Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка





Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:

 

; (1)

; (2)

. (3)

 

Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием

Пример 1Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (2) с помощью подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и у:

.

Пример 2Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (3) с помощью той же подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и х:

.

Пример 3 Решить уравнение .

Решение:

.

 

2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

 

, (4)

где p, q Î R.

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

 

y = c1y1 + c2y2 ,

где y1 , y2 – линейно независимые частные решения уравнения (4);

c1, c2 – произвольные постоянные.

Частные решения y1 , y2 находятся с помощью характеристического уравнения

. (5)

Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

 

1) если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t1, t2 , то:

;

 

2) если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t1 = t2 , то

;

 

3) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t=a
± b i
, то

.

 

Пример 4 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Его корни t1 = 1, t2 = 3. Следовательно, общее решение:

 

.

Пример 5 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:



 

.

 

Пример 6 Решить уравнение .

Решение:Характеристическое уравнение имеет вид: .

D = 16 – 52 = – 36

.

Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

 

.

 

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

 

. (6)

Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у1 (х) и общего решения у0 (х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4).

Следовательно, у (х) = у0 (х) + у1 (х), причем способы нахождения
у0 (х) мы рассматривали выше. Осталось решить задачу нахождения частного решения уравнения (6), т.е. найти у1 (х).

Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у1 (х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:

 

Таблица – Виды частных решений

Правая часть дифференциального уравнения Корни характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения Вид частного решения
1) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m не является корнем характеристического уравнения у1 (х) = Аеmx
2) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m – простой корень характеристического уравнения у1 (х) = Ахеmx
3) f (х)=аеmx, а, m – постоянные Число m – кратный корень характеристического уравнения у1 (х) = Ах2 еmx
4) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные р ¹ 0, q ¹ m2 у1 (х)= А cosmx + + В sinmx
5) f (х)=а cosmx + b sinmx, а, b, m – постоянные р = 0, q = m2 у1 (х)= х(А cosmx + В sinmx)
6)f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные q ¹ 0 у1 (х)=Аx2 + Вx + С
7) f (х)=а x2 + bx + с, а, b, с – постоянные q = 0, р ¹ 0 у1 (х)=х (Аx2 +Вx + С)

 

Пример 7 Решить уравнение .

Решение.Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

 

.

 

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:

.

Так как m не является корнем характеристического уравнения, то:

у1 (х) = Ае-x , у¢1 (х) = -Ае-x, у²1 (х) = Ае-x,

Ае-x - 4 Ае-x + 20 Ае-x=34 е-x,

Þ 17Ае-x = 34 е-x, Þ А = 2

Þ у1 (х) = 2е-x

Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= + -x.

Пример 8 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

 

.

 

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.

.

Так как m является простым корнем характеристического уравнения, то:

у1 (х) = Ахе-x , у¢1 (х) = Ае-x – Ахе-x, у²1 (х) = Ахе-x – 2Ае-x,

Ахе-x – 2 Ае-x – 6 (Ае-x – Ахе-x ) – 7 Ахе-x =24 е-x,

Þ -8Ае-x = 24 е-x, Þ А = –3.

Þ у1 (х) = –3хе-x.

Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= 3хе-x.

Лекция 13 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

 

План

 

1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов.

2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

 

Ключевые понятия









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2019 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.