Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, допускающих понижение порядка

Рассмотрим некоторые типы дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. Пусть даны уравнения:

; (1)

; (2)

. (3)

Общее решение уравнения (1) находится двукратным интегрированием

Пример 1 Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (2) с помощью подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и у:

.

Пример 2 Решить уравнение .

Решение:

.

Уравнение (3) с помощью той же подстановки сводится к уравнению с разделяющимися переменными р и х:

.

Пример 3 Решить уравнение .

Решение:

.

2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные
уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

, (4)

где p, q Î R.

Общее решение дифференциального уравнения (4) имеет следующий вид:

y = c₁y₁ + c₂y₂,

где y₁, y₂ – линейно независимые частные решения уравнения (4);

c₁, c₂ – произвольные постоянные.

Частные решения y₁, y₂ находятся с помощью характеристического уравнения

. (5)

Общее решение дифференциального уравнения имеет следующий вид:

1) если уравнение (5) имеет два различных действительных корня t₁, t₂, то:

;

2) если уравнение (5) имеет два совпадающих действительных корня t = t₁ = t₂, то

;

3) если уравнение (5) имеет комплексно-сопряженные корни t=a
± b i, то

.

Пример 4 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

Его корни t₁ = 1, t₂ = 3. Следовательно, общее решение:

.

Пример 5 Решить уравнение .

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: .

У него два одинаковых корня t =2. Следовательно, общее решение:

.

Пример 6 Решить уравнение .

Решение: Характеристическое уравнение имеет вид: .

D = 16 – 52 = – 36

.

Так как характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

. (6)

Имеет место следующая теорема: общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения (6) представляет собой сумму некоторого его частного решения у₁ (х) и общего решения у₀ (х) соответствующего однородного дифференциального уравнения (4).

Следовательно, у (х) = у₀ (х) + у₁ (х), причем способы нахождения
у₀ (х) мы рассматривали выше. Осталось решить задачу нахождения частного решения уравнения (6), т.е. найти у₁ (х).

Для специального вида правых частей f (х) задача нахождения частного решения у₁ (х) уравнения (6) решается с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование. Этот метод называется методом подбора частного решения. Имеет место следующая таблица видов частных решений для различных видов правых частей:

Таблица – Виды частных решений

Пример 7 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

.

Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни . Следовательно:

.

Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения:

.

Так как m не является корнем характеристического уравнения, то:

у₁ (х) = Ае^-x , у¢₁ (х) = -Ае^-x, у²₁ (х) = Ае^-x,

Ае^-x - 4 Ае^-x + 20 Ае^-x=34 е^-x,

Þ 17Ае^-x = 34 е^-x, Þ А = 2

Þ у₁ (х) = 2е^-x

Þ у (х) = у₀ (х) + у₁ (х)= + 2е^-x.

Пример 8 Решить уравнение .

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: