|
Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов. Определение 1 Степенным рядом называется функциональный ряд вида
где а – некоторое постоянное число; х – переменная, принимающая значения из множества действительных чисел. При
Степенной ряд (1) называют рядом по степеням разности Если переменной х придать какое-либо значение, то степенной ряд (1) (или (2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Определение 2 Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится. Ряд (1) с помощью подстановки Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема: Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 2 Область сходимости степенного ряда (2) совпадает с одним из следующих интервалов: 1) где R – некоторое неотрицательное действительное число или Число R называется радиусом сходимости, интервал Если Если Замечание Если
Из теоремы 2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (2) достаточно найти его радиус сходимости R и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости Радиус сходимости R степенного ряда можно найти по одной из следующих формул: формула Даламбера:
формула Коши:
Если в формуле Коши Пример 1 Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда
Решение. Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле В нашем случае
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости. При
который расходится как гармонический ряд. При – это знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и Таким образом, промежуток
Свойства степенных рядов
Степенной ряд (2) представляет собой функцию
Приведем несколько свойств функции
Свойство 1 Функция
Свойство 2 Функция
для всех Свойство 3 Неопределенный интеграл от функции
для всех Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R не меняется, однако его сходимость на концах интервала Приведенные свойства справедливы также и для степенных рядов (1).
Пример 2 Рассмотрим степенной ряд
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1, есть промежуток Почленно продифференцируем этот ряд:
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (5) есть интервал Исследуем сходимость этого ряда на концах интервала сходимости, При
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости При
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости. Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом ![]() ![]() Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ![]() Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ![]() Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|