Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Замена переменной в определенном интеграле





 

Теорема 3 Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда, если: 1) функция и ее производная непрерывны при ; 2) множеством значений функции при является отрезок ; 3) , , то справедлива формула

, (3)

которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования и (для этого надо решить относительно переменной t уравнения и )).

Пример 3 Вычислить интеграл .

Решение. Введем новую переменную по формуле . Определим и . Возведя в квадрат обе части равенства , получим , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу подставим исходные пределы и . Получим: , откуда и, следовательно, ; , откуда и, следовательно, . Таким образом:

.

Интегрирование по частям

 

Теорема 4 Пусть функции и имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:

. (4)

Доказательство

Так как , то функция является первообразной для функции . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

,

откуда

.

Все рекомендации, данные выше для использования аналогичной формулы в неопределенном интеграле, имеют место и для формулы (4).

Пример 4 Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . По формуле (4) находим:


.

Пример 5 Вычислить .

Решение. Пусть , тогда . Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:


.

3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения,
длин дуг плоских кривых



Площадь криволинейной трапеции

 

Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда, согласно геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу – осью , слева и справа – прямыми и (см. рисунок), вычисляется по формуле

. (5)

Пример 6 Найти площадь фигуры, ограниченной линией и осью .

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее. Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью (прямой ). Для этого решаем систему уравнений:

Получаем: , откуда , ; следовательно, , .

Площадь фигуры находим по формуле (5):

(кв. ед.).

 

Если функция неположительна и непрерывна на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу графиком данной функции, сверху – осью , слева и справа – прямыми и , вычисляется по формуле

. (6)

В случае, если функция непрерывна на отрезке и меняет знак в конечном числе точек, то площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок) равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

. (7)

Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке функций и ,
а слева и справа – прямыми и (см. рисунок). Тогда ее площадь вычисляется по формуле

. (8)

Пример 7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Данная фигура изображена на рисунке. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений находим , ; следовательно, , . На отрезке имеем: . Значит, в формуле (8) в качестве возьмем x, а в качестве . Получим:

(кв. ед.).

Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.

Объем тела вращения

 

Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке функции , осью , прямыми и , вращается вокруг оси . Тогда объем полученного тела вращения вычисляется по формуле

. (9)

Пример 8 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой , прямыми , и осью .

Решение. Сделаем чертеж.

 

 

Из условия задачи следует, что , . По формуле (9) получаем:


(куб. ед.).

 

 

Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая , заданная уравнением , где , лежит в плоскости .

 

Определение 2Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.

Если функция и ее производная непрерывны на отрезке , то длина дуги кривой вычисляется по формуле

.

 

 

Лекция 10 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

План

 

1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

2 Несобственные интегралы от неограниченных функций.

 

Ключевые понятия

 

Несобственные интегралы. Бесконечные пределы интегрирования. Неограниченная функция. Сходящиеся несобственные интегралы. Расходящиеся несобственные интегралы.

1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования

При введении понятия определённого интеграла предполагалось, что выполняются следующие два условия:

1) пределы интегрирования а и являются конечными;

2) подынтегральная функция ограничена на отрезке .

Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение 1 Пусть функция определена и непрерывна на промежутке , тогда

(1)

называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода).

Если существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся; если данный предел не существует или равен , то несобственный интеграл называется расходящимся.

Геометрически несобственный интеграл от неотрицательной функции выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , снизу – осью , слева – отрезком прямой и неограниченной справа (см. рисунок).

 

Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:

. (2)

Этот интеграл сходится, если существует конечный предел в правой части равенства (2); в противном случае интеграл называется расходящимся.

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:

, (3)

где с – любая точка интервала .

Интеграл называется сходящимся только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (3).

 

Пример 1. Исследовать на сходимость несобственные интегралы:

а) ; б) ; в) ; г) .

Решение: а) , следовательно, данный интеграл расходится;

б)

. Так как при предел не существует, то интеграл расходится;

в)

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно ;

г) = [выделим в знаменателе полный квадрат: ] = [замена:

] =

Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно .

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.