|
|
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 3 Пусть функция
которая называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Заметим, что как и в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить исходный интеграл, приблизив его к табличному. При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования – достаточно лишь найти новые пределы интегрирования Пример 3 Вычислить интеграл Решение. Введем новую переменную по формуле
Интегрирование по частям
Теорема 4 Пусть функции
Доказательство Так как
откуда
Все рекомендации, данные выше для использования аналогичной формулы в неопределенном интеграле, имеют место и для формулы (4). Пример 4 Вычислить Решение. Пусть
Пример 5 Вычислить Решение. Пусть
3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, Площадь криволинейной трапеции
Пусть функция
Пример 6 Найти площадь фигуры, ограниченной линией Решение. Графиком функции
Получаем:
Площадь фигуры находим по формуле (5):
Если функция
В случае, если функция
Пусть, наконец, криволинейная трапеция ограничена сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке
Пример 7 Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение. Данная фигура изображена на рисунке. Площадь ее вычислим по формуле (8). Решая систему уравнений
Более сложные задачи на вычисление площадей решают путем разбиения фигуры на непересекающиеся части и вычисления площади всей фигуры как суммы площадей этих частей.
Объем тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной на отрезке
Пример 8 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Решение. Сделаем чертеж.
Из условия задачи следует, что
Длина дуги плоской кривой Пусть кривая
Определение 2 Под длиной дуги Если функция
Лекция 10 НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ План
1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 2 Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Ключевые понятия
1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами При введении понятия определённого интеграла 1) пределы интегрирования а и 2) подынтегральная функция Рассмотрим вначале несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Определение 1 Пусть функция
называется несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования (несобственным интегралом I рода). Если существует конечный предел Геометрически несобственный интеграл
Аналогично определяется несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования:
Этот интеграл сходится, если существует конечный предел в правой части равенства (2); в противном случае интеграл называется расходящимся. Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования определяется следующим образом:
где с – любая точка интервала Интеграл
Пример 1. Исследовать на сходимость несобственные интегралы: а) Решение: а) б)
в)
г)
  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...  Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
непрерывна на отрезке 
. Тогда, если: 1) функция 
и ее производная 
непрерывны при 
; 2) множеством значений функции 
при 
является отрезок 
, 
, то справедлива формула
, (3)
и 
(для этого надо решить относительно переменной t уравнения 
и 
)).
.
. Определим 
и 
. Возведя в квадрат обе части равенства 
, откуда 
. Находим новые пределы интегрирования. Для этого в формулу 
подставим исходные пределы 
и 
. Получим: 
, откуда 
и, следовательно, 
; 
, откуда 
и, следовательно, 
. Таким образом:
.
и 
имеют непрерывные производные на отрезке 
. (4)
, то функция 
является первообразной для функции 
. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:
,
.
, тогда 
. По формуле (4) находим:
.
.
, тогда 
. Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
.
неотрицательна и непрерывна на отрезке 
, слева и справа – прямыми 
и 
(см. рисунок), вычисляется по формуле
. (5)
и осью 
является парабола, ветви которой направлены вниз. Построим ее. Чтобы определить пределы интегрирования, найдем точки пересечения линии (параболы) с осью 
). Для этого решаем систему уравнений:
, откуда 
, 
; следовательно, 
, 
.
(кв. ед.).
. (6)
. (7)
и 
, 
. (8)
и 
.
находим 
, 
; следовательно, 
, 
. На отрезке 
имеем: 
. Значит, в формуле (8) в качестве 
возьмем x, а в качестве 
– 
. Получим:
(кв. ед.).
, осью 
и 
, вращается вокруг оси 
. (9)
, прямыми 
, 
и осью 
, 
(куб. ед.).
, заданная уравнением 
, лежит в плоскости 
.
непрерывны на отрезке 
, то длина дуги кривой 
.
предполагалось, что выполняются следующие два условия:
являются конечными;
ограничена на отрезке 
.
, тогда
(1)
, то несобственный интеграл 
называется сходящимся; если данный предел не существует или равен 
, то несобственный интеграл называется расходящимся.
выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 
и неограниченной справа (см. рисунок).
. (2)
, (3)
.
называется сходящимся только в том случае, когда сходятся оба интеграла в правой части равенства (3).
; б) 
; в) 
; г) 
.
, следовательно, данный интеграл расходится;
. Так как при 
предел 
не существует, то интеграл 
расходится;
Значит, несобственный интеграл 
;
= [выделим в знаменателе полный квадрат: 
] = 
[замена: 
] = 
Значит, несобственный интеграл сходится и его значение равно 
.