ПОЛЕЗНОЕ

Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства Последнее добавление

КАТЕГОРИИ

Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:

; (1)

; (2)

. (3)

Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием

Пример 1 Решить уравнение .

Решение:

Уравнение (2) с помощью подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и у:

Пример 2 Решить уравнение .

Решение:

Уравнение (3) с помощью той же подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и х:

Пример 3 Решить уравнение .

Решение:

2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (4)

где p, q Î R.

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

y = c₁y₁ + c₂y₂,

где y₁, y₂ – линейно независимые частные решения уравнения (4);

c₁, c₂ – произвольные постоянные.

Частные решения y₁, y₂ находятся с помощью характеристического уравнения

. (5)

Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

1) если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t₁, t₂, то:

;

2) если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t₁ = t₂, то

;

3) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t=a
± b i, то

Пример 4 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Его корни t₁= 1, t₂= 3. Следовательно, общее решение:

Пример 5 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:

Пример 6 Решить уравнение .

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: .

D = 16 – 52 = – 36

Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (6)

Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у₁(х) и общего решения у₀(х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4).

Следовательно, у (х) = у₀(х) + у₁(х), причем способы нахождения
у₀(х) мы рассматривали выше. Осталось решить задачу нахождения частного решения уравнения (6), т.е. найти у₁(х).

Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у₁(х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:

Таблица – Виды частных решений

Правая часть дифференциального уравнения	Корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения	Вид частного решения
1) f (х)=ае^mx, а, m – постоянные	Число m не является корнем характеристического уравнения	у₁(х) = Ае^mx
2) f (х)=ае^mx, а, m – постоянные	Число m – простой корень характеристического уравнения	у₁(х) = Ахе^mx
3) f (х)=ае^mx, а, m – постоянные	Число m – кратный корень характеристического уравнения	у₁(х) = Ах² е^mx
4) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные	р ¹ 0, q ¹ m²	у₁(х)= А cosmx + + В sinmx
5) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные	р = 0, q = m²	у₁(х)= х(А cosmx + В sinmx)
6)f (х)=а x² + bx + с, а, b, с – постоянные	q ¹ 0	у₁(х)=Аx² + Вx + С
7) f (х)=а x² + bx + с, а, b, с – постоянные	q = 0, р ¹ 0	у₁(х)=х (Аx² +Вx + С)

Пример 7 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:

Так как m не является корнем характеристического уравнения, то:

у₁(х) = Ае^-^x, у¢₁(х) = -Ае^-^x,у²₁(х) = Ае^-^x,

Ае^-^x- 4 Ае^-^x + 20 Ае^-^x=34 е^-^x,

Þ 17Ае^-^x= 34 е^-^x, Þ А = 2

Þ у₁(х) = 2е^-^x

Þ у (х) = у₀(х) + у₁(х)= + 2е^-^x.

Пример 8 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

.

Так как m является простым корнем характеристического уравнения, то:

у₁(х) = Ахе^-^x, у¢₁(х) = Ае^-^x – Ахе^-^x,у²₁(х) = Ахе^-^x – 2Ае^-^x,

Ахе^-^x– 2 Ае^-^x – 6 (Ае^-^x – Ахе^-^x) – 7 Ахе^-^x=24 е^-^x,

Þ -8Ае^-^x= 24 е^-^x, Þ А = –3.

Þ у₁(х) = –3хе^-^x.

Þ у (х) = у₀(х) + у₁(х)= – 3хе^-^x.

Лекция 13 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

План

1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов.

2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Ключевые понятия

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: