Пересечение многогранника прямой линией

При пересечении поверхности многогранника прямой линией получаются две точки, которые называют точками входа и выхода.

Чтобы найти эти точки, надо провести через данную прямую вспомогательную плоскость и найти линии её пересечения с гранями; эти линии на гранях оказываются расположенными в одной плоскости с данной прямой и в своем пересечении дают точки, в которых данная прямая пересекает поверхность многогранника.

На рисунке 13 показано построение точек пересечения прямой линии АВ с поверхностью пирамиды SDNGC.

Через прямую АВ проведена вспомогательная фронтально – проецирующая плоскость α. Фронтальная проекция фигуры сечения пирамиды этой плоскостью сливается с фронтальным следом плоскости α. Горизонтальная проекция сечения найдена построением. Точки пересечения горизонтальной проекции прямой АВ с горизонтальной проекцией фигуры сечения представляют собой горизонтальные проекции искомых точек; по найденным горизонтальным проекциям (К',L') построены фронтальные проекции (К'', L'') точек пересечения К и L.

Рис. 13

Могут быть случаи, когда нет надобности в таких построениях. На рисунке 14 дан подобный пример, когда положение проекций К'и М' очевидно, так как боковые грани призмы перпендикулярны к плоскости π ₁.

По точкам К' и М' найдены фронтальные проекции этих точек (К'' и М'').

Рис. 14

Взаимное пересечение многогранников

Линия пересечения двух многогранников может быть определена по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого: это – известная задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью.

Линия пересечения многогранников может быть определена и как линия пересечения граней многогранников: задача на определение линии пересечения двух плоскостей.

Преимущество отдается тому из способов, который в зависимости от условия задачи дает более простое и наиболее точное решение.

Эти два способа построения линии пересечения двух многогранников часто комбинируют.

Линиями пересечения двух многогранников в общем случае являются пространственные замкнутые многоугольники. В зависимости от вида многогранников и их взаимного расположения линиями пересечения могут быть один, два и более пространственных многоугольников.

Если один многогранник частично пересекается другим, как бы не полностью врезается в другой многогранник, то имеем одну замкнутую пространственную ломаную линию их взаимного пересечения. Такое взаимное пересечение выпуклых многогранников называют неполным проницанием.

Если один многогранник полностью пересекается вторым многогранником, получаем две линии их пересечения – линию входа одного многогранника в другой и линию выхода. Такое взаимное пересечение многогранников называют полным проницанием.

На рисунке 15 показано построение линии пересечения полного проницания прямой трехгранной призмы с треугольной пирамидой. Призма своим основанием стоит на горизонтальной плоскости проекций π ₁. Горизонтальные проекции её ребер преобразуются в точки, а грани преобразуются в отрезки прямых, т.е. они представляют собой горизонтально – проецирующие плоскости.

Линия пересечения двух многогранников определяется по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого.

Так, ребро АD пирамиды пересекает две грани призмы, одну – в точке 1, другую – в точке 8. Ребро ВD пирамиды пересекает две грани призмы в точках 2 и 5. Ребро СD – в точках 3 и 4.

Из трех боковых ребер призмы только одно (ребро Е) пересекает пирамиду. Чтобы найти точки пересечения этого ребра с гранями пирамиды, через ребро Е призмы и вершину D пирамиды проводим вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость γ. Она пересекает пирамиду по прямым линиям, которые пересекают ребро призмы Е в точках 6 и 7. Эти точки и являются точками пересечения ребра призмы Е с гранями пирамиды DAB и DAC.

Рис. 15

Соединяя каждые пары таких точек одних и тех же граней отрезками прямых, получаем две линии пересечения многогранников. Одна из них представляет собой пространственный многоугольник 568745, другая треугольник 1231.

На фронтальной проекции отрезки 1-3 и 3-2 линии пересечения видимы, т.к. они принадлежат видимым граням DAC и DBC. Отрезок 1-2 является невидимым во фронтальной проекции. Этот отрезок принадлежит видимой в этой проекции грани призмы VF и невидимой грани пирамиды DAB.

Во фронтальной проекции также видимы отрезки 5-4 и 4-7 второй линии пересечения, а отрезки 5-6, 6-8, 8-7 этой линии невидимы.

Развертки многогранников

Разверткой многогранника называется плоская фигура, составленная в определенном порядке из граней многогранника.

Построение развертки сводится к построению граней многогранника в натуральную величину. Чтобы получить развертку многогранника, нужно на его поверхности наметить линию разреза – шов. Шов обычно проводят по ребрам.

На рисунке 16 показан пример построения развертки прямой четырехугольной усеченной призмы, основанием она установлена на плоскость π₁.

Рис. 16

Развертка призм строится методом раскатки. Периметр основания призмы раскатывается в прямую линию. На этой прямой (рис. 16) отмечены отрезки В_оС_о=В'С', А_оВ_о=А'В', А_оG_о=A'G', G_oC_o=G'C'. На перпендикулярах к этим отрезкам откладывают высоту реберС_оС_о=С''С''₁,В_оВ_о=В''В''₁, А_оА_о=А''А''₁, G_oG_o=G''G''₁. Многоугольник С_оВ_оА_оG_oC_oC_oG_oA_oB_oС_о представляет собой развертку боковой поверхности призмы. Многоугольник В_оА_оG_oC_o – нижнего основания (в натуральную величину) построен на стороне А_оG_o развертки боковой поверхности призмы.

На рисунке 17 показано построение развертки треугольной пирамиды.

Рис. 17

Методом вращения определена длина ребер SC и SB, а натуральная длина ребер основания и бокового ребра SA, являющимися прямыми уровня, имеются на эпюре. На ребре S_oA_o построен треугольник S_oA_oB_o по трем известным сторонам; на стороне S_oB_o построен треугольник S_oB_oC_o и на стороне S^oC^o построен треугольник S_oC_oA_o.

Основание АВС пирамиды в горизонтальной проекции представлено в натуральную величину. Пристраивая многоугольник основания к развертке боковой поверхности, получаем полную развертку пирамиды.

Контрольные вопросы

1. Какой способиспользуется при определении видимости проекций ребер многогранников?

2. Каким образом находят проекции точки, лежащей на многограннике?

3. На чем основано построение проекций фигуры сечения многогранника проецирующей плоскостью?

4. Какие способы используются при построении проекций фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения?

5. В какой последовательности выполняют действия по нахождению точек пересечения прямой с многогранником?

6.Как определяют видимость прямой линии относительно многогранника?

7. Какие способы используют при нахождении линий пересечения многогранников?

8. Назовите способы построения разверток многогранников.

Рекомендуемая литература

1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.

1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.

4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.

Лекция №9

Кривые поверхности. Классификация кривых поверхностей. Линейчатые поверхности. Винтовые поверхности. Поверхности вращения с прямолинейной и криволинейной образующей. Точка на поверхности вращения, определение принадлежности. Геликоиды.

План лекции

1. Образование и задание поверхностей.

2. Классификация кривых поверхностей.

3. Линейчатые, нелинейчатые поверхности.

4. Винтовые поверхности.

5. Поверхности вращения.

6. Точка на поверхности вращения.

9.1. Образование и задание поверхностей

В начертательной геометрии геометрические фигуры задаются графически, поэтому целесообразно рассматривать поверхность как совокупность всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии. Образование поверхности с помощью линии позволяет дать иное определение поверхности, базирующееся на основных элементарных геометрических понятиях, таких как точка и множество. Действительно, если принять, что положение движущейся в пространстве линии будет непрерывно меняться с течением времени t, и принять t за параметр, то поверхность можно рассматривать как непрерывное однопараметрическое множество линий. В свою очередь, линия определяется как непрерывное однопараметрическое множество точек, поэтому можно дать следующее определение поверхности: поверхностью называется непрерывное двупараметрическое множество точек.

В жизни нас окружает множество всевозможных поверхностей. В природе встречаются удивительные по форме поверхности (форма листьев растений, форма крыльев птиц и т.д.).

Созданные человеческой деятельностью корпуса самолетов, судов, автомобилей, с/х техники – это комплексы поверхностей, которые имеют сложные законы образования.

В процессе образования поверхности линия может оставаться неподвижной или менять свое положение. Подвижная линия называется образующей, неподвижная – направляющей.

На рисунке 1 показан пример процесса образования некоторой поверхности.

Рис. 1

В качестве образующей взята плоская кривая g. Закон перемещения кривой g задан двумя направляющими d₁ и d₂ и плоскостью γ, при этом имеется ввиду, что образующая g скользит по направляющим d₁ и d₂ всё время оставаясь параллельно плоскости γ, а точка А, принадлежащая образующей g перемещается по линии d₁.

Каждая поверхность характеризуется определителем, под которым подразумевают необходимую и достаточную совокупность геометрических фигур и связей между ними.

Условия определителя:

1) перечень геометрических фигур, участвующих в образовании поверхности;

2) алгоритмическая часть, указывающая на взаимосвязь между этими фигурами.

Так как поверхность может быть образована различными путями, очевидно, одна и та же поверхность может иметь различные определители, например, поверхность прямого кругового цилиндра с кинематической точки зрения можно представить:

а) как след, оставляемый в пространстве прямой g при вращении вокруг оси i, ее определитель Ф (g; i)(рис. 2);

Рис. 2

б) как след от вращения кривой g вокруг осиi, ее определитель Ф (g; i)(рис. 3);

Рис. 3

в) как результат поступательного перемещения окружности, при этом центр окружности О перемещается вдоль оси i, ее определитель Ф (g; i)(рис. 4).

Рис. 4

Рабочие органы почвообрабатывающих машин имеют форму кривых поверхностей с прямолинейной и криволинейной образующей (лемеха плугов, лапы культиваторов, отвалы корпусов плугов, наральники посевных и посадочных машин, сферические диски борон и лущильников).

Простой трехгранный клин, положенный в основу создания корпуса плуга, служит примером образования различных кривых поверхностей.

На рисунках 5а, 5б, 5в представлены два вида лемешноотвальной поверхности.

Рис.5а. Простой трехгранный клин

Рис. 5б. Развитие клина в винтовую поверхность

Рис. 5в Развитие клина в цилиндроидальную поверхность

На рисунке 6 представлено построение лобовой проекции отвала лемеха плуга и полевого обреза.

Рис. 6

Проектирование лемешно – отвальной поверхности корпуса плуга, встречающееся в курсовом проектировании по сельскохозяйственным машинам дано на рисунке 7.

Построение ведется в следующем порядке:

Нижний обрез ВА лобового контура на горизонтальной проекции представлен лезвием лемеха В₁А₁ (рис. 6). Полевой обрез пред­ставляется прямой линией В₁Р, расположенной вдоль борозды или с некоторым наклоном к ней. Верхняя точка Р полевого обреза на лобо­вом контуре расположена между 8 и 9 образующими и отклонена от вертикали на расстояние Р Р'. На горизонтальной проекции точка также располагается между 8 и 9 образующими и отстоит от стенки борозды на том же расстоянии, что и на лобовом контуре. Правый об­рез А₁К лемеха строят по дополнительной образующей. Высота рас­положения стыка лемеха с отвалом зависит от ширины лемешной ста­ли, размер которой при глубине вспашки более 20 см составляет 132 мм.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: