Ряды Тейлора, Маклорена для функций

Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция
в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.

Определение 3 Рядом Тейлорафункции в точке называется степенной ряд

. (6)

В частном случае при ряд (6) называется рядом Маклорена:

. (7)

Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции в окрестности точки совпадает с функцией ?

Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции сходится, однако его сумма не равна . Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции к этой функции.

Теорема 3:если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала, т. е. имеет место равенство

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1 . Для этой функции , .

По формуле (7) составим ряд Маклорена данной функции:

. (8)

Найдем радиус сходимости ряда (8) по формуле (3):

.

Следовательно, ряд (8) сходится при любом значении .

Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е.

.

Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение

. (9)

2 . Для этой функции , , .

Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.

По формуле (7) составим ряд Маклорена:

.

При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом

.

Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение

. (10)

3 . Воспользуемся разложением (10) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем

.

(11)

Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (11) имеет место при любом .

Разложения других элементарных функций в ряды Маклорена приведем без доказательства.

4

– биномиальный ряд ( – любое действительное число).

Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона:

.

5 – логарифмический ряд.

6 .

Приложения степенных рядов

Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.

Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.

Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:

; ; ; ; ; .

Список литературы

1. Гусак, А.А. Справочное пособие к решению задач. Математический анализ. Дифференциальные уравнения / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1998.

2. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Теория пределов: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с.

3. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск:
ЧИУП, 2007. – 20 с.

4. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Исследование функций: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 23 с.

5. Метельский, В.М. Высшая математика. Непрерывность функции. Функции нескольких переменных: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2005. –24 с.

6. Метельский, В.М. Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с.

7. Метельский, В.М. Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с.

8. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 27с.

9. Овсеeц, М.И. Высшая математика. Степенные ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2006. – 13 с.

10. Овсеец, М.И. Высшая математика. Числовые ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с.

Содержание

Лекция 1 Предел последовательности……………...……………………..3

1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последова-тельности. Свойства сходящихся числовых последовательностей…….……..3

2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последователь-ности. Основные способы вычисления пределов…………………………….6

Лекция 2 Предел функции……..……………...…………………..………..10

1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции
в бесконечности…………………………………..……………………….…..10

2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные
пределы…………………………………………………………………..…….13

3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функ-
ции и их классификация………………………………………….…………..15

Лекция 3 Производная функции…………………….…………...……….20

1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл.
Основные правила дифференцирования. Производные основных эле-ментарных функций………………………………………………………..…20

2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков……………………………………………....26

Лекция 4 Правило Лопиталя. Дифференциал функции…………………...28

1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя……..…..28

2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение
дифференциала в приближенных вычислениях………………………….…30

Лекция 5 Исследование функций………………..................……………..32

1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции ……………………………………………………………………….33

2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба…..36

3 Асимптоты графика функции………………….…………………………..38

4 Общая схема построения графика функции…….………………………...40

Лекция 6 Функции нескольких переменных……………………………41

Лекция 7 Неопределенный интеграл………………...…………………..49

1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных не-определенных интегралов…………………………………….……………...49

2 Основные методы интегрирования……………………………..…………52

Лекция 8 Неопределенный интеграл(продолжение)..……………….….57

1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен…..…..57

2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирова-
ние простейших иррациональных функций……………………………..….59

3 Интегрирование тригонометрических функций……………..…………...61

Лекция 9 Определенный интеграл…………….……...…………………63

1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные

свойства определенного интеграла……………………………….………….63

2 Основные способы вычисления определенного интеграла…………...….67

3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин
дуг плоских кривых…………………………………...………………………68

Лекция 10 Несобственные интегралы……………………………………73

1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования…..74

2 Несобственные интегралы от неограниченных функций…..……………76

Лекция 11 Дифференциальные уравнения первого порядка………….77

1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши…….…….78

2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными……...82

3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………….….84

Лекция 12 Дифференциальные уравнения высших порядков………..88

Список литературы…………..…………….……...………………………..112

 

Учебное издание

 

МЕТЕЛЬСКИЙ Василий Михайлович

МИНЧЕНКОВ Юрий Владимирович

ОВСЕЕЦ Михаил Ильич

СВЕТЛАЯ Елена Михайловна

 

 

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

Основы математического анализа

Ответственный за выпуск Ю. В. Минченков

 

Редактор Н.В. Рябкова

Компьютерная верстка Д. А. Германов

Компьютерный набор Л.Н. Шахлович

Корректор Н. А. Бебель

 

Подписано в печать 21.12.2010 г. Формат 60×84¹/₁₆.

Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman».

Отпечатано способом ризографии.

Усл. печ. л. 6,74. Уч.-изд. л. 6,0. Тираж 150 экз. Зак. 102.

 

 

Издатель и полиграфическое исполнение:

Учреждение образования

«Частный институт управления и предпринимательства».

220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.

ЛИ № 02330/0548517 выдана 29.06.2004 г., продлена до 29.06.2014 г.

⇐ Предыдущая123456789

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: