Определение степенного ряда. Теорема Абеля

Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.

Определение 1 Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (1)

где – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда;

а – некоторое постоянное число;

х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.

При степенной ряд (1) принимает вид

. (2)

Степенной ряд (1) называют рядом по степеням разности , ряд (2) – рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1) (или (2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.

Определение 2 Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Ряд (1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (2).

Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема:

Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .

Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.

Теорема 2 Область сходимости степенного ряда (2) совпадает с одним из следующих интервалов:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ,

где R – некоторое неотрицательное действительное число или .

Число R называется радиусом сходимости, интервал – интервалом сходимости степенного ряда (2).

Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .

Если , то интервал сходимости вырождается в точку .

Замечание Если – интервал сходимости для степенного ряда (2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1).

Из теоремы 2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .

Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:

формула Даламбера:

; (3)

формула Коши:

. (4)

Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .

Пример 1Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .

Решение.Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле .

В нашем случае , . Тогда

.

Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.

При степенной ряд превращается в числовой:

,

который расходится как гармонический ряд.

При степенной ряд превращается в числовой:

– это знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.

Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.

Свойства степенных рядов

Степенной ряд (2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.

.

Приведем несколько свойств функции :

Свойство 1 Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .

Свойство 2 Функция дифференцируема на интервале ,
и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (2), т. е.

,

для всех .

Свойство 3 Неопределенный интеграл от функции для всех может быть получен почленным интегрированием ряда (2), т. е.

,

для всех .

Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала может измениться.

Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1).

Пример 2Рассмотрим степенной ряд

.

Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1, есть промежуток .

Почленно продифференцируем этот ряд:

. (5)

По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (5) есть интервал .

Исследуем сходимость этого ряда на концах интервала сходимости,
т. е. при и при .

При степенной ряд (5) превращается в числовой ряд:

.

Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.

При степенной ряд (5) превращается в числовой ряд:

,

который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: