также для нахождения производной степенно-показательной функции u (x) ^{v ( x )}.

Пример 5 Найти производные функции:

а) ;

б) .

Решение:

а) прологарифмируем функцию у:

Находим производную левой и правой частей данного выражения, учитывая, что :

б) прологарифмируем степенно-показательную функцию (степенно-показательная функция – это функция, у которой функциями являются и основание и показатель степени):

.

Находим производную левой и правой частей данного выражения:

;

Определение 6 Функция называется заданной неявно, если она представлена в виде уравнения

F (x; y) = 0,

т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится, учитывая, что у – функция. Например, .

Пример 6 Найти производную функции, заданной неявно уравнением:

Решение. Дифференцируем обе части уравнения:

Þ

Определение 7 Второй производной от функции у = f (x) называется производная от ее первой производной у '= f¢ (x). Обозначается вторая производная следующим образом: у '', f '', Аналогично определяются производные третьего и более высоких порядков. Например, производная сотого порядка обозначается как у ⁽¹⁰⁰⁾ или .

Пример 7 Найти производные функции

Решение:

у ' = 20 х ⁴ + 4 х;

у '' = 80 х ³ + 4;

у ''' = 240 х ²;

у ⁽⁴⁾ =

у ⁽⁵⁾ = 480;

у ⁽⁶⁾ = 0.

Лекция 4 ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

План

1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Ключевые понятия

Правило Лопиталя.

Дифференциал функции.

Раскрытие неопределенностей.

Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя

При вычислении пределов функции часто возникают неопределенности следующих видов:

Раскрыть эти неопределенности помогает правило Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х₀. Тогда:

1 Если то , при условии, что последний предел существует.

2 Если то ,
при условии, что последний предел существует.

Следовательно, если мы имеем неопределенности воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример 1:

а) ;

б) ;

в)

так как (первый замечательный предел).

Рассмотрим остальные неопределенности:

1) . Пусть , тогда , т. е. мы свели данную неопределенность к или , после чего можно применять правило Лопиталя;

2) , тогда ;

3) . Данные неопределенности также сводятся к неопределенностям или . Для этого можно воспользоваться формулой

Так, если то получаем неопределенность (так как , после чего можно получить или (смотри выше).

Пример 2

а)

;

б)

.

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл.
Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Определение 1 Функция f (х) называется дифференцируемой в точке х ₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде

(1)

где А R, a(Δ х) – бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем Δ х при Δ х → 0, т.е. .

Теорема: для того, чтобы функция f (x) была дифференцируемой
в точке х ₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х ₀ существовала производная f¢ (x ₀) = А.

Следовательно, из формулы (1) имеем

. (2)

Определение 2 Функция (от D х) есть главная линейная часть приращения функции f (x) в точке х ₀. Эту главную линейную часть приращения функции f (x) и называют дифференциалом функции f (x) в точке х ₀ и обозначают

(3)

В частности, для f (x) = х имеем

Следовательно, из формулы (3) получаем:

. (4)

Выясним геометрический смысл дифференциала (см. рисунок):

ВД = ВС + СД; ВД = ВС = Ð А =
= , так как АВ = , Ð А = .

Следовательно, из уравнения (2) имеем СД = α().

Таким образом, ВС =

Следовательно, с геометрической точки зрения, дифференциал функции равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой х ₀, при приращении аргумента .

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1) ;

2) ;

3)

Пример 3 Найти дифференциалы функций:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Заметим, что dx = d (x + c), с R, d (ax + в) = adx Þ dx =

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для х, близких к х ₀. Так, отбросив бесконечно малую функцию в формуле (2), получаем

. (5)

Пример 4 Вычислить приближенно:

а) ; б) .

Решение. Воспользуемся формулой (5):

а) ;

х ₀ = 64, = 0,05;

Следовательно,

Заметим, что ;

б)

Þ

Заметим, что

Лекция 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

План

1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции.

2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба.

3 Асимптоты графика функции.

4 Общая схема построения графика функции.

Ключевые понятия

1 Локальные экстремумы функции.
Достаточные условия экстремума функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х ₀ – внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U (х ₀) окрестность точки х ₀. В точке х ₀ функция f (х) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U (х ₀) точки х ₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) £ f (х ₀).

Аналогично: функция f (х) имеет в точке х ₀ локальный минимум, если существует такая окрестность U (х ₀) точки х ₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f (х) ³ f (х ₀).

Определение 1 Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f (х) определена на отрезке [ а; b ] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х ₁, х ₃ – точки локального минимума, х ₂, х ₄ – локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f (х) на отрезке [ a; b ]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума
(в этой точке функция f (х) принимает наибольшее значение на отрезке
[ a; b ]), точка х = х ₃ – соответственно точка глобального минимума.

Из дифференцируемости функции f (x) в точке локального экстремума х ₀ следует, что f ' (x ₀) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, т. е. если в точке х ₀ – экстремум функции f (x) и в этой точке существует производная, то f ' (x ₀) = 0. Точки х ₀, в которых f ' (x ₀) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной в точке не является достаточным условием для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1 у = х ³; у' = 3 х ²; у' (0) = 0, но
в точке х ₀ = 0 нет экстремума.

Определение 2 Критическими точками, т.е. точками, подозрительными на экстремум функции f (x) на интервале (a; b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х ₀ = 0:

f '(0) = 0 f '(0) $ f '(0) = ¥

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум».

Теорема 1 (первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f (x) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности U (x ₀) точки х ₀. Тогда:

1) если (1)

то в точке х ₀ – локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х ₀ – локальный минимум.

Пример 2 Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение. Найдем стационарные точки функции:

Þ х ² –1 = 0 Þ х ₁ = –1, х ₂ = 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

х	(–¥; –1)	–1	(–1; 0)		(0; 1)		(1; +¥)
у'	+		–	–	–		+
у		–2		–

max min

То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке
х ₁ = –1, равный у _max (–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х ₂ = 1,
у _min (1) = 2.

Определение 3 Функция называется n раз непрерывно-дифферен-цируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n = 0, 1, 2, …).

Теорема 2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f (x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х ₀ – стационарная точка
(f '(х ₀) = 0), в которой f ''(х ₀) > 0, то в точке х ₀ функция имеет локальный минимум. Если же f ''(х ₀) < 0, то в точке х ₀ функция имеет локальный максимум.

Пример 3 Исследовать на экстремум функцию с помощью второй производной.

Решение. В примере 2 для данной функции мы нашли первую производную и стационарные точки х ₁ = –1, х ₂ = 1.

Найдем вторую производную данной функции:

Далее найдем значения второй производной в стационарных точках:

Þ в точке х ₁ = –1 функция имеет локальный максимум;

Þ в точке х ₂ = 1 функция имеет локальный минимум (по теореме 2).

Заметим, что теорема 1 более универсальна. Теорема 2 позволяет проанализировать на экстремум лишь точки, в которых первая производная равна нулю, в то время как теорема 1 рассматривает три случая:
1) производная равна нулю; 2) производная не существует; 3) производная равна бесконечности в подозрительных на экстремум точках.

2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость.
Точка перегиба

Пусть функция f (х) задана на интервале (a; b) и х ₁, х ₂ – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х ₁; f (х ₁)) и В (х ₂; f (х ₂)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у (х).

Определение 4 Функция f (х) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых точек х ₁, х ₂ Î (a; b), а £ х ₁ < х ₂ £ b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х),

" х Î [ х ₁; х ₂] Ì (a; b):

Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.

Определение 5 Функция f (х) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых точек х ₁, х ₂ Î (a; b), а £ х ₁ < х ₂ £ b хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) ³ у (х),

" х Î [ х ₁; х ₂] Ì (a; b):

Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и:

1) f ''(х) > 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вниз;

2) f ''(х) < 0, " х Î (a; b), то на (a; b) функция f (х) выпукла вверх.

Точка х ₀ называется точкой перегиба функции f (х), если $ d – окрест-ность точки х ₀, что для всех х Î (х ₀ – d, х ₀) график функции находится с одной стороны касательной, а для всех х Î (х ₀, х ₀ + d) – с другой стороны каса-тельной, проведенной к графику функции f (х) в точке х ₀, т. е. точка х ₀ – точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х ₀ функция f (х) меняет характер выпуклости:

х ₀ – d х ₀ х ₀ + d

Теорема 4 (необходимое условие существования точки перегиба). Если функция f (х) имеет непрерывную в точке х ₀ производную f '' и х ₀ – точка перегиба, то f '' (х ₀) = 0.

Теорема 5 (достаточное условие перегиба). Если функция f (х) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х ₀ и при переходе через точку х ₀ производная f ''(х) меняет знак, то точка х ₀ является точкой перегиба функции f (х).

Пример 4 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции у = х ³.

Решение: у' = 3 х ²; у'' = 6 х = 0 Þ х ₀ = 0 – точка, подозрительная на перегиб.

В точке х ₀ = 0 функция у = х ³ имеет перегиб:

Пример 5 Исследовать на выпуклость и найти точки перегиба функции .

Решение. В примере 3 мы уже находили вторую производную данной функции . Так как то точек, подозрительных на перегиб, нет. Рассмотрим промежутки выпуклости:

Асимптоты графика функции

Определение 6 Прямая х = х ₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f (х), если хотя бы один из пределов f (х ₀–0) или f (х ₀ + 0) равен бесконечности.

Пример 6 Найти вертикальные асимптоты функций:

а) б) в)

Решение. В нашем случае вертикальными асимптотами функций будут прямые х = х ₀, где х ₀ – точка, в которой функция не определена:

а) х = 3 – вертикальная асимптота функции (действительно, );

б) х = 2, х = – 4 – вертикальные асимптоты функции (действительно, ;

);

в) х = 0 – вертикальная асимптота функции (действительно, ).

Определение 7 Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, если f (х) = kx + b + α(х), , т.е. если наклонная асимптота для графика функции f (х) существует, то разность ординат функции f (х) и прямой у = = kx + b в точке х стремится к 0 при х ® +¥ или при х ® – ¥.

Теорема 6 Для того чтобы прямая у = kx + b являлась наклонной асимптотой графика функции f (х) при х ® +¥ или х ® – ¥, необходимо и достаточно существование конечных пределов:

(3)

Следовательно, если хотя бы один из данных пределов не существует или равен бесконечности, то функция не имеет соответствующих наклонных асимптот.

Пример 7 Найти наклонные асимптоты функции

Решение. Найдем пределы (3). Пусть х ® +¥, тогда:

следовательно, k = 1;

следовательно, b = 0.

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту
у = kx + b = 1 х + 0 = х при х ® +¥. Аналогично можно показать, что прямая у = х будет наклонной асимптотой и при х ® – ¥.

Ответ: у = х – наклонная асимптота при х ® ± ¥.

Пример 8 Найти асимптоты функции .

Решение:

а) функция неопределена в точках х ₁ = –1, х ₂ = 1. Прямые х ₁ = –1, х ₂ = 1 – вертикальные асимптоты данной функции.

Действительно, ;

;

б) у = kx + b. Пусть х ® +¥, тогда:

Следовательно, у = 2 х + 1 – наклонная асимптота данной функции при х ® +¥. Эта же прямая будет наклонной асимптотой и при х ® – ¥.

Ответ: х ₁ = –1, х ₂ = 1 – вертикальные, у = 2 х + 1 – наклонная асимп-тоты.

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: