Сдам Сам
Главная | Контакты

ПОЛЕЗНОЕ
Как развить коммуникабельность Почему могут возникнуть ссоры между супругами, в то время как их отношения кажутся прочными Почему появляется страх? Как стать богатым и отойти от дел молодым Советы от доктора Айболита «Как быть здоровым» Как сделать приглашение правильно Точка зрения. Как сделать сотрудника вовлеченным? Лень и как с ней бороться. Психологические аспекты Способов заработать с помощью internet Лекции по Основам предпринимательства


КАТЕГОРИИ
АвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудит Биология Бухгалтерия Генетика География Геология Изобретательство Информатика Искусство История Компьютеры Литература Логика Маркетинг МатематикаМашиностроение Медицина Менеджмент Металлы и Сварка Механика Образование Педагогика Политика ПравоотношениеПроизводство Психология РазноеРелигия Социология Спорт Технологии Торговля Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика







Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:

 

; (1)

; (2)

. (3)

 

Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием

Пример 1Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (2) с помощью подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и у:

.

Пример 2Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (3) с помощью той же подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и х:

.

Пример 3 Решить уравнение .

Решение:

.

 

2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

 

, (4)

где p, q Î R.

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

 

y = c1y1 + c2y2 ,

где y1 , y2 – линейно независимые частные решения уравнения (4);

c1, c2 – произвольные постоянные.

Частные решения y1 , y2 находятся с помощью характеристического уравнения

. (5)

Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

 

1) если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t1, t2 , то:

;

 

2) если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t1 = t2 , то

;

 

3) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t=a
± b i, то

.

 

Пример 4 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Его корни t1 = 1, t2 = 3. Следовательно, общее решение:

 

.

Пример 5 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:



 

.

 

Пример 6 Решить уравнение .

Решение:Характеристическое уравнение имеет вид: .

D = 16 – 52 = – 36

.

Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

.

 

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

 

. (6)

Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у1 (х) и общего решения у0 (х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4).

Следовательно, у (х) = у0 (х) + у1 (х), причем способы нахождения
у0 (х) мы рассматривали выше. Осталось решить задачу нахождения частного решения уравнения (6), т.е. найти у1 (х).

Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у1 (х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:

 

Таблица – Виды частных решений

Правая часть дифференциального уравнения Корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения Вид частного решения
1) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m не является корнем характеристического уравнения у1 (х) = Аеmx
2) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m – простой корень характеристического уравнения у1 (х) = Ахеmx
3) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m – кратный корень характеристического уравнения у1 (х) = Ах2 еmx
4) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные р ¹ 0, q ¹ m2 у1 (х)= А cosmx + + В sinmx
5) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные р = 0, q = m2 у1 (х)= х(А cosmx + В sinmx)
6)f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные q ¹ 0 у1 (х)=Аx2 + Вx + С
7) f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные q = 0, р ¹ 0 у1 (х)=х (Аx2 +Вx + С)

 

Пример 7 Решить уравнение .

Решение.Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

 

.

 

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:

.

Так как m не является корнем характеристического уравнения, то:

у1 (х) = Ае-x , у¢1 (х) = -Ае-x, у²1 (х) = Ае-x,

Ае-x - 4 Ае-x + 20 Ае-x=34 е-x,

Þ 17Ае-x = 34 е-x, Þ А = 2

Þ у1 (х) = 2е-x

Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= + 2е-x.

Пример 8 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

 

.

 

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

.

Так как m является простым корнем характеристического уравнения, то:

у1 (х) = Ахе-x , у¢1 (х) = Ае-x – Ахе-x, у²1 (х) = Ахе-x – 2Ае-x,

Ахе-x – 2 Ае-x – 6 (Ае-x – Ахе-x ) – 7 Ахе-x =24 е-x,

Þ -8Ае-x = 24 е-x, Þ А = –3.

Þ у1 (х) = –3хе-x.

Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= – 3хе-x.

Лекция 13 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

 

План

 

1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов.

2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

 

Ключевые понятия








Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.