|
|
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если Точки разрыва функции классифицируются следующим образом: Определение 11 Точка Определение 12 Точка Определение 13 Точка Пример 8 Найти точки разрыва функции и определить их тип:
Решение. Функция
Так как односторонние пределы существуют и конечны, но не равны между собой, то точка Для точки
Таким образом, имеем: График данной функции изображен на рисунке:
Лекция 3 ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ План 1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. Основные правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. 2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков.
Ключевые понятия
1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл.
Пусть функция f (х) определена в некоторой окрестности точки х 0. Определение 1 Производной функции f (х) в точке х 0 называется число, обозначаемое f ¢ (х 0) и равное
если этот предел существует. Так как х = х 0 + ∆ х, х – х 0 = ∆ х, то предел (1) может быть записан в виде
т. е. производная функции f (x) в точке х 0 есть предел отношения ее приращения ∆ f (х 0) в этой точке к соответствующему приращению аргумента ∆ х, когда ∆ х стремится к нулю. Для обозначения производной функции f (x) в точке х 0 используют следующие выражения:
Определение 2 Правой производной называется число
Аналогично определяется левая производная Заметим, что существование производной функции в точке равносильно равенству ее односторонних производных в этой точке. Пример 1 Используя определение производной, найти Решение.
Ответ: Пример 2 Найти односторонние производные функции f (x) = | x | в точке х 0 = 0. Решение:
Таким образом, функция f (x) = | x | в точке х 0 = 0 не имеет производной, так как односторонние производные не совпадают. Ответ: Выясним геометрический смысл производной. Пусть f (х) – непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки х 0. Рассмотрим две точки А (х 0; f (х 0)) и В (х 1; f (х 1)), лежащие на графике функции f (х). Прямая l = АВ называется секущей. Запишем ее уравнение, используя уравнение прямой, заданной двумя точками: l: Выразим из этого уравнения у:
где
Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f (x). Тогда секущая АВ будет стремиться к некоторому предельному положению. Это предельное положение секущей называется касательной к графику функции f (x) в точке х 0, если существует конечный предел
который называется угловым коэффициентом касательной к графику функции f (x) в точке х 0. Из (4) следует, что
– уравнение касательной к графику f (x) в точке х 0. Таким образом, где α – угол наклона касательной к положительному направлению оси О х. Следовательно, с геометрической точки зрения, производная функции f (x) в точке х 0 численно равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f (x) в точке х 0 и положительным направлением оси О х. Если касательная образует угол 90о с положительным направлением оси О х, то будем говорить, что функция имеет в данной точке производную, равную ¥. Определение 3 Прямая, перпендикулярная к касательной графика функции f (x) в точке
Определение 4 Углом φ между двумя кривыми у = f 1(х) и у = f 2(х) в точке их пересечения с абсциссой х 0 назовем угол между касательными к этим кривым, проведенными к ним в этой точке:
Выясним теперь экономический смысл производной. Пусть функция у = f (х) устанавливает зависимость объема выпуска продукции от затрат ресурса х, а ресурс х получает прирост Δ х. Тогда Следовательно, производная Если функция у = f (t) выражает количество произведенной продукции за время t, то f¢ (t) есть предельная производительность в момент времени t. Аналогичным образом могут быть определены предельные издержки, предельный доход, предельная выручка и т. д. Отметим, что если функция f (х) имеет производную в точке х 0, то она непрерывна в этой точке. Действительно, так как Следовательно,
Определение 5 Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.
  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...  ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...  Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
– точка разрыва функции 
, то в ней не выполняется хотя бы одно из трех условий непрерывности функции, указанных в определениях 7, 8.
и 
, но они не равны между собой: 
. Величина 
называется при этом скачком функции 
, они равны между собой: 
, но сама функция 
.
определена и непрерывна на интервалах 
, 
и 
, так как на каждом из этих интервалов она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, точками разрыва данной функции могут быть только те точки, в которых функция меняет свое аналитическое задание, т.е. точки 
и 
. Найдем односторонние пределы функции в точке 
; 
.
.
;
; 
.
. Следовательно, в точке 
, (1)
, (2)
.
. (3)
.
для функции f (x) = 4 x 2 – 1.
= 1, 
.
, (4)
,
(5)
,
, называется нормалью к кривой, определяемой функцией f (x) в точке х 0. Учитывая, что для перпендикулярных прямых k 1 k 2 = –1, из уравнения (5) получаем уравнение нормали к графику функции f (x) в точке х 0:
. (6)
. (7)
будет приращением выпуска продукции, а отношение 
– средним приращением выпуска продукции на единицу затрат.
выражает предельный продукт при затратах х и представляет собой приближенно дополнительный выпуск продукции на единицу дополнительных затрат.
, то 
, где 
= 0 (теорема о связи предела функции и бесконечно малой функции).
т. е. по необходимому и достаточному условию непрерывности функции в точке х 0 функция f (х) непрерывна в точке х 0.