Построение натуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 13Следующая ⇒

Из рисунке 23 можно заключить, что отрезок прямой АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет равен проекции отрезка (А1 =А′В′), а другой катет равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций π ₁ (В1 = ВВ′ - АА′).

Рис. 23

Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости проекций, имеют разные знаки, то надо иметь в виду разность алгебраическую.

Угол φ, который образован между катетом А1 (А1 = А′В′) и гипотенузой (отрезком прямой АВ) – это угол наклона отрезка прямой АВ к плоскости проекций π ₁.

Угол прямой линии с плоскостью проекции определяется как угол, составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот угол входит в тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной величины отрезка.

На рис. 24 заданы проекции А′В′ и А′′В′′ прямой общего положения АВ. Чтобы определить ее натуральную величину и углы наклона к плоскостям проекций π ₁и π ₂, необходимо построить прямоугольные треугольники на плоскостях π ₁и π ₂, исходя из их пространственных положений.

Рис. 24

Гипотенуза в прямоугольных треугольниках А′А₀В′ и А′′В′′В₀ есть истинная величина отрезка прямой АВ(А₀В′ = А′′В₀ = [АВ]).

Угол α, образованный между гипотенузой А₀В′ и горизонтальной проекцией А′В′ в треугольнике А′А₀В′ - это угол наклона отрезка прямой АВ с горизонтальной плоскостью проекций π ₁

(А₀В′; А′В′ = [АВ]; π ₁ = < α).

Угол β, образованный между гипотенузой А′′В₀ и фронтальной проекцией А′′В′′ в треугольнике А′′В′′В₀ – это угол наклона отрезка прямой АВ с фронтальной плоскостью проекций π ₂

(А′′В₀; А′′В′′ = [АВ]; π ₂ = < β).

Взаимное расположение прямых

1) Параллельные прямые (а ║в)

К числу свойств параллельного проецирования относится следующее: проекции двух параллельных прямых параллельны между собой. Если прямая «а» параллельна прямой «в», то проецирующие плоскости α и β параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с плоскостью проекции π получаются параллельные между собой проекции а ′ и в ′(рис. 25).

Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой, фронтальные проекции параллельны между собой и профильные проекции так же параллельны между собой.

Если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех плоскостей проекций π ₁, π ₂, π ₃, то эти прямые параллельны между собой в пространстве.

Рис. 25

Если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то параллельность прямых в пространстве этим подтверждается всегда для прямых общего положения (рис. 25), но может не подтвердиться для прямых уровня (рис. 26).

Рис. 26 Рис. 27

Профильные прямые АВ и СDна рисунке 26 заданы проекциями А′В′║С′D′ и А′′В′′║С′′D′′, но построенные профильные проекции этих прямых не подтверждают параллельность прямых в пространстве.

В случае, изображенном на рисунке 27, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций π ₁, поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой.

1) Пересекающиеся прямые (а∩в)

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых.

Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на трех или двух плоскостях проекций(рис. 28).

Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы точки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к оси проекций или на чертеже без осей проекций, эти точки оказались бы на линии связи, установленного для нее направления.

Рис. 28

Рис. 29

Если одна из данных пересекающихся прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции прямых на этой плоскости, то нельзя утверждать, что прямые пересекаются между собой в пространстве. Это может быть подтверждено построением недостающих проекций (рис. 29).

Прямые а и в на рисунке 29 не пересекаются (а ∩ в), это видно по расположению профильных проекций этих прямых.

2) Скрещивающиеся прямые (а ÷ в)

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рис. 30 изображены две скрещивающиеся прямые а и в общего положения.

Рис. 30

Хотя одноименные проекции прямых а и в пересекаются между собой, но эти точки представляют собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит прямой а, другая прямой в. Так точки К и N принадлежат прямой а, точки М и L принадлежат прямой в. В данном примере на рис.30имеют место фронтально – конкурирующие точки – М и N, а К и L – горизонтально – конкурирующие. Точка М закрывает собой точку N по отношению к плоскости проекций π ₂, а по отношению к плоскости π ₁ точка К закрывает собой точку L. Направление взгляда указано стрелками.

Если хотя бы одна из скрещивающихся прямых параллельна профильной плоскости проекций, то о взаимном расположении прямых можно судить по изображению прямых на профильной плоскости проекций.

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостью проекций называется следом прямой.

Точка пересечения прямой с фронтальной плоскостью проекций называется фронтальным следом прямой.

Точка пересечения с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой.

На рисунке 31 показаны точки Н и F, в которых прямая, заданная отрезком АВ пересекает плоскости проекций π ₁ и π ₂.

Горизонтальная проекция Н′ горизонтального следа Н совпадает с этим следом, а его фронтальная проекция Н′′ лежит на оси проекций х.

Фронтальная проекция F′′ фронтального следа F совпадает с этим следом, а его горизонтальная проекция F′ лежит на той же оси проекций – х.

Рис. 31

Чтобы найти горизонтальный след прямой АВ, надо продолжить фронтальную проекцию А′′В′′ до пересечения с осью «х» и через найденную фронтальную проекцию Н′′ горизонтального следа Н, провести линию связи проекций Н′′ и Н′ до пересечения с продолжением горизонтальной проекции А′В′, что определит горизонтальную проекцию Н′ горизонтального следа Н, которая совпадает с самим следом (H′≡H), (рис. 32).

Рис. 32

Для нахождения фронтального следа продолжаем горизонтальную проекцию А′В′ до пересечения с осью х и найденную горизонтальную проекцию F′ фронтального следа F проводим линию связи проекций F′ и F′′ до пересечения с продолжением фронтальной проекции А′′В′′, что обозначит фронтальную проекцию F′′ фронтального следа F, которая совпадает с самим следом (F′′≡F).

Если плоскости проекций принять за плоскости координат, то у горизонтального следа прямой координата z = 0, у фронтального следа – у = 0.

По положению точек Н и F можно судить, к каким четвертям пространства отнесена данная прямая. На рисунке 32прямая АВ проходит через, I, II, IV четверти.

Прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, когда она параллельна этой плоскости.

Безосные чертежи

Пусть дан некоторый отрезок прямой АВ, отнесенный к системе плоскостей π ₁и π ₂. По чертежу этого отрезка (рис. 33) можно судить о его расположении относительно системы плоскостей; наличие оси х фиксирует это.

Пусть горизонтальная плоскость проекций π ₁ будет приближена к неподвижному отрезку АВ, соответственно ось х займет некоторое положение х₁, при этом ни длина, ни положение, относительно линий связи проекций А′В′ и А′′В′′ не изменятся (рис. 33).

Приближение (ось х₂ на рис. 33) фронтальной плоскости проекций π ₂ или удаление (ось х₁ на рис. 33) горизонтальной плоскости проекций π ₁ от отрезка не отразится на проекциях этого отрезка прямой АВ.

Следовательно, удаление или приближение к отрезку прямой плоскостей проекций параллельно самим себе не изменяет проекций этого отрезка. Поэтому на чертежах во многих случаях можно отказаться от изображения оси х (рис. 34).

Рис. 33 Рис. 34

По безосному чертежу нельзя определить расстояния концов отрезка, точек А и В, до плоскостей проекций π ₁ и π ₂, так как положение π ₁ и π ₂ не зафиксировано, хотя их направления известны, как соответственно перпендикулярные линиям связи. По такому чертежу можно судить о разности расстояний точек А и В до плоскостей проекций, следовательно, о взаимном расположении, например, отдельно взятых отрезков прямых.

Контрольные вопросы

1. Как могут быть заданы проекции прямой на эпюре?

2. Сколько положений может занимать прямая линия относительно плоскостей проекций?

3. В чем заключена сущность метода прямоугольного треугольника?

4. Назовите признак параллельности прямых на эпюре.

5. Всегда ли подтверждается признак параллельности двух прямых на эпюре?

6. Каково необходимое и достаточное условие на эпюре признака пересекающихся прямых?

7. Что характерно на эпюре для скрещивающихся прямых?

8. Сколько следов имеют проецирующие прямые, прямые уровня, прямые общего положения?

9. О чем можно судить на безосном чертеже прямой линии?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №3

Плоскость. Задание плоскости на чертеже. Следы плоскости. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Точка и прямая в плоскости. Главные линии плоскости.

План лекции

1. Способы задания плоскости на эпюре.

2. Следы плоскости.

3.Положения плоскости относительно плоскостей проекций.

4. Прямая в плоскости.

5. Точка в плоскости.

6. Главные линии плоскости.

3.1. Способы задания плоскости на эпюре

Положение плоскости в пространстве определяется:

а) тремя точками, не лежащими на одной прямой линии(рис. 1);

Рис. 1

б) прямой линией и точкой взятой вне прямой(рис. 2);

Рис. 2

в) двумя пересекающимися прямыми(рис. 3);

Рис. 3

г) двумя параллельными прямыми(рис. 4);

Рис. 4

д) проекциями любой плоской фигуры - треугольника, квадрата, окружности(рис. 5). Собственно это вариант способа задания плоскости пересекающимися прямыми. А задание плоскости треугольником вытекает из способа её задания тремя точками.

Рис. 5

Пусть некоторая плоскость α задана отдельно взятыми точками А, В, С (рис. 5). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые, получим проекции треугольника АВС, который задает так же некоторую плоскость α.

Следы плоскости

Плоскость может быть изображена на эпюре при помощи прямых, по которым она пересекает плоскости проекций(рис. 6).

Рис. 6

Прямые, по которым некоторая плоскость пересекает плоскости проекций, называются следами этой плоскости на плоскостях проекций или короче следами плоскости.

На рисунке 6 изображена плоскость α пересекающая горизонтальную плоскость проекций по прямой, обозначаемой h_oα и фронтальную плоскость по прямой, обозначаемой ƒ_оα.

Прямая h_o_α называется горизонтальным следом плоскости, прямая ƒ_о_α – фронтальным следом плоскости α.

Точка пересечения плоскости α с осью проекций х (точка пересечения следов плоскости) называется точкой схода следов, обозначена х_α.

След плоскости на плоскости проекций сливается со своей проекцией на этой плоскости. Так горизонтальный след плоскости α сливается со своей горизонтальной проекцией (h′_о_α≡h_o_α), фронтальная проекция этого следа (h′′_о_α) располагается на оси проекций х.

Фронтальный след плоскости α сливается со своей фронтальной проекцией (f′′_o_α≡f_o_α), горизонтальная проекция этого следа (f′_о_α) располагается на оси проекций х.

На чертеже плоскость может быть задана следами(рис. 6). Такой чертеж нагляден и удобен для построений.

Угол, образованный между следами на чертеже не равен углу, образованному следами плоскости в пространстве.

Если рассматривать плоскость в системе π ₁, π ₂, π ₃, то в общем случае плоскость пересечет каждую из осей проекций (рис. 7), т.к. плоскостьα пересекаетx, y, z). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

След р_о_α называется профильным следом плоскости α, причемр′′′_о_α≡р_о_α.

Рис. 7

Положения плоскости

Плоскость, как и прямая линия, относительно плоскостей проекций может занимать семь положений.

Плоскости общего положения

Такие плоскости не перпендикулярны ни к одной из плоскостей проекций. Следы плоскостей общего положения никогда не перпендикулярны к осям проекций. На рис. 8 дан пример плоскости общего положения.

2) Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций (возможны три случая):

а) горизонтальная плоскость;

Рис. 8

На рисунке 8 плоскость α║ π ₁, т.е. α_┴ π ₂и π ₃.

Фронтальная проекция точки А, лежащей в плоскости α, будет расположена на фронтальном следе этой плоскости.

б) фронтальная плоскость;

Рис. 9

На рисунке 9 плоскость β║ π ₂, т.е. β_┴ π ₁ и π ₃.

Горизонтальная проекция точки В, лежащей в плоскости β, будет расположена на горизонтальном следе плоскости

в) профильная плоскость;

Рис. 10

На рисунке 10 плоскость α║ π ₃, т.е. α_┴ π ₁ и π ₂.

Горизонтальная проекция точки С, лежащей в плоскости α, будет расположена на горизонтальном следе этой плоскости, фронтальная проекция точки С – на фронтальном следе плоскости α.

3) Плоскости, перпендикулярные одной плоскости проекций (возможны так же три случая):

а) горизонтально – проецирующая плоскость;

Рис.11

На рисунке 11 плоскость α_┴ π ₁. Фронтальный след перпендикулярен к плоскости π ₁ и к оси проекций х. Горизонтальный же след составляет с осью проекций не прямой угол, равный углу между горизонтально – проецирующей плоскостью и плоскостьюпроекций π ₂.

б) фронтально – проецирующая плоскость;

Рис. 12

На рисунке 12 плоскость β_┴ π ₂. Горизонтальный след перпендикулярен к плоскости π ₂ и к оси проекций х. Фронтальный след составляет с осью проекций не прямой угол, равный углу между фронтально – проецирующей плоскостью и плоскостью π ₁.

в) профильно – проецирующая плоскость;

Рис. 13

На рисунке 13 дана плоскость α_┴ π ₃.

Горизонтальный и фронтальный следы этой плоскости параллельны оси х и, следовательно, параллельны между собой. Угол γ^о – это угол, который образует профильно – проецирующая плоскость α с горизонтальной плоскостью проекций.

Прямая в плоскости

Построение прямой линии в плоскости основано на двух положениях, известных из геометрии:

1) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости.

2) прямая принадлежит плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую данной плоскости и параллельна прямой, находящейся в этой плоскости или параллельной ей.

Допустим, что плоскость α определена двумя пересекающимисяпрямыми АВ и ВС, а плоскость β двумя параллельными прямыми DE и FG на рисунке 20.

Рис.20

Согласно первому положению прямая, пересекающая прямые, определяющие плоскость, находится в данной плоскости.

Отсюда следует, что, если плоскость задана следами, то прямая принадлежит плоскости, если следы прямой находятся на одноименных следах плоскости (рис. 21).

Рис.21

Из второго положения следует, что прямая принадлежит плоскости, если она параллельна одному из следов этой плоскости и имеет с другим следом общую точку (рис. 22).

Рис.22

Точка в плоскости

Чтобы построить на чертеже точку, лежащую в заданной плоскости, надо построить прямую, лежащую в этой плоскости и отметить на этой прямой точку.

Рассмотрим задачу. Известно, что точка М расположена в плоскости α (а∩в). Задана фронтальная проекция этой точки – М′′. Определить горизонтальную проекцию точки – М′(рис. 23).

Рис. 23

Чтобы найти горизонтальную проекцию точки – М′, через ее фронтальную проекцию проведем фронтальную проекцию прямой – n′′ так, чтобы она пересекала фронтальные проекции прямых а ′′ и в ′′. По фронтальным проекциям точек пересечения – 1′′ и 2′′ определятся их горизонтальные проекции, затем через точки 1′ и 2′ строится горизонтальная проекция прямой – n′. Проведя из точки М′′ линию связи, получим горизонтальную проекцию точки – М′.

Точка М принадлежит плоскости α (а∩в), т. к. она расположена на прямой n, лежащей в этой плоскости.

Главные линии плоскости

К числу прямых, занимающих особое положение в плоскости, относят горизонтали, фронтали, профильные прямыеи линии наибольшего наклона к плоскостям проекций.

Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекций. Горизонтали принято обозначать на чертежах буквой h(рис. 24, 25).

Рис. 24 Рис. 25

На рисунках 24, 25 построены горизонтали плоскостей α и β (∆АВС).

Т. к. горизонталь плоскости есть прямая, параллельная плоскости π₁, то фронтальную проекцию h′′ строят параллельно оси х. Плоскость α на рисунке74 задана следами и горизонтальный след этой плоскости есть ее нулевая горизонталь. Горизонтальная проекция горизонтали h′ параллельна горизонтальному следу плоскости h_о_α.

Построенная прямая АК на рисунке 25 является горизонталью плоскости β (∆АВС); эта прямая лежит в плоскости, так как проходит через две точки ей принадлежащие и параллельна плоскости π₁.

Фронталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные плоскости проекций π ₂.

Фронтали принято обозначать на чертежах буквой f(рис. 26, 27).

Построение фронталей начинают с построения горизонтальной проекции – f ′.

Рис. 26 Рис. 27

Т. к. фронталь плоскости есть прямая параллельная плоскости π ₂, то горизонтальную проекцию f ′ строят паралельно оси х. Фронтальный след плоскости α есть ее нулевая фронраль, поэтому фронтальная проекция фронтали – f ′′ (рис. 26) параллельна фронтальному следу плоскости – f_о_α.

Построенная на рисунке 27 прямая AК является фронталью плоскости ∆АВС; эта прямая лежит в плоскости, т. к. проходит через точки А и К, принадлежащие ей, и параллельна плоскости π ₂.

Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям π ₁, π ₂, π ₃ называют прямые, лежащие в данной плоскости и перпендикулярные к ее горизонталям, фронталям, или к профильным прямым. Соответственно определяется наклон плоскости к плоскостям π ₁, π ₂, π ₃.

На рисунках 28, 29 построена линия наибольшего наклона к плоскости π ₁, которая называется также линией ската.

Рис. 28 Рис. 29

На рисунке 28 ВК _┴h_о_α, следовательно<ВКВ′ - линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями α и π ₁, а линия ската плоскости может служить для определения угла наклона этой плоскости к плоскости проекций. На рисунке 29 показано построение линии наибольшего ската МN плоскости β кплоскости π ₁. Вначале проведена перпендикулярно к горизонтальному следу h_о_β горизонтальная проекция линии ската М′N′ и через нее построена фронтальная проекция М′′N′′.

Угол между линией ската и ее горизонтальной проекцией является линейным углом между плоскостью, которой принадлежит линия ската и плоскостью проекций π ₁.

Контрольные вопросы

1. Как может быть задана плоскость на эпюре?

2. Что называется следом плоскости?

3. Сколько положений относительно плоскостей проекций может занимать плоскость?

4. В чем заключается признак принадлежности на эпюре прямой к данной плоскости?

5. В чем заключается признак принадлежности на эпюре точки к данной плоскости?

6. Какие линии в плоскости относятся к главным?

7. Какую линию в данной плоскости называют линией наибольшего наклона?

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №4

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: