|
Ряды Тейлора, Маклорена для функций ⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8
Пусть Определение 3 Рядом Тейлора функции
В частном случае при
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции Теорема 3: если в интервале
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования. Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1 По формуле (7) составим ряд Маклорена данной функции:
Найдем радиус сходимости ряда (8) по формуле (3):
Следовательно, ряд (8) сходится при любом значении Все производные функции
Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение
2 Отсюда следует, что при По формуле (7) составим ряд Маклорена:
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
Поэтому, согласно теореме 3, имеет место разложение
3
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (11) имеет место при любом Разложения других элементарных функций в ряды Маклорена приведем без доказательства. 4
Если
5 6 Приложения степенных рядов Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др. Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов. Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х:
Список литературы
1. Гусак, А.А. Справочное пособие к решению задач. Математический анализ. Дифференциальные уравнения / А.А. Гусак. – Минск: ТетраСистемс, 1998. 2. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Теория пределов: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с. 3. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Производная функции. Дифференциал функции: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: 4. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Исследование функций: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 23 с. 5. Метельский, В.М. Высшая математика. Непрерывность функции. Функции нескольких переменных: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2005. –24 с. 6. Метельский, В.М. Высшая математика. Неопределенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с. 7. Метельский, В.М. Высшая математика. Определенный интеграл: учеб.-метод. пособие / В.М. Метельский. – Минск: ЧИУП, 2007. – 28 с. 8. Минченков, Ю.В. Высшая математика. Дифференциальные уравнения: учеб.-метод. пособие / Ю.В. Минченков. – Минск: ЧИУП, 2007. – 27с. 9. Овсеeц, М.И. Высшая математика. Степенные ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2006. – 13 с. 10. Овсеец, М.И. Высшая математика. Числовые ряды: учеб.-метод. пособие / М.И. Овсеец, Е.М. Светлая. – Минск: ЧИУП, 2005. – 20 с.
Содержание
Лекция 1 Предел последовательности ……………...……………………..3 1 Понятие числовой последовательности. Предел числовой последова-тельности. Свойства сходящихся числовых последовательностей…….……..3 2 Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последователь-ности. Основные способы вычисления пределов…………………………….6 Лекция 2 Предел функции ……..……………...…………………..………..10 1 Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции 2 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные 3 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва функ- Лекция 3 Производная функции …………………….…………...……….20 1 Производная функции, ее геометрический и экономический смысл. 2 Логарифмическое дифференцирование. Производная неявной функции. Производные высших порядков……………………………………………....26 Лекция 4 Правило Лопиталя. Дифференциал функции …………………...28 1 Раскрытие неопределенностей при помощи правила Лопиталя……..…..28 2 Дифференциал функции, его геометрический смысл. Применение Лекция 5 Исследование функций ………………..................……………..32 1 Локальные экстремумы функции. Достаточные условия экстремума функции ……………………………………………………………………….33 2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба…..36 3 Асимптоты графика функции………………….…………………………..38 4 Общая схема построения графика функции…….………………………...40 Лекция 6 Функции нескольких переменных ……………………………41 1 Предел и непрерывность функции двух переменных…..………………...42 2 Частные производные первого порядка. Полный дифференциал. 3 Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и доста-точные условия существования экстремума……………………..…………47 Лекция 7 Неопределенный интеграл ………………...…………………..49 1 Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица основных не-определенных интегралов…………………………………….……………...49 2 Основные методы интегрирования……………………………..…………52 Лекция 8 Неопределенный интеграл (продолжение).. ……………….….57 1 Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен…..…..57 2 Интегрирование простейших рациональных дробей. Интегрирова- 3 Интегрирование тригонометрических функций……………..…………...61 Лекция 9 Определенный интеграл …………….……...…………………63 1 Определенный интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства определенного интеграла……………………………….………….63 2 Основные способы вычисления определенного интеграла…………...….67 3 Вычисление площадей плоских фигур, объемов тел вращения, длин Лекция 10 Несобственные интегралы ……………………………………73 1 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования…..74 2 Несобственные интегралы от неограниченных функций…..……………76 Лекция 11 Дифференциальные уравнения первого порядка ………….77 1 Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши…….…….78 2 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными……...82 3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………….….84 Лекция 12 Дифференциальные уравнения высших порядков ………..88 1 Интегрирование дифференциальных уравнений высших порядков, 2 Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравне- Лекция 13 Числовые ряды ………….……………………………………..93 1 Определение числового ряда. Сходимость. Основные свойства чис- 2 Ряды с положительными членами. Признаки сходимости……………...98 3 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды……….…………………102 Лекция 14 Степенные ряды ……………………...……….………………103 1 Определение степенного ряда. Теорема Абеля…….……………………103 2 Свойства степенных рядов……………………………….……………….106 3 Ряды Тейлора, Маклорена для функций…………………….…………...108 Список литературы …………..…………….……...………………………..112
Учебное издание
МЕТЕЛЬСКИЙ Василий Михайлович МИНЧЕНКОВ Юрий Владимирович ОВСЕЕЦ Михаил Ильич СВЕТЛАЯ Елена Михайловна
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Основы математического анализа Ответственный за выпуск Ю. В. Минченков
Редактор Н.В. Рябкова Компьютерная верстка Д. А. Германов Компьютерный набор Л.Н. Шахлович Корректор Н. А. Бебель
Подписано в печать 21.12.2010 г. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Отпечатано способом ризографии. Усл. печ. л. 6,74. Уч.-изд. л. 6,0. Тираж 150 экз. Зак. 102.
Издатель и полиграфическое исполнение: Учреждение образования «Частный институт управления и предпринимательства». 220086, Минск, ул. Славинского, 1, корп. 3.
![]() ![]() ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ![]() ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... ![]() Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ![]() Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|