|
Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядкаРассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:
Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием Пример 1 Решить уравнение Решение:
Уравнение (2) с помощью подстановки
Пример 2 Решить уравнение Решение:
Уравнение (3) с помощью той же подстановки
Пример 3 Решить уравнение Решение:
2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные
Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
где p, q Î R. Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:
y = c1y1 + c2y2, где y1, y2 – линейно независимые частные решения уравнения (4); c1, c2 – произвольные постоянные. Частные решения y1, y2 находятся с помощью характеристического уравнения
Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:
1) если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t1, t2, то:
2) если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t1 = t2, то
3) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t=a
Пример 4 Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: Его корни t1 = 1, t2 = 3. Следовательно, общее решение:
Пример 5 Решить уравнение Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:
Пример 6 Решить уравнение Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: D = 16 – 52 = – 36
Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у1 (х) и общего решения у0 (х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4). Следовательно, у (х) = у0 (х) + у1 (х), причем способы нахождения Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у1 (х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:
Таблица – Виды частных решений
Пример 7 Решить уравнение Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Характеристическое уравнение имеет вид:
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:
Так как m не является корнем характеристического уравнения, то: у1 (х) = Ае-x , у¢1 (х) = -Ае-x, у²1 (х) = Ае-x, Ае-x - 4 Ае-x + 20 Ае-x=34 е-x, Þ 17Ае-x = 34 е-x, Þ А = 2 Þ у1 (х) = 2е-x Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= Пример 8 Решить уравнение Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
Характеристическое уравнение имеет вид:
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.
Так как m является простым корнем характеристического уравнения, то: у1 (х) = Ахе-x , у¢1 (х) = Ае-x – Ахе-x, у²1 (х) = Ахе-x – 2Ае-x, Ахе-x – 2 Ае-x – 6 (Ае-x – Ахе-x) – 7 Ахе-x =24 е-x, Þ -8Ае-x = 24 е-x, Þ А = –3. Þ у1 (х) = –3хе-x. Þ у (х) = у0 (х) + у1 (х)= Лекция 13 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
План
1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства числовых рядов. 2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. 3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.
Ключевые понятия ![]() ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|